Целочисленные тройки

[wpoms.]

Найдите все целочисленные тройки `(a,b,c)` такие, что `a > 0 > b > c` и их сумма равна 0 при условии, что `N=2017-a^3b-b^3c-c^3a` является квадратом целого числа.

@темы: Теория чисел

Comments

[cube in cube]

`N=2017-a^3b-b^3c-c^3a = 2017 + b^4+c^4+2*b^3*c+2*c^3*b+3*b^2*c^2 = 2017 + (b*c*(b/c+c/b+1))^2`
Обозначим `y^2 = N` и `x = b*c*(b/c+c/b+1)`, тогда `y^2 = 2017 + x^2`, но 2017 - простое, тогда одно из чисел `|y - x|` или `|x + y|` равны единице, а
`|x+y|` или `|y-x|` равны 2017 соответственно. Заметим, что `x > 0`
1) Пусть `y > 0`, тогда `x+y = 2017` и `y - x = 1`, следовательно `x = 1013`
`x = b*c*(b/c+c/b+1) = b^2 + c^2 + bc = 1013`
Рассмотрим остатки при делении на 3 левой и правой части.
`1013 = 2` (mod 3)
Рассматривая всевозможные комбинации остатков при делении на 3 чисел `b` и `c` убеждаемся, что `x != 2 `(mod 3) ни при каких `b` и `c`, то - есть решений нет.
2) Пусть `y < 0`, тогда `x+y = -1` и `y - x = -2017`, следовательно `x = 1013` и в силу 1) решений нет.

Ответ: таких чисел не существует