вторник, 04 августа 2015
04:45

дискретная мтематика. Множества . A∩B⊆C <=> A⊆bar{B}∪C

все записи пользователя в сообществе sick_alien
Здравствуйте уважаемое сообщество

не получается решить задание. домашняя работа, 1 курс прикладной математики Каунасского Технологического университета

нужно доказать что

`A nn B subseteq C iff A subseteq bar{B} uu C`



попытка решения под катом

читать дальше

выражение эквивалентности значит "тогда и только тогда, когда..."

расписал обе части, но одинаковых элементов в полученных выражениях нет.

что нужно сделать дальше? помогите пожалуйста.
я сам всё сделаю, подскажите направление, пожалуйста

@темы: Дискретная математика, Множества

URL
Комментарии
04.08.2015 в 19:22

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Много написано... :upset: ... всё не смотрел, но первый вопрос...
В первой строчке решения Вы пишите определение вложения... но в примере вложение не строгое, а логическое определение дано для строгого вложения... то есть вторая скобка лишняя...
URL
04.08.2015 в 19:26

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Может проще использовать, что `X subseteq Y \ \ iff \ \ X setminus Y = emptyset` ... а затем `X setminus Y = X nn bar{Y}` ...
URL
04.08.2015 в 19:30

sexstant
А если через таблицу истинности?
URL
04.08.2015 в 19:33

sick_alien
здравствуйте All_ex

спасибо за ваше участие

такое определение вложения дал преподаватель. если бы я знал, где посмотреть правильное определение, я был бы рад.

а что значит то есть вторая скобка лишняя...? в смысле убрать квадратные скобки из определения?
URL
04.08.2015 в 19:35

sick_alien
Здравствуйтке sexstant

нет, черз таблицу истинности этот пример не доказывается. нужно через вывод, подобный моему
URL
04.08.2015 в 20:18

sick_alien
All_ex, а разве `X subseteq Y \ \ iff \ \ X setminus Y = emptyset` ... а затем `X setminus Y = X nn bar{Y}` ... что-то даст?
URL
04.08.2015 в 20:22

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
sick_alien, что-то даст? - распишите левую и правую часть... там вроде из одного второе в одну строчку получается ...
URL
04.08.2015 в 20:24

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
sick_alien, такое определение вложения дал преподаватель. - ну, тогда отстал... :nope:
URL
04.08.2015 в 20:33

sick_alien
All_ex, спасибо, попробую.

только если честно, я не понимаю того, что вы записали, и как это может быть использовано.

вы это имели ввиду?


URL
04.08.2015 в 20:35

sick_alien
All_ex, ну, тогда отстал.. , спасибо за участие
URL
04.08.2015 в 21:01

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
вы это имели ввиду? - нет...

Запишите Вашу левую часть, используя то, что `X subseteq Y \ \ iff \ \ X setminus Y = emptyset` ... потом воспользуйтесь равенством `X setminus Y = X nn bar{Y}` ... и так далее по свойствам ...
URL
04.08.2015 в 21:04

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
sick_alien, и большая просьба добавить в топике условие в текстовом формате... картинки это хорошо, но правила есть правила...
URL
04.08.2015 в 21:06

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
спасибо за участие - :upset: ...

если бы я знал, где посмотреть правильное определение, я был бы рад. - такие определения нужно уметь писать самому...
Смотрите на круги Эйлера и пишите логическую фразу ...
URL
04.08.2015 в 21:19

sick_alien
нашёл разбор этого случая здесь

math.stackexchange.com/questions/1268047/provin...

там вроде доступно расписано, попробую адаптировать для наших правил доказательств
URL
04.08.2015 в 21:23

sick_alien
All_ex, и большая просьба добавить в топике условие в текстовом формате..

добавил в заголовок. так хорошо будет?
URL
04.08.2015 в 23:56

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
нашёл разбор этого случая здесь
хозяин-барин ... :nope:

моё предложение было такое ...
URL
04.08.2015 в 23:59

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
добавил в заголовок. так хорошо будет?
Спасибо ... но лучше формулы набирать в тексте с использованием этого eek.diary.ru/p164249281.htm
URL
05.08.2015 в 06:18

sick_alien
All_ex, спасибо большое за Вашу помощь
URL
05.08.2015 в 12:27

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
welcome ...
URL
08.08.2015 в 05:41

sick_alien
Booбще говоря, это выражение ложно.

в первом направлении (=>;)оно доказывается , а вот в противоположном оно оказывается ложным.

`< =`:
Допустим, что `A \subseteq \bar{B }\cup C` и пусть `x \in A \cap B`.
Тогда по определению пересечения множеств `x \in A` и `x \in B`.
По предположению `x \in \bar{B }\cup C`.
Если `x \in \bar{B }` мы получаем противоречие с `x \in B`, и это значит что `x \notin A \cap B`.
URL
08.08.2015 в 07:12

sick_alien
Нет, я был неправ в предыдущем комментарии.

доказал.

доказательство здесь на литовском (задание 13.с)

yadi.sk/i/Y2XE4L9PiLMGV
URL
09.08.2015 в 18:38

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
sick_alien, при наборе формул в режиме скрипта они выделяются обратным апострофом (клавиша "Ё" в английской раскладке) ...

Нет, я был неправ в предыдущем комментарии. - да, в данном примере пересечение множеств `A` и `B` лежит во множестве `C` ...
URL
10.08.2015 в 07:07

sick_alien
Я это доказал совершенно по-другому.

По определению подмножества

` A \subseteq B \Longleftrightarrow \left( x \in A и x \in B \left)` или `\left( x \notin A и x \in B \left)` или `\left( x \notin A и x \notin B \left) `

Тогда нужно доказать, что из

(a)`, A \cap B \subseteq C \Longleftrightarrow `
` \Longleftrightarrow \left [ (x \in (A \cap B) )\wedge(x \in C)} \right ]\vee ` (1)
` \vee \left [ (x \notin (A \cap B))\wedge(x \in C) \right ] \vee ` (2)
` \vee \left [ (x \notin (A \cap B))\wedge(x \notin C) \right ] ` (3)

вытекает
(b) `A \subseteq \overline{B} \cup C \Longleftrightarrow `
` \Longleftrightarrow \left [ (x \in A)\wedge(x \in (\overline{B} \cup C )) \right ]\vee ` (4)
` \vee\left [ (x \notin A)\wedge(x \in (\overline{B} \cup C )) \right ]\vee ` (5)
`\vee\left [ (x \notin A)\wedge(x \notin (\overline{B} \cup C )) \right ] ` (6)

и наоборот

Поскольку в обоих сторонах имеем соединение "или" т.е. дисюнкцию по свойству константы
`x \vee 0 = x` ,
и достаточно доказать, что из справедливости любого из (1),(2),(3),
вытекает справедливость любого из (4),(5),(6)

Допустим, что `\bar{B}` есть дополнение`B`

` \Longrightarrow`:

Пусть ` A \cap B \subseteq C ` и пусть `x \in A` .

Если `x \in A \cap B` (это соответсвует случаю когда из (1) вытекает (4)), тогда по допущзению ` x \in C` и из этого вытекает,
что `x \in \overline{B }\cup C ` , поскольку чтобы было правильным `x \in \overline{B }\cup C `,
по определению объединения множеств(` A \cup B = \left\{ x | x \in A ` arba ` x \in B \left\} ` )достаточно чтобы` x \in C `.

Если `x \notin A \cap B` (это соответсвует случаю когда из (2)\, вытекает (4)), тогда по определению пересечения множеств`x \notin A \cap B` ,
когда (`x \in A ` и ` x \notin B `) или(`x \notin A` и ` x \in B `) или(`x \notin A` и `x \notin B `) , но мы имеем`x \in A ` , значит `x \in A` ir ` x \notin B `
, тогда `x \in A \cap \overline{B }` и из этого вытекает
что`x \in \bar{B }` и соответсвенно `x \in \overline{B }\cup C `.



`\Longleftarrow`:

Допустим что ` A \subseteq \overline{B }\cup C ` и пусть `x \in A \cap B`.
тогда по определению пересечения множеств ` x \in A ` ir ` x \in B`. по допущению ` x \in \overline{B }\cup C `
(по определению объединения множеств `x \in \overline{B }` arba ` x \in C` ).
Если ` x \in \overline{B }` мы получаем противоречие с ` x \in B`, и это значит что высказывание `x \in B ` ложное и тогда ложно высказывание `x \in A \cap B`
Из этого вытекает что `x \in C` и ` x \notin A \cap B ` (т.е. iš (4) вытекает (2)).

вот как то так.
URL
10.08.2015 в 13:58

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
sick_alien, Я это доказал совершенно по-другому.
Ну, никто не утверждал, что решение единственно... Просто от Вас видимо требовалось расписать эти равенства в терминах принадлежности множеств...

P.S.: При наборе формул в режиме скрипта не используется кириллица...
URL