понедельник, 10 августа 2015
23:30

Предел

все записи пользователя в сообществе wpoms.
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


Вычислите предал `lim_{n to infty} 1/n (1/n^k + 2^k/n^k + ... + (n-1)^k/n^k + n^k/n^k)`.
(Для вычисления этого предела можно воспользоваться построением интеграла)




@темы: Пределы

URL
16:13

Эллиптический бильярд

все записи пользователя в сообществе All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Весьма забавно...



@темы: Линии второго порядка, Про самолеты

URL
воскресенье, 09 августа 2015
14:30

Скалярное произведение

все записи пользователя в сообществе IWannaBeTheVeryBest
При каких условиях на матрицу квадратную матрицу P размерностью NxN данная функция является скалярным произведением в пространстве матриц МхN
`F(X, Y) = trX^TPY`
В ответах сказано, что она должна быть положительно определенной. Во-первых, почему она должна быть симметричной? Ведь, если я правильно понимаю, определенность определяется только у симметричных матриц. Я так понимаю здесь важен критерий `P^T = P`. Во-вторых я не совсем понимаю, как на матрицах проверять признаки. Например
`F(X, Y) = F(Y, X) => trX^TPY = trY^TPX`
Здесь наверняка есть какое-то свойство матриц. Может быть матрицы между собой можно как-то транспонировать? Ведь в итоге след последней матрицы не поменяется. Хотя я могу ошибаться.
Другие свойства попытаюсь сам, но если что спрошу тут))
И да, не подскажете кое-что по технической части? Касается скрипта, который отображает формулы. При каждом новом запуске хром блокирует его. Я смотрел в инете решения проблем, но вдруг тут у кого-то было что-то подобное? Может быть тут кто-то решил эту проблему, не залезая в реестр? Причем у меня на ноуте стоит линукс убунту. И, как ни странно, там этот скрипт спокойно живет. На ПК стоит лицуха винда 7.

@темы: Матрицы

URL
пятница, 07 августа 2015
20:15

ДУ

все записи пользователя в сообществе Kimsy
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, решить...

1. x'=2y-x-x^5, y'=-3x-y^5
2. x'=y, y'=-x-y^3
3. x'=-2y-x^3, y'=3x-y^3
4. x''+(x')^3+(1+(x')^2)x=0

@темы: Дифференциальные уравнения

URL
четверг, 06 августа 2015
08:52

Мирер В.С. Тригонометрические преобразования (2003)

все записи пользователя в сообществе beubeff

@темы: Задачи вступительных экзаменов, Тригонометрия, Школьный курс алгебры и матанализа, Литература

URL
среда, 05 августа 2015
20:21

Нетающий айсберг

все записи пользователя в сообществе Alidoro
О чем говорит неудачное выступление сборной России на Международной математической олимпиаде?
www.svoboda.org/content/article/27171978.html

@темы: Образование

URL
19:14

Биссекториса

все записи пользователя в сообществе wpoms.
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


В треугольнике $ABC$ $I$ -- центр вписанной окружности, $D, E, F$ -- точки касания вписанной окружности и сторон треугольника $BC,CA,AB$ соответственно. Биссектриса угла $BIC$ пересекает $BC$ в $M$, прямая $AM$ пересекает $EF$ в $P$. Докажите, что $DP$ является биссектрисой угла $FDE$.




@темы: Планиметрия

URL
вторник, 04 августа 2015
04:45

дискретная мтематика. Множества . A∩B⊆C <=> A⊆bar{B}∪C

все записи пользователя в сообществе sick_alien
Здравствуйте уважаемое сообщество

не получается решить задание. домашняя работа, 1 курс прикладной математики Каунасского Технологического университета

нужно доказать что

`A nn B subseteq C iff A subseteq bar{B} uu C`



попытка решения под катом

читать дальше

выражение эквивалентности значит "тогда и только тогда, когда..."

расписал обе части, но одинаковых элементов в полученных выражениях нет.

что нужно сделать дальше? помогите пожалуйста.
я сам всё сделаю, подскажите направление, пожалуйста

@темы: Дискретная математика, Множества

URL
понедельник, 03 августа 2015
11:11

Ортогональная проекция 2.

все записи пользователя в сообществе IWannaBeTheVeryBest
Задание из типового расчета.
Вещественное евклидово пространство `X` реализовано как `R^5` со стандартным скалярным произведением. Подпространство `L` евклидова пространства `X` задано как линейная оболочка векторов
`a_1 = (-2, 1, -1, -5, -1)^T, a_2 = (1,-1,1,3,0)^T, a_3 = (1,3,-1,1,2)^T.`
Задан также фиксированный вектор `x`
`x = (1,-2,2,4,-1)^T`
Найти ортогональную проекцию `x_L` вектора `x` на подпространство `L` и ортогональную составляющую `x_M` этого же вектора.
Решение получить двумя способами:
Первый способ.
1)Найти ортонормированный базис подпространства `L`;
2)Написать явный вид ортогонального проектора `P_L` на подпространство `L`;
3) Вычислить с помощью `P_L` ортогональную проекцию `x_L`, а затем и `x_M` (как разность `x_M = x - x_L`)
Второй способ.
1) Найти неортонормированный базис подпространства `L` (анализируя структуру `L` как линейной оболочки векторов `a_1, a_2, a_3`);
2) С помощью представления `x = x_L + x_M` (где `x_L` разложено по базису `L`),
3) Составить и решить систему линейных уравнений для определения коэффициентов разложения `x_L` по базису `L`.

Знаю я тут такой способ.
`x_L = \alpha_1*a_1 + \alpha_2*a_2 + \alpha_3*a_3`
`x = \alpha_1*a_1 + \alpha_2*a_2 + \alpha_3*a_3 + x_M`
Дальше скалярно умножаю уравнение на вектора оболочки и получаю 3 уравнения в системе. Отсюда вытекает `x_L` ну и `x_M`.
К какому из этих двух он относится? Я вроде как решаю систему уравнений (второй способ), с другой стороны я вычисляю `x_M = x - x_L` - первый способ.

Если по логике, то это второй больше способ. Я не ищу ортонормированный базис.
Кстати я решил таким способом и у меня `x_M` равен нулевому вектору. Такое возможно?
Первый способ.
Ортонормированный базис я найду методом ортогонализации, затем нормирую.
Что там про явный вид ортогонального проектора?
Там в методе ортогонализации есть оператор проекции, вид которого я знаю, но, боюсь, это не то. Как с помощью проектора вычислять ортогональную проекцию? Может ответ банален и прост, но я что-то не помню, чтобы делал это.

@темы: Линейная алгебра

URL
воскресенье, 02 августа 2015
13:58

Жорданова форма матрицы

все записи пользователя в сообществе IWannaBeTheVeryBest
Такое ощущение у меня, что я вроде как знаю теорию, а вроде и нет...
Найти Жорданову форму матрицы
$A = \left(\begin{array}{c c c}-13/4 & 1/4 & 1/2 \\ -1/4 & -11/4 & 1/2 \\ 0 & 0 & -3 \end{array}\right)$
Находим детерминант матрицы
$A = \left(\begin{array}{c c c}-13/4 - \lambda & 1/4 & 1/2 \\ -1/4 & -11/4 - \lambda & 1/2 \\ 0 & 0 & -3 - \lambda \end{array}\right)$
И приравниваем его к 0. Находим корни. Уже посчитал. `\lambda = -3` (кр.3)
Дальше подставляем это значение в матрицу и расширяем ее нулями. Ну просто мы же по идее подставляем это значение в характеристическое уравнение.
Как расширять тут матрицу я не знаю. Ну можно пока обойтись. Получится матрица
$A = \left(\begin{array}{c c c}-1/4 & 1/4 & 1/2 \\ -1/4 & 1/4 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$
Она же
$A = \left(\begin{array}{c c c}-1/4 & 1/4 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$
Находим вектор.
`x_2 = C_2`, `x_3 = C_3` (индексы те же поставил, чтобы не запутаться)
`x_1 = C_2 + 2C_3`
Вектор можно такой построить
`\xi_1 = C_2(1, 1, 0)^T + C_3(2, 0, 1)^T`
Теперь нахожу присоединенный. То есть, как я понимаю, в расширении матрицы теперь должен стоять какой-то из этих двух векторов, предположим первый. Просто второй сомнительно туда ставить.
У матрицы также останется только верхняя строчка, только расширенная единицей. Добавится новый вектор
`\xi_3 = (-4, 0, 0)^T`
Где я ошибся? Из этих же векторов составляется матрица, скажем, S, благодаря которой получается Жорданова форма
`J = S^(-1)AS`

@темы: Линейная алгебра, Матрицы

URL
03:07

130 нестандартных задач, Библиотечка Квант, Выпуск 124, Толпыго А., 2012

все записи пользователя в сообществе beubeff
Сегодня этот сборник появился на сайте nashol.com. А вот и указанная там ссылка на скачивание Скачать.

@темы: Головоломки и занимательные задачи, Олимпиадные задачи

URL
пятница, 31 июля 2015
19:18

Переход от базиса к базису.

все записи пользователя в сообществе IWannaBeTheVeryBest
В общем-то я имею представление, как составлять матрицу перехода. Ну вот у меня дан такие базисы.
`g_1 = 1/sqrt(10) * (1, 1, -2sqrt(2))^T`, `g_2 = 1/(2sqrt(2)) * (2, -2, 0)^T`, `g_3 = 1/sqrt(10) * (2, 2, sqrt(2))^T` - ортонормированный.
`a_1 = (1, 1, -2sqrt(2))^T`, `a_2 = (3, -1, -2sqrt(2))^T`, `a_3 = (4, 2, -sqrt(2))^T` - не ортонормированный.
И мне надо выписать матрицу перехода от базиса `a` к базису `g`.
Все довольно просто с этими базисами. Ну было до этого момента.
`a_1 = \alpha_1 * g_1 + \alpha_2 * g_2 + \alpha_3 * g_3`
`a_2 = \alpha_4 * g_1 + \alpha_5 * g_2 + \alpha_6 * g_3`
`a_3 = \alpha_7 * g_1 + \alpha_8 * g_2 + \alpha_9 * g_3`
Найденные "альфы" записываются в столбик и образуется матрица перехода. Только вот не совпадает она с ответом у меня. Решать такие кривые системы не стал. Юзал вольфрам. Есть вероятность того, что я не так мог написать что-то в вольфраме. Но боюсь проблема в том, что я перехожу от не ортонормированного базиса, к ортонормированному.
В общем-то это вторая половина задачи. Найденные вектора базиса `g` сверены по ответам. Найдены путем ортогонализации от базиса `a`.

@темы: Линейная алгебра

URL
13:44

Многочлены

все записи пользователя в сообществе wpoms.
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


Докажите, что многочлен $z^{2n} + z^n + 1\ (n \in \mathbb{N})$ делится на многочлен $z^2 + z + 1$ тогда и только тогда, когда $n$ не является кратным $3$.




@темы: Теория многочленов

URL
11:26

Ортогональная проекция полинома.

все записи пользователя в сообществе IWannaBeTheVeryBest
Найти ортогональную проекцию полинома `35t^4 + 15t^3 - 15t^2 - 8t + 4` на подпространство полиномов степени не выше 2.
Скалярное произведение определено как `F(p, q) = sum_(i = 0)^(n) a_i * b_i`.
Когда задача была с векторами, то там было все понятно. `x = x' + x''`, где `x'` - ортогональная проекция на `L`
Я просто брал вектора, на которые было натянуто подпространство, и с ними составлял систему уравнений. А вот что тут сделать - не ясно.
Если формула сохраняться должна та же, только для полиномов, то тогда, как я предполагаю, p'(t) - это как раз подпространственный, если так можно выразиться, полином. Именно он будет степени не выше 2. Тогда `35t^4 + 15t^3 - 15t^2 - 8t + 4 = a_1t^2 + a_2t + a_3 + p''(t)`
Дальше, на примере векторов, я расписывал `x'`. То есть, если проводить аналогию, то `a_1t^2 + a_2t + a_3 = 35t^4 + 15t^3 - 15t^2 - 8t + 4 - p''(t)`.
Только вот с векторами-то я это все расписывал как линейную комбинацию. Ну вектор `x'` у меня составлял линейную комбинацию. Я домножал уравнение на данные вектора в линейной оболочке скалярно и находил коэффициенты. Тут такого нет.

@темы: Линейная алгебра

URL
05:53

все записи пользователя в сообществе mkutubi
Министерство образования и науки: Российские школьники лидируют в знании математики
Привалов Александр: Дореформировались
Губайловский Владимир: О "провале" российской команды на ММО-2015
АГН Москва: Тренер считает причиной неудачи сборной РФ на олимпиаде по математике «азиатский стиль» составления задач
Долгошева Анастасия: Просчитались? Горячо обсуждаемый «неуспех» российской сборной на Международной олимпиаде по математике – то, что нам доктор прописал

Между тем еще до ММО (и без связи с ней) российские учителя математики, и не последние учителя, внимательно изучали новую программу по математике для 5 – 9-х классов, принятую Министерством образования и науки. Изучив, сочли нужным написать письмо президенту России (мы видели черновик; чистовик если и изменился, то непринципиально).

«На наш взгляд, эта программа не является настоящей программой по математике для 5 – 9-х классов, она непригодна для применения в школе...» Одна из претензий: в ней «задан примитивный уровень обучения на базовом уровне, что создаст учащимся трудности для освоения курсов математики на следующих ступенях». Еще: «Министерство образования и науки РФ взяло курс на уничтожение отдельных школьных курсов алгебры и геометрии. Тем самым уничтожается важное конкурентное преимущество России – умение преподавать геометрию, использовать ее для развития мышления школьников, их умения доказывать и отличать доказанное от недоказанного, развивать их творческий потенциал. Уничтожение геометрии в школе как отдельного предмета отзовется ухудшением человеческого капитала».

Главное, что отмечают преподаватели: «Недопустимо низкий научный и методический уровень документа, утвержденного на федеральном уровне».

Не могу найти текст этой новой программы. Подскажите, где он был опубликован.

Журнал Столичное образование: Олимпиады школьников – главное не победа, а участие?

@темы: Поиск

URL
четверг, 30 июля 2015
20:51

все записи пользователя в сообществе mkutubi

Круликовский Н.Н. Математические задачи для абитуриентов - Изд-во Томского государственного университета, 1973, 119 c.
Сборник математических задач имеет целью помочь будущим абитуриентам при подготовке к вступительным экзаменам. Сборник составлен по материалам вступительных экзаменов по математике в Томском государственном университете, но может быть использован при подготовке к экзаменам абитуриентами различных высших учебных заведений.
Сборник может служить пособием для учащихся средних школ и учителей математики.
(djvu) ya.disk




@темы: Задачи вступительных экзаменов, Литература

URL
20:39

Ортогональная проекция.

все записи пользователя в сообществе IWannaBeTheVeryBest
Вот такая задача.
Подпространство L - линейная оболочка векторов `a_1, ... , a_k`. В ортонормированном базисе заданы координатные столбцы этих векторов и координатный столбец `\xi` вектора `x`. Найти координатные столбцы `\xi'` и `\xi''` ортогональных проекций вектора `x` на `L` и `L^\perp`.
`a_1 = (2, 3, 0, 1)^T`, `a_2 = (0, 5, -2, -1)^T`, `\xi = (6, 0, 4, 2)^T`.
Ну и идея моя в том, чтобы составить систему линейных уравнений с двумя уравнениями, чтобы получить два ортогональных вектора из ортогонального подпространства. Ортогональное дополнение короче говоря. Таким образом я получу 2 вектора плюсом. Дальше, по формуле `\xi' = \xi - \xi''` я найду ортогональную проекцию на L. Просто я подразумеваю, что один из этих двух векторов можно взять за `\xi''` (или нет?) и спокойно дорешать. И я так и делал пока, опять же, не посмотрел в ответы. Причем меня смущает тот факт, что при решении такой системы, получается сразу 2 ортогональных вектора из ортогонального подпространства, хотя по теории такой вектор может только однозначно расписываться в сумму двух других.
Была идея получить такой вектор с помощью решения уравнения из линейных комбинаций двух данных векторов и двух тех, которые получаются. Ну типа
`\xi = \alpha * a_1 + \beta * a_2 + \gamma * x_1 + \delta * x_2`, где `x_1` и `x_2` найденные векторы, в результате решения системы.

IWannaBeTheVeryBest, не забывайте указывать @темы.

@темы: Линейная алгебра

URL
19:13

все записи пользователя в сообществе mkutubi

Перельман Я.И. Фокусы и развлечения: Чудо нашего века. Числа-великаны. Между делом / Рисунки В. С. Твардовского, 1-е изд. - Л. : Радуга, 1927, 188 с. (Серия: Библиотека "Радуги")
Оглавление:
читать дальше
(djvu) ya.disk, (pdf, читать онлайн) Национальная электронная библиотека


@темы: Головоломки и занимательные задачи, Литература, Ссылки

URL
17:17

все записи пользователя в сообществе mkutubi
Да, были люди в наше время, Не то, что нынешнее племя: Богатыри — не вы!


Буттер И. Занимательные и увеселительные задачи - М.: Типография А. Семена при Императорской Медико-хирургической академии, 1833, 62 стр.
Для детей среднего возраста, 9-14 лет

(pdf, читать онлайн) Национальная электронная детская библиотека


@темы: Головоломки и занимательные задачи, Литература

URL
15:24

Ортогональное дополнение.

все записи пользователя в сообществе IWannaBeTheVeryBest
Вот такая вот задачка.
Подпространство L задано как линейная оболочка векторов, имеющие в ортонормированом базисе координаты:
`(3, -15, 9, 1)^T` и `(3, -6, -3, 2)^T`.
Найти: 1)Матрицу системы уравнений, определяющую `L^\perp`
2) Базис в `L^\perp`
Как я думал подойти. Ну вообще может я не то хочу находить, но по учебнику так обозначается ортогональное дополнение вроде как.
Каждый вектор из ортогонального дополнения ортогонален каждому вектору из изначального подпространства, ведь так?
Ну вот я как бы и попытался составить систему уравнений из двух уравнений с четырьмя неизвестными, для того чтобы найти третий вектор, перпендикулярный двум этим. Не вышло. Потом до меня дошло, что надо проверить на ортогональность данные вектора. Оказалось, что они не ортогональны друг другу, значит найти третий вектор, перпендикулярный двум этим не получится. Может найти сначала какой-то вектор, перпендикулярный какому-то из этих двух? Я просто как-то сильно не въезжаю. Или надо сначала найти базис в L...

@темы: Линейная алгебра, Линейные преобразования

URL