06:40 

Греческая математическая олимпиада

Греческая математическая олимпиада
www.hms.gr/?q=competitions/home

Математические соревнования в современной Греции проводятся с 1940 года. Они проводятся в три раунда в ноябре, январе и феврале, которые носят имена Θαλής, Ευκλείδης и Αρχιμήδης. Финальный раунд (Αρχιμήδης) был впервые проведен в 1984 году.

читать дальше

Условия финального этапа 2012 года приведены в комментариях

Благодарю Дилетант за помощь.

@темы: Новости, Олимпиадные задачи

Комментарии
2012-06-13 в 06:42 

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ
29η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα
"Ο Αρχιμήδης"
3 Μαρτίου 2012
Θέματα μικρών τάξεων
Задания для младших классов

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1
Пусть остроугольный треугольник ABΓ (AB < AΓ < BΓ), вписан в круг c(O, R) (с центром O и радиусом R). Круг c1 (A, АВ) (с центром в точке A и радиусом AB) пересекает сторону BΓ в точке Δ и окружность c(O, R) в точке E. Докажите, что сторона AΓ делит пополам угол ΔAE.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2
Для различных значений параметра a ∈ R решите уравнение

||x −4|−2x+8|=ax+4.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3
Натуральные числа m и n при m> n удовлетворяют уравнению НОК {m, n} + НОД {m, n} = m + n. (*)
(a) Докажите, что m делится на n.
(b) Если, к тому же, m-n = 10, найдите все пары (m, n), являющиеся решением уравнения (*).

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4
На плоскости П лежит прямая ε, проходящая через две различные точки А1, А2. Две другие различные точки А3 и А4 плоскости П не принадлежат прямой ε. Поставьте точки А3 и А4 в такой позиции, из которой можно сформировать максимальное число равнобедренных треугольников с тремя вершинами из множества четырех точек A1, A2, A3, A4:
(a) когда точки А3 и А4 лежат в разных полуплоскостях относительно прямой ε,
(b) когда точки А3 и А4 принадлежат одной полуплоскости относительно прямой ε.
Рассмотрите все возможные случаи и в каждом случае объясните, как определить геометрическое место точек A3 и A4.

2012-06-13 в 06:45 

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ
29η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα
"Ο Αρχιμήδης"
3 Μαρτίου 2012
Θέματα μεγάλων τάξεων
Задания для старших классов

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1
Взаимно простые натуральные числа p, q удовлетворяют уравнению
`p + q^2 = (n^2 + 1)p^2 + q`,

где параметр n является натуральным числом. Найти все возможные пары (p, q).

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2
Найти все ненулевые многочлены `P(x)` и `Q(x)`с действительными коэффициентами, минимальной степени, такие, что `P(x^2)+Q(x)=P(x)+x^5Q(x)`для всех `x in RR`.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3
Дан остроугольный треугольник ABΓ (AB < AΓ < BΓ), вписанный в окружность c(O, R) (O - центр окружности, R - длина ее радиуса). Биссектриса AΔ пересекает c(O, R) в точке K. Окружность c1(O1, R1), центр которой принадлежит отрезку OA, проходит через точки A и Δ, пересекает AB в точке E и AΓ в точке Z. M, N - середины ZΓ и BE соответственно. Докажите, что прямые ΕΖ, ΔΜ, ΚΓ проходят через одну точку (обозначим ее T) и прямые ΕΖ, ΔΝ, ΚΒ проходят через одну точку (обозначим ее S) и прямая OK перпендикулярна TS.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4
Равнобедренная трапеция составлена из равносторонних треугольников, длина стороны которых равна 1. Длина стороны `A_1E` равна 3, длина большего основания `A_1A_nu`равна `nu-1`. Движение начинается в точке `A_1`, двигаться можно только по линиям треугольной сетки направо и вверх (вверх и вправо или вверх и влево)

Выразить (как функцию от `nu`) количество всех возможных путей до точек Β, Γ, Δ, Ε при условии, что n больше трех.

2012-06-13 в 09:29 

Спасибо за труд. Чехия, Греция, Польша... EURO-2012 :)

2012-06-13 в 16:10 

Белый и пушистый (иногда)
Спасибо!

2012-06-19 в 01:44 

Спасибо))

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная