Что-то гармоническое

[wpoms.]

Найдите все такие положительные целые числа`a`, `b` и простые числа `p` такие, что `\frac{1}{p} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}`.

@темы: Теория чисел

Comments

[All_ex]

что-то кроме `1/2 = 1/{2^2} + 1/{2^2}` ничего в голову не приходит...

[cube in cube]

Очевидно, что оба числа `a` и `b` больше единицы.
Пусть `a = prod_(i=1)^(n_1) p_i^(k_i)` , а `a = prod_(j=1)^(n_2) p_j^(k_j)`
Пусть `A = {p_i , 1 <= i <= n_1}`, а `B = {p_j , 1 <= j <= n_2}`
1) Пусть `A nn B = emptyset` , тогда `a^2 + b^2` не делится ни на одно простое число `p`, где `p in P = A uu B`, то есть `1/(a^2) + 1/(b^2)` - несократимая дробь с числителем не равным единице, следовательно `A nn B != emptyset`
2) Пусть `A nn B != emptyset`, тогда числа `a` и `b` можно представить следующим видом: `a = (prod_(i=1)^(n_1) p_i^(k_i))*(prod_(s=1)^n p_s^(k_s^1))`,
`b = (prod_(j=1)^(n_2) p_j^(k_j))*(prod_(s=1)^n p_s^(k_s^2))`
тогда `1/(a^2) + 1/(b^2) = (prod_(s=1)^n p_s^(2 * k_s))*( (prod_(i=1)^(n_1) p_i^(2*k_i))*(prod_(s=1)^n p_s^(2*k_s^1 - k_s)) + (prod_(j=1)^(n_2) p_j^(2*k_j))*(prod_(s=1)^n p_s^(2*k_s^2 - k_s)) )/ ( (prod_(i=1)^(n_1) p_i^(2*k_i))* (prod_(j=1)^(n_2) p_j^(2*k_j)) * (prod_(s=1)^n p_s^(2*(k_s^1 + k_s^2))) ) =`
`= \frac{ (prod_(i=1)^(n_1) p_i^(2*k_i))*(prod_(s=1)^n p_s^(2*(k_s^1) - k_s)) + (prod_(j=1)^(n_2) p_j^(2*k_j))*(prod_(s=1)^n p_s^(2*(k_s^2) - k_s)) } { (prod_(i=1)^(n_1) p_i^(2*k_i))* (prod_(j=1)^(n_2) p_j^(2*k_j)) * (prod_(s=1)^n p_s^(2*(k_s^1 + k_s^2) - k_s)) }` , но тогда к числителю дроби можно применить рассуждения из 1), следовательно `A = B`, тогда `1/(a^2) + 1/(b^2) = 2/( prod_(i=1)^n_1 p_i^(2*(k_i)))`, но тогда `|A| = 1` и `p_1 = 2`, то есть `a = b = 2`