Скалярное произведение

[IWannaBeTheVeryBest]

При каких условиях на матрицу квадратную матрицу P размерностью NxN данная функция является скалярным произведением в пространстве матриц МхN
`F(X, Y) = trX^TPY`
В ответах сказано, что она должна быть положительно определенной. Во-первых, почему она должна быть симметричной? Ведь, если я правильно понимаю, определенность определяется только у симметричных матриц. Я так понимаю здесь важен критерий `P^T = P`. Во-вторых я не совсем понимаю, как на матрицах проверять признаки. Например
`F(X, Y) = F(Y, X) => trX^TPY = trY^TPX`
Здесь наверняка есть какое-то свойство матриц. Может быть матрицы между собой можно как-то транспонировать? Ведь в итоге след последней матрицы не поменяется. Хотя я могу ошибаться.
Другие свойства попытаюсь сам, но если что спрошу тут))
И да, не подскажете кое-что по технической части? Касается скрипта, который отображает формулы. При каждом новом запуске хром блокирует его. Я смотрел в инете решения проблем, но вдруг тут у кого-то было что-то подобное? Может быть тут кто-то решил эту проблему, не залезая в реестр? Причем у меня на ноуте стоит линукс убунту. И, как ни странно, там этот скрипт спокойно живет. На ПК стоит лицуха винда 7.

@темы: Матрицы

Comments

[All_ex]

Свойства должны выполняться для всех матриц нужного размера, следовательно, для каких-то конкретных тоже... рассмотрите матрицы у которых только одна строка ненулевая...

[All_ex]

На ПК стоит лицуха винда 7.
Когда езжу к родителям, то там тоже стоит 7ка... я там скрипт не устанавливал, а вызываю его нажатием на кнопку на панели закладок... никаких ругательств при этом хром не выдаёт...
То есть можно так... отсюда перетащить на панель закладок ссылку AsciiMathML Bookmarklet... при нажатии на значок включается скрипт...

[IWannaBeTheVeryBest]

All_ex, А почему выбор упал именно на такой вид матриц.

[All_ex]

А почему выбор упал именно на такой вид матриц.
Соображения простоты ... ...

Более того, линейность по аргументам для такой формы достаточно очевида...
Тогда имеет смысл рассмотреть базис в пространстве матриц размера `M xx N` - матрицы `e_{ij}`, у которых на месте `(i;j)` стоит едина, а остальные элементы нулевые...
Тогда симметричность матрицы `P` проверяется очевидным образом... а положительная определённость будет вытекать из рассмотрения матриц указанного выше вида ...

[IWannaBeTheVeryBest]

All_ex, Согласен. Линейность очевидна. Но у меня же как бы обратная задача. То есть мне не известна в начале матрица `P`. Как бы она любая в начале. И мне нужно подойти к тому, что такая матрица действительно должна быть положительно определенной. Ну матрица `P`. А тут получается наоборот. Я, зная матрицу P, рассматриваю разные виды матриц пространства `M xx N`

[All_ex]

А тут получается наоборот. - нет... всё получается как надо... может я просто выразил мысль неверно...
Проверяя свойство симметричности скалярного произведения, Вы получаете, что это возможно только для симметричной матрицы... А проверяя положительность произведения вектора самого на себя, получите положительную определённость матрицы...

[IWannaBeTheVeryBest]

All_ex, аа, ну я наверное не так понял просто.

произведения вектора самого на себя

Вы имели ввиду матрицы? Там же просто всё матрицы))

[All_ex]

Там же просто всё матрицы)) - ну, вектор - это элемент множества, определяющего векторное пространство... например, матрица тоже имеет право называться вектором...
Ваше скалярное произведение - это обобщение матричной записи для скалярного произведения векторов в неортонормированном базисе, где матрица `P` играет роль матрицы Грама...

[IWannaBeTheVeryBest]

All_ex, Проверяя симметричность, я же должен какими-то равносильными переходами перейти от `trX^TPY` к `trY^TPX`? То есть как то так
`trX^TPY = ... = trY^TPX`?

[IWannaBeTheVeryBest]

All_ex, Про симметричность я, вроде как, догадался. Используется свойство `P = P^T`
Также надо было посмотреть свойство следа. `trA = trA^T` (хотя оно и без "посмотреть" достаточно очевидно)
`trX^TPY = | PY = A| = trX^TA = trA^TX = trY^TP^TX = trY^TPX`
Собственно отсюда следует, что матрица `P` симметричная
Осталась положительная определенность

[IWannaBeTheVeryBest]

All_ex, Что-то не могу понять как доказать положительную определенность. Знаю, что у положительно определенной матрицы на главной диагонали положительные числа, что может как-то косвенно указывать на след этой матрицы... Ну что еще. Понятно, что след-то у нее положителен. Но вот как дойти до произведения каких то матриц?

[All_ex]

То есть как то так `trX^TPY = trY^TPX`? - нет... это дано, то есть должно выполняться ...
Про симметричность я, вроде как, догадался. Используется свойство `P = P^T` - нет... Вы это свойство не используете, а доказываете...
Указание уже было... используйте базисные матрицы...

Что-то не могу понять как доказать положительную определенность
И тут уже говорилось про использование матриц с одним ненулевым столбцом...

[IWannaBeTheVeryBest]

All_ex, Ок. Рассматриваю базисные матрицы.
`trX^TPY`
Где матрица `X^T` размерностью 2х3, c единицей на `x_{11}`, матрица `Y` размерностью 3x2, с единицей на `x_{12}`
Если обозначить элементы матрицы `P` как `p_1...p_9`, то можно их попытаться перемножить. Ответ все-равно одинаковый. Там и там будет нулевой след. Ну если менять местами матрицы `Y` и `X`.

[All_ex]

Если обозначить элементы матрицы `P` как `p_1...p_9` - а чем Вас не устраивает обозначение `p_{ij}`?...

Где матрица `X^T` размерностью 2х3, c единицей на `x_{11}`, матрица `Y` размерностью 3x2, с единицей на `x_{12}`
Вы рассмотрели один пример и уже отчаялись?...
Рассмотрите случай матрица `Y` размерностью 3x2, с единицей на `y_{21}` ...

[IWannaBeTheVeryBest]

All_ex, Спасибо за наводку про симметричность. У меня там вышло, что `p_{12} = p_{21}`. Только здесь у меня будет наверное такой вопрос. Мы рассматривали же только пространство матриц `3x2`. Как распространить правило на любые пространства `M xx N`? Или доказав, что для определенного пространства матриц, ну с определенной размерностью, матрица `P` должна быть минимум симметричной, то это правило автоматически распространяется на любое пространство матриц `M xx N`? Ведь такое скалярное произведение должно работать для любых размерностей.
Про положительную определенность тоже все понятно, но только есть одно НО. Я же рассматривал матрицы с одной ненулевой строкой... Собственно у меня выходит, что `p_{ii}` должно быть больше нуля. Но симметричная матрица с положительными элементами на диагонали не обязательно положительно определенная. У положительно определенной действительно на диагонали положительные элементы, но как мне кажется обратное правило не работает.

[All_ex]

Мы рассматривали же только пространство матриц `3x2`. Как распространить правило на любые пространства `M xx N`?
А в чём разница?...

Собственно у меня выходит, что `p_{ii}` должно быть больше нуля.
Не понял?... ... это, извините, пуркуа?...
А можно у Вас узнать определение положительной определённости матрицы?...

[IWannaBeTheVeryBest]

All_ex, Положительно определенная матрица - симметричная матрица, у которой все главные определители положительные.
То, что я написал про `p_{ii}` это вышло при использовании матрицы с одной ненулевой строкой. Просто я поставил на место `x_{11}` единицу. Остальные нули.
По аксиоме
`trX^TPX > 0` если `X` ненулевая матрица. Матрицу я взял можно сказать из базиса. Значение скалярного произведения получилось `p_{11}`. Когда поставил на второе место единицу, а остальные нули, то получил `p_{22}`. И так далее. Так как такое скалярное произведение получается больше нуля, значит, если говорить прямо, значение, которое у меня получается, должно быть больше нуля. Ведь так? Я просто обобщил, написав `p_{ii}`.

[All_ex]

у которой все главные определители положительные. - это не определение... это необходимый и достаточный критерий...
`trX^TPX > 0` если `X` ненулевая матрица. - а вот это определение ...

[IWannaBeTheVeryBest]

All_ex,

а вот это определение

Определение положительно определенной матрицы `P`? Это что получается, оно совпадает с аксиомой скалярного произведения?

[All_ex]

Это что получается, оно совпадает с аксиомой скалярного произведения?
В случае когда умножаются вектор-столбы, то да... а у Вас дано обобщение этого скалярного произведения...

[IWannaBeTheVeryBest]

All_ex,

проверяя положительность произведения вектора самого на себя, получите положительную определённость матрицы

Вы также предлагали рассматривать матрицы с одной ненулевой строчкой. При проверке у меня вытекает, что скалярное произведение равно какому-то элементу диагонали матрицы `P`.
Такой результат, по предположению, должен быть больше нуля. Когда я получил симметричность матрицы и первый элемент диагонали положительный, то это все намекнуло на положительную определенность матрицы. Однако дальше нам надо доказать, что эта матрица будет именно положительно определенной. Как это связать я не знаю честно говоря. Все, что я могу получить в итоге, так это то, что все элементы диагонали должны быть положительны.
Мне на ум приходит только рассматривать пространство матриц `M xx 1`, дабы показать, что и для таких матриц должны выполнятся аксиомы, одна из которых - это положительная определенность скалярного произведения. Чтобы такое скалярное произведение было больше нуля при ненулевом, тут уже получается, векторе-столбце, нужно чтобы матрица `P` была положительно определенной. Но здесь у меня сомнения в том, что дан след. В итоге как бы получается, что мы берем след матрицы `1 xx 1`, то есть числа что, наверняка, и будет являться этим числом.

[All_ex]

Вы также предлагали рассматривать матрицы с одной ненулевой строчкой. При проверке у меня вытекает, что скалярное произведение равно какому-то элементу диагонали матрицы `P`.
... Упс... один элемент получается когда Вы умножаете не просто матрицы с одной не нулевой строкой, а матрицы с одним ненулевым элементом... то есть базисные матрицы..

В итоге как бы получается, что мы берем след матрицы `1 xx 1`, то есть числа что, наверняка, и будет являться этим числом.
Возьмите матрицу `2 xx 2` и умножьте её на матрицу такого же размера с одним ненулевым столбцом как `X^T*P*X` ... и посмотрите что получается...

Какие-то у Вас неувязки с умножением матриц...

[IWannaBeTheVeryBest]

Какие-то у Вас неувязки с умножением матриц...

Почему? У меня выходила матрица `2 xx 2` у которой есть только 1 элемент на диагонали. Второй диагональный элемент равен 0. Поэтому след и равен этому элементу.

Возьмите матрицу `2 xx 2` и умножьте её на матрицу такого же размера с одним ненулевым столбцом как `X^T*P*X` ... и посмотрите что получается...

Вы имели ввиду взять матрицу `X` с одним ненулевым столбцом? То есть пространство матриц `M xx N`, где `M = N`? Если так, то я взял матрицу `2 xx 2` со столбцом из единиц, а второй столбец с нулями. Произвел такое умножение и получил сумму всех элементов на месте `x_{11}`, а остальные элементы нули. Если еще брать след, то и выйдет просто сумма всех элементов матрицы `P`.

[All_ex]

Если так, то я взял матрицу `2 xx 2` со столбцом из единиц
Произвольный столбец должен быть...

Произвел такое умножение и получил сумму всех элементов на месте `x_{11}`,
А в общем случае какой элемент получится?...

[All_ex]

Ещё одна подсказка...
Если матрица `X = (a_1, ... , a_M)`, где `a_k` - столбцы, то `X^T*P*X = ( det[a_i^T*P*a_j] ) = (( det[a_1^T*P*a_1] , ... , det[a_1^T*P*a_M] ), (... , ... , ...), ( det[a_M^T*P*a_1] , ... , det[a_M^T*P*a_M] ))` ...
Сделайте вывод...

[IWannaBeTheVeryBest]

All_ex, Честно говоря я немного удивлен, откуда взялось такое равенство. Ведь если мы производим умножение строки на матрицу на столбец, то в итоге получается число. Причем тут знак детерминанта? Или я что-то не так подумал?
Если так рассматривать, то как я понял на месте `x_{11}` в общем случае должно стоять число произведения первой строки на матрицу и на тот же самый столбец. После того, как мы вот так разложили - перемножение матриц -> перемножение столбцов через матрицу, то мы получили, что все ячейки в последней матрице у нас наверняка должны подчиняться правилу
`a_i^T*P*a_j > 0`.
А чтобы такое выполнялось необходимо, чтобы матрица `P` была положительно определенной....
Что-то ничего больше в голову не идет.

[All_ex]

Ведь если мы производим умножение строки на матрицу на столбец, то в итоге получается число.
Нет... получаем матрицу `1 xx 1`... а это не совсем число...

то все ячейки в последней матрице у нас наверняка должны подчиняться правилу
нет, не все ...

Что-то ничего больше в голову не идет.
Думаем ещё...

[IWannaBeTheVeryBest]

Нет... получаем матрицу ... а это не совсем число...

Ну тогда ее детерминант и есть это число же?

нет, не все ...

только диагональные?

Думаем ещё...

Думаю... "Но ничего опять не придумаю" D

[All_ex]

Думаю... "Но ничего опять не придумаю"
То есть Вы не видите здесь полученного выражения из определения знакоопределённости?...

[IWannaBeTheVeryBest]

Определение, с которым мы определились:
`trX^T*P*X > 0` если `X` ненулевая матрица.
Из того, что вы написали я вижу, что у нас получается какая-то матрица, след которой должен быть больше нуля. То есть сумма диагональных элементов. То есть
`sum_{1}^{M} a_i^T*P*a_i > 0`. Такому правилу должен отвечать след нашего перемножения.
Возможно еще, наверное, сказать, что чтобы наше перемножение матриц являлось скалярным произведением, то необходимо, чтобы
`a_i^T*P*a_j` также являлось скалярным произведением. Чтобы это являлось скалярным произведением необходимо, чтобы матрица `P` была симметричной. Только в таком случае такие произведения будут отвечать аксиоме о положительной определенности.
Извините, просто реально больше ничего не вижу.