Исследовать на сходимость

[Груша Вильямс]

`int_{1}^{+infty} (dx)/sqrt(x(x+1)(x+2))`, получилось, что сходится через предельный признак сравнения (`g(x)=1/x^(3/2)`).
`int_{1}^{+infty} (sqrt(x^3)+root(3)(x^2))/(x^3+3x+1)dx`, получилось, что сходится через предельный признак сравнения (`g(x)=1/x^(3/2)`).
А как сделать через признак сравнения?
Пусть `0<=f(x)<=g(x)` на `[a,+infty)`. Если интеграл `int_{a}^{+infty} g(x)dx` сходится, то интеграл `int_{a}^{+infty} f(x)dx` также сходится. Если интеграл `int_{a}^{+infty} f(x)dx` расходится, то расходится и интеграл `int_{a}^{+infty} g(x)dx`.
Обязательно ли в этом признаке нестрогое неравенство?
`int_{e^2}^{+infty} (dx)/(xlnx*lnlnx)`, тут вроде расходится по предельному признаку сравнения (`g(x)=1/x`, `lim_(x->+infty) (f(x))/(g(x))=lim_(x->+infty) 1/(lnx*lnlnx)=0`).

@темы: Математический анализ, Интегралы

Comments

[Груша Вильямс]

All_ex, так оно, просто первое предложение признака как-то не вдумчиво прочитал пусть f(x), g(x)>0 на [a,+oo) и в следующее предложение уже не въехал сходу)

В принципе не обязательно выполнение неравенства на всем отрезке интегрирования... достаточно получать на множестве `x in [A; =oo)`, где `A` выбирается любым удобным образом...
Тоже сейчас понял почему на последнем номере интегралов с бесконечными пределами.
`int_{0}^{+infty} e^(-x^2)dx=int_{0}^{1} e^(-x^2)dx + int_{1}^{+infty} e^(-x^2)dx`
Спасибо Вам!

[All_ex]

welcome ...

А причём тут интеграл Пуассона?... ... он вроде переходом к двойному интегралу вычисляется в одну строчку...

[Груша Вильямс]

All_ex, не знал, что это интеграл Пуассона)) А там просто задание В задачах 4.214-4.222 исследовать на сходимость интегралы, где 4.222 интеграл Пуассона

он вроде переходом к двойному интегралу вычисляется в одну строчку двойных ещё не было, дифференциальное исчисление функции нескольких переменных только началось...

p.s. правда само задание легким показалось, возможно потому, что в примерах был решен интеграл `int_{1)^{+infty} (e^(-x^2))/x dx` c оценкой `(e^(-x^2))/x <= (e^(-x))/x <= e^(-x)` на данном интервале...

[All_ex]

понятно...