Докажите, что для всех положительных действительных чисел $a, b, c,$ $(a^3+b^3+abc)^{-1} + (b^3+c^3+abc)^{-1} + (a^3+c^3+abc)^{-1} \le (abc)^{-1}.$ |  |
Последовательность положительных действительных чисел $a_1, a_2, a_3, \ldots$ удовлетворяет неравенству $\sum_{j = 1}^n a_j \geq \sqrt {n}$ для всех $n \geq 1.$ Докажите, что для всех $n \geq 1$ $\sum_{j = 1}^n a_j^2 > \frac {1}{4} \left( 1 + \frac {1}{2} + \cdots + \frac {1}{n} \right).$ | |
Пусть $a_0, a_1, a_2,\cdots$ --- последовательность положительных действительных чисел, удовлетворяющая условию $a_{i-1}a_{i+1}\le a^2_i$ для $i = 1, 2, 3,\cdots .$ (Такая последовательность называется логарифмически вогнутой.) Покажите, что для всех $n > 1$ выполняется $\frac{a_0+\cdots+a_n}{n+1}\cdot \frac{a_1+\cdots+a_{n-1}}{n-1}\ge \frac{a_0+\cdots+a_{n-1}}{n}\cdot \frac{a_1+\cdots+a_{n}}{n}.$ | |
Докажите неравенство: `\frac1{1!} + \frac1{2!} + \frac1{3!} + ... + \frac1{2022!} > \frac{1^2}{2!} + \frac{2^2}{3!} + \frac{3^2}{4!} + ... + \frac{2022^2}{2023!}.` |  |
Пусть $a =(m^{m+1} + n^{n+1})/(m^m + n^n),$ где $m$ and $n$ --- целые положительные числа. Докажите, что $a^m + a^n \geq m^m + n^n.$ [Вам может пригодиться исследование отношения $(a^N - N^N)/(a-N),$ для действительного $a \geq 0$ и целого $N \geq 1.$] | |
