Греческая математическая олимпиада

[mpl]

Греческая математическая олимпиада www.hms.gr/?q=competitions/home Математические соревнования в современной Греции проводятся с 1940 года. Они проводятся в три раунда в ноябре, январе и феврале, которые носят имена Θαλής, Ευκλείδης и Αρχιμήδης. Финальный раунд (Αρχιμήδης был впервые проведен в 1984 году. Условия финального этапа 2012 года приведены в комментариях Благодарю Дилетант за помощь.

@темы: Олимпиадные задачи, Новости

Comments

[mpl]

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ
29η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα
"Ο Αρχιμήδης"
3 Μαρτίου 2012
Θέματα μικρών τάξεων
Задания для младших классов

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1
Пусть остроугольный треугольник ABΓ (AB < AΓ < BΓ, вписан в круг c(O, R) (с центром O и радиусом R). Круг c1 (A, АВ) (с центром в точке A и радиусом AB) пересекает сторону BΓ в точке Δ и окружность c(O, R) в точке E. Докажите, что сторона AΓ делит пополам угол ΔAE.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2
Для различных значений параметра a ∈ R решите уравнение

||x −4|−2x+8|=ax+4.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3
Натуральные числа m и n при m> n удовлетворяют уравнению НОК {m, n} + НОД {m, n} = m + n. (*)
(a) Докажите, что m делится на n.
(b) Если, к тому же, m-n = 10, найдите все пары (m, n), являющиеся решением уравнения (*).

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4
На плоскости П лежит прямая ε, проходящая через две различные точки А1, А2. Две другие различные точки А3 и А4 плоскости П не принадлежат прямой ε. Поставьте точки А3 и А4 в такой позиции, из которой можно сформировать максимальное число равнобедренных треугольников с тремя вершинами из множества четырех точек A1, A2, A3, A4:
(a) когда точки А3 и А4 лежат в разных полуплоскостях относительно прямой ε,
(b) когда точки А3 и А4 принадлежат одной полуплоскости относительно прямой ε.
Рассмотрите все возможные случаи и в каждом случае объясните, как определить геометрическое место точек A3 и A4.

[mpl]

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ
29η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα
"Ο Αρχιμήδης"
3 Μαρτίου 2012
Θέματα μεγάλων τάξεων
Задания для старших классов

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1
Взаимно простые натуральные числа p, q удовлетворяют уравнению

`p + q^2 = (n^2 + 1)p^2 + q`,

где параметр n является натуральным числом. Найти все возможные пары (p, q).

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2
Найти все ненулевые многочлены `P(x)` и `Q(x)`с действительными коэффициентами, минимальной степени, такие, что `P(x^2)+Q(x)=P(x)+x^5Q(x)`для всех `x in RR`.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3
Дан остроугольный треугольник ABΓ (AB < AΓ < BΓ, вписанный в окружность c(O, R) (O - центр окружности, R - длина ее радиуса). Биссектриса AΔ пересекает c(O, R) в точке K. Окружность c1(O1, R1), центр которой принадлежит отрезку OA, проходит через точки A и Δ, пересекает AB в точке E и AΓ в точке Z. M, N - середины ZΓ и BE соответственно. Докажите, что прямые ΕΖ, ΔΜ, ΚΓ проходят через одну точку (обозначим ее T) и прямые ΕΖ, ΔΝ, ΚΒ проходят через одну точку (обозначим ее S) и прямая OK перпендикулярна TS.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4
Равнобедренная трапеция составлена из равносторонних треугольников, длина стороны которых равна 1. Длина стороны `A_1E` равна 3, длина большего основания `A_1A_nu`равна `nu-1`. Движение начинается в точке `A_1`, двигаться можно только по линиям треугольной сетки направо и вверх (вверх и вправо или вверх и влево)

Выразить (как функцию от `nu`) количество всех возможных путей до точек Β, Γ, Δ, Ε при условии, что n больше трех.

[Alemand]

Спасибо за труд. Чехия, Греция, Польша... EURO-2012

[VEk]

Спасибо!

[~ghost]

Спасибо))

[wpoms.]

34 Олимпиада Архимед, 04.03.2017

Гимназия, младшие

1. Дан квадрат `ABGD` с длиной стороны `\alpha`. На стороне `AD` отметили точки `E` и `Z` такие, что `DE = \dfrac{\alpha}{3}` и `AZ = \dfrac{\alpha}{4}`. Прямые `BZ` и`GE` пересекаются в точке `H`. Выразите площадь треугольника `BGH` как функцию от `\alpha`.
обсуждение

2. Решите систему в положительных действительных числах:
`{(x*(6 - y) = 9), ( y*(6 - z) = 9), (z*(6 - x) = 9):}`.
обсуждение

3. Найдите все такие положительные целые числа`a`, `b` и простые числа `p` такие, что
`\frac{1}{p} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}`.
обсуждение

4. Компания из `n` игроков играет в настольную игру по следующим правилам.
а) В каждом раунде играют ровно `3` игрока
б) Игра заканчивается через `n` раундов
в) Каждая пара игроков играет вместе по крайней мере в одном раунде.
Найдите наибольшее возможное значение `n`.
обсуждение

Лицей, старшие

1. Остроугольный треугольник `ABC` с `AB < AC < BC` вписан в окружность `c(O,R)`. Окружность `c_1(A,AC)` пересекает окружность `c` в точке `D` и пересекает продолжение стороны `CB` в `E`. Прямая `AE` пересекает `c` в `F` и точка `G` симметрична `E` относительно точки `B`. Докажите, что около четырёхугольника `FEDG` можно описать окружность.
обсуждение

2. Через точку `A` на плоскости проходят 3 прямые, которые разбивают плоскость на 6 областей. Внутри каждой области выбраны 5 точек. Известно, что никакие три из выбранных 30 точек не лежат на одной прямой. Докажите, что существует не менее 1000 треугольников с вершинами в выбранных точках таких, что точка `A` находится внутри или на границе треугольников.
обсуждение

3. Найдите все целочисленные тройки `(a,b,c)` такие, что `a > 0 > b > c` и их сумма равна 0 при условии, что `N=2017-a^3b-b^3c-c^3a` является квадратом целого числа.
обсуждение

4. Пусть `u` является положительным корнем уравнения `x^2 + x - 4 = 0`. Многочлен `P(x) = a_n*x^n + a_{n-1}*x^{n-1} + \ldots + a_0,` где `n` - положительное целое число, имеет неотрицательные целые коэффициенты и `P(u) = 2017`.
1) Докажите, что `a_0 + a_1 + \ldots + a_n \equiv 1 text{mod} 2 `.
2) Найдите максимально возможное значение выражения `a_0+a_1+\ldots+a_n`.
обсуждение