Множество

[wpoms]

Множество A состоит из натуральных чисел, причем 1) 1 принадлежит A, 2) если a принадлежит A, то и 2a + 1 принадлежит A; 3) если 3a + 1 принадлежит A, то a принадлежит A. Верно ли, что множеству A принадлежит
а) число 42;
б) число 8;
в) произвольное натуральное число?
% Р.П. Ушаков

@темы: Теория чисел

---

алгебра

[...Полярная Звезда...]

такое вот задание: найдите собственное расширение поля Z(3)
помогите пожалуйста

@темы: Линейная алгебра

---

Интересная статья на Медузе

[Дилетант]

Декларации депутатов и чиновников.
Шизофренические числа Математические свойства думских и правительственных зарплат



В апреле президент, министры, губернаторы и депутаты опубликовали декларации о своих доходах за 2015 год. Из них мы узнали, например, что доходы Владимира Путина за этот период выросли на миллион рублей, тогда как депутат-единорос Леонид Симановский заработал почти миллиард. Впрочем, все эти данные — довольно скучные; мы же решили взглянуть на них (только не спрашивайте, зачем) с математической точки зрения: поискали простые числа, покопались в миллионах знаков числа пи и присмотрелись к «шизофреническому числу».
Для тех, кого мало интересуют зарплаты чиновников, надеюсь найдется много интересного из "занимательной теории чисел" ))
Про шизофренические числа я не знала

@темы: Про самолеты

---

[wpoms]

Математика в школе, № 3^1,2

5453.
У царя Гиерона есть 11 слитков, неразличимых на вид; царь знает, что их веса (в некотором порядке) равны 1, 2, ..., 11 мин. Ещё у него есть мешок, который порвётся, если в него положить больше 11 мин. Архимед узнал веса всех слитков и хочет доказать Гиерону, что первый слиток весит 1 мину. За один шаг он может загрузить несколько слитков в мешок и продемонстрировать Гиерону, что мешок не порвался (рвать мешок нельзя!). За какое наименьшее число загрузок мешка Архимед может добиться требуемого?
%И.И. Богданов (Москва), К.А. Кноп (С.-Петербург)

5454.
Непустое множество `A \subseteq R` назовём заполненным, если для любых `x, y \in R` (не обязательно различных и не обязательно лежащих в `A`) таких, что `(x+y) \in A`, число `xy` также лежит в `A`. Найдите все заполненные множества.
%Н.X. Агаханов (Москва)

5455.
Каким может быть число `a>0`, если для некоторой строго убывающей функции `f: (0, +\infty) \to (0, +\infty)` и любого `x \in (0, +\infty)` выполняется неравенство `f(x) >= af(x + f(x))`?
%Ш.Н. Исмаилов (Ташкент, Узбекистан)

5456.
Каждая прямая, проходящая через пару смежных вершин `n`-угольника, содержит ещё хотя бы одну из его вершин. Каким наименьшим может быть число `n`?
%Е.В. Бакаев (Москва)

5457.
Докажите, что неравенство
`{n sqrt2} [n sqrt2] < 1/2`
имеет бесконечное множество натуральных решений (`{a}` и `[a]` -- дробная и целая части числа `a` соответственно).
%М. А. Муртузалиев, Ш.Г. Гамидов (Махачкала)

---------------------------------------
¹ vk.com/club1126038
² В журнале не указано, что некоторые задачи предлагались на областном этапе российской олимпиады.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Функции натурального аргумента

[wpoms.]

Найдите, с доказательством, все функции `f` из множества натуральных чисел в себя, которые удовлетворяют равенству `f (x + f (y)) = f (x) + y` для всех натуральных чисел `x`,`y`. Вариант 2: Обозначим `QQ` множество рациональных чисел. Найдите все функции `f : QQ -> QQ`, для которых `f (x + f (y)) = y + f (x)`, для всех `x, y in QQ`.

@темы: Функции

---

поверхностный интеграл первого рода

[...Полярная Звезда...]

двойной интеграл (x+y+s)dS, где S-поверхность x^2+y^2+z^2=a^2, z=>0
пытался перейти в сферические координаты, но ответ не сходится, расставил пределы от 0 до 2pi и от 0 до pi/2
dS=a^2sindфи

@темы: Кратные и криволинейные интегралы, Интегралы

---

Помогите пожалуйста с переводом формул на английский язык

[sick_alien]

здравствуйте уважаемое сообщество

учусь на втором курсе прикладной математики Каунасского Технологического Университета.

проблема такая - делаем презентацию на английском языке по предметной области математики на 6 минут со сладами.

я решил сделать по случайным числам и генератору случайных чисел отсюда

https://en.wikipedia.org/wiki/Randomness

и отсюда

https://en.wikipedia.org/wiki/Pseudorandom_number_generator

Помогите пожалуйста как озвучить формулы и математические выражения на английском языке


==Mathematical definition==
Given
`mathfrak(B, C, I, H, R, Z)`
* `P` - a probability distribution on `( \mathbb(R), mathfrak(H) )` (where `mathfrak{H}` is the standard Borel field on the real line)
* `\mathfrak{C}` - a non-empty collection of Borel sets `\mathfrak{C}\subseteq\mathfrak{H}`, e.g. `\mathfrak{C}= \{ (-\infty,t\ ] : t\in\mathbb{R} }`. If `\mathfrak{C}` is not specified, it may be either `\mathfrak{H}` or `{ (-\infty,t] : t\in\mathbb{R}\}`, depending on context.
* `A\subseteq\mathbb{R}` - a non-empty set (not necessarily a Borel set). Often `A` is a set between `P` 's Support (mathematics)|support]] and its [[Interior (topology)|interior]], for instance, if `P` is the uniform distribution on the interval `(0,1]`, `A` might be `(0,1]`. If `A` is not specified, it is assumed to be some set contained in the support of `P` and containing its interior, depending on context.

We call a function `f:\mathbb{N}_1\rightarrow\mathbb{R}` (where `\mathbb{N}_1={1,2,3,\dots }` is the set of positive integers) a '''pseudo-random number generator for `P` given `\mathfrak{C}` taking values in `A` ''' iff

* `f (\mathbb{N}_1 )\subseteq A`
* `\forall E\in\mathfrak{C} \quad \forall 0<\varepsilon\in\mathbb{R} \quad \exists N\in\mathbb{N}_1 \quad \forall N\leq n\in\mathbb{N}_1, \quad |\frac{\# {i\in {1,2,\dots, n } : f(i)\in E }}{n}-P(E) |< \varepsilon`

(`#S`> denotes the number of elements in the finite set `S`.)

It can be shown that if `f` is a pseudo-random number generator for the uniform distribution on `(0,1)` and if `F` is the [[Cumulative distribution function|CDF]] of some given probability distribution `P`, then `F^*\circ f` is a pseudo-random number generator for `P`, where `F^*: (0,1)\rightarrow\mathbb{R}` is the percentile of `P`, i.e. `F^*(x):=\inf {t\in\mathbb{R} : x\leq F(t) }`. Intuitively, an arbitrary distribution can be simulated from a simulation of the standard uniform distribution.



простите пожалуйста, если не совсем по теме

thanks in advance

@темы: Образование

---

Квадратура Гаусса

[consigned]

Построить квадратуру Гаусса с двумя узлами `I(f) = int_0^pi (sin(x)*f(x))dx = c_1*f(x_1)+c_2*f(x_2)`

Получил систему:
`{(c_1+c_2=2), (c_1*x_1+c_2*x_2=pi), (c_1*x_1^2+c_2*x_2^2=pi^2-4), (c_1*x_1^3+c_2*x_2^3=pi^3-6*pi):}`

Можно ли здесь каким-либо образом сократить вычисления?
Так, например, если бы перед f(x) в интеграле стояла четная функция, то можно было бы написать `c_1 = c_2` и `x_1 = -x_2`.
Или же здесь неизбежно придется решать систему целиком?
Буду благодарен за любые подсказки.

@темы: Численные методы

---

Площадь фигуры (гипербола и прямая)

[Груша Вильямс]

Найти площадь фигуры, ограниченной гиперболой `x^2/a^2-y^2/b^2=1` и прямой `x=2a`.


`f(x)=bsqrt((x/a)^2-1)`
`bint_{a}^{2a} sqrt((x/a)^2-1)dx=bint_{a}^{2a} sqrt(-(1-(x/a)^2))dx=[(x/a=sint), (x=asint), (dx=acostdt)]=abint_{pi/2)^{arcsin2} sqrt(-(1-sin^2t))dt`... но тогда подкоренное выражение отрицательно на указанном интервале...как быть?

@темы: Интегралы

---

Целое число

[wpoms.]

Найдите, с доказательством, все неотрицательные действительные числа `x`, для которых `root(3){13 + sqrt(x)} + root(3){13-sqrt(x)}` является целым числом.

@темы: Школьный курс алгебры и матанализа

---

Помогите найти ошибку

[I.am.Daf.Grey]

Есть задача: найти какую-нибудь дробно-линейную функцию g(z), удовлетворяющую условиям g(0)=4; g(1+i)=2i+2; g(2i)=0. И еще найти образ круга |z-i|<1 под действием функции g(z).
Я задачу решила, но мне было сказано, что есть ошибки.

@темы: ТФКП

---

помогите доказать тождество

[marina1987]

Доказать тождество: в числителе 2 sin 2L, в знаменателе 1- cosL. Эта дробь равна -2 sinL. Как я ее ни кручу , создается впечатление, что здесь где-то опечатка.
помогите. разобраться. всем большое спасибо!

@темы: Тригонометрия, Тождественные преобразования

---

ошибка в производной

[айвора]

ДД!

Помогите найти ошибку в производной, если она есть. Мое решение в приложении (знаменатель роли не играет до последнего действия, поэтому я его не пишу).

Суть проблемы в том, что онлайн-калькуляторы для производной выдают точно такой же ответ, только со знаком минуса (но без подробного решения).
Если же подставлять построчно мое решение (до 6 строки включительно) в онлайн-калькуляторы для упрощения выражений, то результат тоже с минусом. Если дальше 6 строки, то вообще другой ответ.

Я уже всю голову сломал, не могу понять как такое возможно.

Спасибо

@темы: Математический анализ

---

Решить логарифмическое уравнение

[alligator76]

`3^(log_3^2(x))+x^(log_3(x))=162`

Не могу сообразить, какую замену сделать. Пытался сделать замену `t=log_3(x)`, но не получается. Пробовал взять логарифм от обоих частей по основанию 3, тоже ни к чему не прихожу. Прошу помощи.

@темы: Логарифмические уравнения (неравенства)

---

Разделы математики в хронологическом порядке от простого к сложному

[Комочек шерсти]

Други, некоторое время назад я решила подтянуть свою эрудицию и вот добралась до математики. Меня интересует такой вопрос: можно ли как то систематизировать все разделы математики от простого к сложному? Я накачала кучу учебников и нигде ничего похожего, а у меня так мозг устроен , что отрывочную инфу я не понимаю(и еще я гуманитарий).
Короче, можете мне помочь?
Как я поняла сейчас:
Сначала идут цифры и их типы(арифметика)
Потом соотношения чисел и операции с ними(алгебра, математический анализ)
Потом формы и пространства(геометрия)

А вот дальше что? Дискретная математика это например что? А теория игр куда относится? Я заглядывал в вики, если чо, но мне не понятно.

@темы: Образование

---

Исследовать сходимость несобственного интеграла

[alligator76]

`int_2^3 (arctg (19x))/((x-2)exp(12x))dx`

Пытаюсь воспользоваться признаком сравнения. Т.к. `|arctg (19x)|<=pi/2`, то
`(arctg (19x))/((x-2)exp(12x))<=pi/2*1/((x-2)exp(12x))<=pi/2*1/(x-2)`

Несобственный интеграл `int_2^3 dx/(x-2)` расходится.
Можно ли сказать, что исходный интеграл расходится?
Ведь в признаке сравнения:
Из того, что `f(x)<=g(x)` и `int_a^b f(x)dx` расходится, то расходится и `int_a^b g(x)dx`.
У меня же получилась оценка в другую сторону.

@темы: Несобственные интегралы

---

[Leska|Nastya]

Здравствуйте!
Подскажите по решению, я чего-то туплю)
online-tusa.com/tasks/2545_1_4_0
Задача такая: С какой силой надо удерживать груз весом P, чтобы он не сползал вниз по наклонной плоскости (угол наклона альфа)?

Я делаю что ось х идет по наклонной плоскости (сонаправлена с искомой силой F), тогда надо найти проекцию P на эту ось, т.е. Px
Но Px ведь гипотенуза, значит должна равняться P/sin a, а в ответе наоборот умножить... Что не так?

@темы: Векторная алгебра, Физика (тема закрыта

---

Отображение области функцией

[kanoChan]

Здравствуйте!
Имеется функция `f(z, \alpha) = z/((1+z*e^{-i \alpha})^2)`. Нужно найти в какую область она отображает единичный круг.
Собственно, ответ известен, эта функция отображает единичный круг на плоскость с разрезом `t*e^{i \alpha}`, где `t \in [1/4, +\infty)`.

Вводя параметрическое представление окружности `z=e^{i \varphi}`, где `0<=\varphi<=2 \pi`и подставляя ее в функцию `f(z, \alpha)`,у меня не получается луч, данный в ответе... Может что-то упускаю?

@темы: ТФКП

---

Исследовать на сходимость

[Груша Вильямс]

`int_{1}^{+infty} (dx)/sqrt(x(x+1)(x+2))`, получилось, что сходится через предельный признак сравнения (`g(x)=1/x^(3/2)`).
`int_{1}^{+infty} (sqrt(x^3)+root(3)(x^2))/(x^3+3x+1)dx`, получилось, что сходится через предельный признак сравнения (`g(x)=1/x^(3/2)`).
А как сделать через признак сравнения?
Пусть `0<=f(x)<=g(x)` на `[a,+infty)`. Если интеграл `int_{a}^{+infty} g(x)dx` сходится, то интеграл `int_{a}^{+infty} f(x)dx` также сходится. Если интеграл `int_{a}^{+infty} f(x)dx` расходится, то расходится и интеграл `int_{a}^{+infty} g(x)dx`.
Обязательно ли в этом признаке нестрогое неравенство?
`int_{e^2}^{+infty} (dx)/(xlnx*lnlnx)`, тут вроде расходится по предельному признаку сравнения (`g(x)=1/x`, `lim_(x->+infty) (f(x))/(g(x))=lim_(x->+infty) 1/(lnx*lnlnx)=0`).

@темы: Математический анализ, Интегралы

---

ЕГЭ, 16 апреля 2016 г.

[wpoms]

ЕГЭ, 16 апреля 2016 г.^1,2

13.
а) Решите уравнение `tg^3 x + tg^2 x - 3tg x - 3 = 0.`
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `[2\pi; (7\pi)/2]`.

14.
В треугольной пирамиде `ABCD` двугранные углы при ребрах `AD` и `BC` равны. `AB = BD = DC = AC = 5`.
а) Докажите, что `AD = BC`.
б) Найдите объем пирамиды, если двугранные углы при `AD` и `BC` равны `60^@`.


15.
Решите неравенство:
`(4^(x^2-x-6)-1) * log_(0,25) (4^(x^2+2x+2)-3) <= 0`.

16.
Прямая, проходящая через вершину `B` прямоугольника `ABCD` перпендикулярная диагонали `AC` и пересекает сторону `АD` в точке `M`, равноудаленной от вершин `B` и `D`.
а) Докажите, что `BM` и `ВD` делят угол `B` на три равных угла.
б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника `АВСD` до прямой `CM`, если `BC = 6sqrt(21)`.

17.
В июле 2016 года планируется взять кредит в размере 4,2 млн. руб. Условия возврата таковы:
-- каждый январь долг возрастает на `r`% по сравнению с концом предыдущего года.
-- с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга.
-- в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 4,2 млн. руб.
-- суммы выплат 2020 и 2021 годов равны.
Найдите `r`, если долг выплачен полностью и общие выплаты составили 6,1 млн. рублей.

18.
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых система уравнений
(xy^2-2xy-6y+12)sqrt(6-x) = 0,
y=ax
имеет ровно три различных решения.

19.
Покажите, что для любого набора положительных чисел, каждое из которых не превосходит 11, а сумма которых больше 110, всегда можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма была не больше 110, но больше:
а) 99
б) 101
в) 100

----------------------------------------------
¹ alexlarin.net/ege/2016/160416.html
² Приведенный текст не вполне точно отражает условия экз. заданий

@темы: ЕГЭ