Сборник задач по геометрии в 2-х частях. Часть 2

[pemac]

Сборник задач по геометрии в 2-х частях. Часть 2
Автор: Гусева Н.И., Денисова Н.С., Тесля О.Ю.
Название: Сборник задач по геометрии в 2-х частях. Часть 2
Издательство: КНОРУС
Год: 2012
Количество страниц: 529
Формат: Djvu
Размер: 5 Mb

rusfolder.com/42868556



Содержит задачи по проективной геометрии, методам изображений, элементам топологии, многогранникам, дифференциальной геометрии, основаниям геометрии, геометрии Лобачевского, площади и объему, неевклидовым геометриям. Также включает основные теоретические положения и примеры решения основных типов задач по каждому разделу и задачи второй части курса геометрии по специальностям: 032100 "Математика", 540200 "Физико-математическое образование (бакалавриат)", 510100 "Математика (бакалавриат)" и 031021 "Информатика".

Для студентов математических и физико-математических факультетов педагогических вузов. Может быть использовано для очных и заочных форм обучения, а также для организации самостоятельной работы студентов.

@темы: Высшая геометрия, Литература

---

[mpl]

С Днём Рождения, Дилетант!!!

@темы: Праздники

---

Элемент последовательности

[wpoms.]

Последовательность действительных чисел `x_n` определяется рекурсивно: `x_0`, `x_1` - произвольные положительные действительные числа и `x_{n+2} = (1+x_{n+1})/(x_n)`, `n = 0,1, 2,. ..` Найдите `x_{1998}`.

@темы: Школьный курс алгебры и матанализа

---

[mkutubi]

Веннинджер М. Модели многогранников - Мир, 1974, 236 c. Книга Веннинджера — практическое пособие по изготовлению многогранников: правильных и полуправильных, выпуклых и звездчатых. Фундаментальная теория симметрии, лежащая в основе данной темы, придает книге широкое познавательное значение. Книга «Модели многогранников», снабженная выразительными фотографиями и чертежами, вызовет интерес и принесет несомненную пользу широкому кругу читателей и в первую очередь преподавателям математики и руководителям математических кружков, студентам и школьникам, которые захотят поближе познакомиться с этими изящными геометрическими объектами. scan AAW, обработка bolega. (djvu) yadisk

@темы: Литература

---

Отрицание к определению

[MestnyBomzh]

Есть определение равномерной сходимости интеграла по параметру:
Несобственный интеграл `I(y)` называется равномерно сходящимя по парамутру `y` на `[c;d]`, если он сходится и если:
`forall varepsilon > 0 exists A(varepsilon) >= a : forall R > A ` и `forall y in [c;d]` выполнено `|int_R ^ (+oo) f(x,y)dx| < varepsilon`
Верно ли я пишу отрицание для этого определения:
Несобственный интеграл `I(y)` называется неравномерно сходящимя по парамутру `y` на `[c;d]`, если он расходится или если:
`exists varepsilon > 0 : forall A(varepsilon) >= a exists y in [c;d]: |int_A ^ (+oo) f(x,y)dx| > varepsilon`?
Нужно для док-ва того, что интеграл сходится неравномерно

@темы: Интегралы

---

Интегралы. Параметры

[MestnyBomzh]

пусть надо посчитать интеграл `F(m) = int_0^(+oo) e^(-alpha x) cos(mx) /x dx`.
`F'(m) = - int_0^(+oo) e^(-alpha x) sin(mx) dx = -m/(m^2+alpha^2)`
Значит `F(m) = -1/2 int (d(m^2))/(m^2+alpha^2) = -1/2ln(m^2+alpha^2)+C`. Вопрос: как найти константу? Ищу `F(0)`, но в исходном интеграле опять вылезает константа: `F(0) = ln(alpha)+C_1`. Подскажите, как найти константу

@темы: Интегралы

---

[wpoms]

Донецк. Открытая ученическая олимпиада по математике, 2014 г.
6 класс
1. Из одного пункта одновременно в противоположных направлениях вышли два поезда. Через 4 часа между ними было 476 км. Найдите скорость каждого поезда, если у одного из них она на 5 км/ч больше, чем у другого.
2. Большой квадрат разрезали на одинаковые маленькие квадратики. Затем пересчитали все маленькие квадратики, примыкающие к контуру большого квадрата. Их оказалось 44. На сколько маленьких квадратиков был разрезан большой квадрат?
3. Тридцать три богатыря стали в ряд так, что каждый четный по счёту богатырь оказался на 8 см ниже предыдущего, и на 3 см ниже последующего. На сколько сантиметров первый богатырь выше последнего?
4. Девять одинаковых пирожных стоят меньше, чем 10 гривен, а десять таких же пирожных стоят больше, чем 11 гривен. Сколько стоит одно такое пирожное?
5. На математической олимпиаде участникам было предложено 10 задач. За каждую правильно решенную задачу засчитывали 5 баллов, а за каждую нерешенную или решенную неверно – отнимали 3 балла. Один участник получил 34 балла. Сколько задач он решил правильно?
Донецкий институт последипломного педагогического образования

Луганск. II этап ученической олимпиады 2014-2015 учебного года
8 класс
1. В простом двузначном числе цифра единиц на 2 больше цифры десятков. Если к этому числу прибавить 9, то полученная сумма будет больше 50, но меньше 97. Найти это число.
2. Отец в 5 раз старше сына. Отец окончил институт в 22 года. С тех пор прошло время, которое равно половине того, которое нужно сыну, чтобы ему тоже стало 22 года. Сколько лет сейчас сыну и сколько - отцу?
3. Биссектриса угла треугольника пересекает противолежащую сторону под углом $73^\circ$, а биссектрису одного из двух других углов - под углом $58^\circ$. Найти углы треугольника.
4. Построить график функции: $у = \dfrac{|x-2|}{x-2} + \dfrac{|x-3|}{x-3}$.
5. Решить уравнение $(a+4)х - 2,5х = (a-2)(а+3) + 3\text{,}5х$ в зависимости от параметра $a$.
Образовательный портал Луганска

Второй (городской в г. Харькове) этап Всеукраинской олимпиады школьников по математике. 30.11.2014 г.
10 класс
1. У Ростика есть ровно столько денег, сколько нужно на покупку тонны кубиков и тонны квадриков. Если он купит на 10\% кубиков больше, то ему сделают 30-процентную скидку на квадрики, и оставшихся денег ему хватит на покупку по крайней мере тонны квадриков. А если он купит на 30\% квадриков больше, то ему сделают 10-процентную скидку на кубики, и оставшихся денег ему хватит на покупку по крайней мере тонны кубиков. Что дороже и во сколько раз: тонна кубиков или тонна квадриков? Ответ обоснуйте.
2. Произведение трёх целых чисел в 6 раз больше их суммы, а одно из чисел равно сумме двух других. Найдите все такие тройки чисел.
3. Каждая клетка доски $n \times n$ ($n \ge 5$) покрашена в синий или жёлтый цвет. Никакие три подряд идущие клетки, расположенные в одной горизонтали, одной вертикали или одной диагонали, не покрашены в один и тот же цвет. Докажите, что в любом квадрате $3 \times 3$ среди угловых клеток ровно две синих и ровно две жёлтых.
4. Дан квадрат $ABCD$. Точки $N$ и $P$ выбраны на сторонах $AB$ и $AD$ соответственно так, что $NP = NC$. Точка $Q$ на отрезке $AN$ такова, что $\angle QPN = \angle NCB$. Докажите, что $\angle BCQ = \dfrac{1}{2}\angle AQP$.
5. Найдите все натуральные числа $n$, для которых число $(8n)! - 4n + 1$ является точным квадратом.
Задачи харьковской олимпиады по математике

@темы: Олимпиадные задачи

---

уравнение с модулем #2

[Just Dumb]

`(|x^3| - |5x|)/(sqrt(2x^2 - 4x - 1) - |x| +2) = 0;`

`|x^3| - |5x|=0;`

`|x^3|=|5x|;`

`[(x^3=5x), (x^3=-5x):};`

`[(x(x^2 - 5)=0), (x(x^2 + 5)=0):};`

`x^2-5=0;` или `x^2+5=0;`или `x=0;`

`x^2=5;`или `x^2=-5;`

`x=+-sqrt5;` или нет решений
_____________

ОДЗ:
`sqrt(2x^2 - 4x - 1) - |x| +2 = 0;`

`sqrt(2x^2 - 4x - 1) = |x| - 2 ;`

`{(|x| - 2>=0), (2x^2 - 4x - 1= |x|^2 - 4):};` любое число в квадрате будет положительным, корректно ли рассматривать модуль в квадрате?

`{(|x| >=2), ([(x>=0; x^2-4x+3=0), (x<0; 3x^2-4x+3=0):}):};`
в итоге в первом случае получается `x1=3, x2=1`, подходит только 3. Во втором случае нет решений.

У меня явно что-то не так с одз, опять лишние корни остаются. Что я еще не так делаю?

@темы: Уравнения (неравенства) с модулем

---

уравнение с модулем

[Just Dumb]

`|(x-1)/(x-2)|=|(x+1)/(x+2)|`

`(x-1)/(x-2)=|(x+1)/(x+2)|`;
`(x-1)/(x-2)=(x+1)/(x+2)`;
`(x-1)/(x-2)-(x+1)/(x+2)=0`;
`((x-1)(x+2)-(x-2)(x+1))/(x^2-4)=0`;
`(2x)/(x^2-4)`;
`2x(x^2-4)=0`;
`2x=0` или `x^2-4=0`
`x=0` или `x=2; -2`
__________
`(x-1)/(x-2)=|(x+1)/(x+2)|`;
`(x-1)/(x-2)=-(x+1)/(x+2)`;
`(x-1)/(x-2)+(x+1)/(x+2)=0`;
`((x-1)(x+2)+(x-2)(x+1))/(x^2-4)=0`;
`(2x^2-4)/(x^2-4);
???

@темы: Уравнения (неравенства) с модулем

---

Задача по теории вероятностей

[Denny Di]

С площади уезжают 4 автомобиля, каждый из которых с равной вероятностью может поехать по одной из четырех улиц, начинающихся от этой площади. Найти вероятность того, что
А. По одной из улиц не поедет ни одного автомобиля
Б. Хотя бы по одной улице поедут два автомобиля.

Как я решала
P(A) = 3/4*3/4*2/4*1/4=3/64
P(B) = 4*(1/4*1/4*3/4*3/4)=9/64

Но точно знаю, что второе не верно, да и в первом не уверена. Подскажите, пожалуйста, что здесь не правильно.

@темы: Теория вероятностей

---

Плоская фигура ограничена нижеследующими кривыми ?

[DarthSidious]

`xy=4, y>=1/2 x^2, y<=6`
НЕ вижу я тут плоской фигуры. Это я ошибся или условия неверное ?

@темы: Интегралы

---

Интеграл

[gelIos1]

Пример: `int_2^[+oo] sin[3x]/x^pdx`
Нужно исследовать на сходимость.

Вот что получается:

С пунктом `a )` всё ясно. Но вот дальше я не уверен. Вроде как доказал, что при `p=1` сходимость условная. Но ведь при `p>1` получается то же самое, т.е. условная сходимость. Но в ответе при `p>1` сходимость абсолютная... Ведь предел `(1-cos6x)/2` и при `p=1`, и при `p>1` равен бесконечности (когда x стремится к +бесконечности). Следовательно интеграл должен расходиться...

@темы: Математический анализ

---

[Дилетант]

В день Татьяны все студенты пьяны!

Дорогие студенты и не менее дорогие бывшие студенты и преподаватели! От всей души поздравляю вас с практически профессиональным праздником

---

Вставлю из прошлогоднего поздравления.

Почему студенты отмечают Татьянин день?

25 января 1755 г. императрица Елизавета Петровна подписала указ об учреждении Московского университета.
День был выбран не случайно. Основатель университета граф И. И. Шувалов приурочил открытие учебного заведения к именинам своей матери Татьяны Ростиславской.

Именно в этот день, 25 января, православная Церковь вспоминает святую Татиану Римскую. Она приняла мученическую смерть за веру в Христа.

В 1791 году в одном из флигелей главного здания университета на Моховой улице была создана домовая церковь святой мученицы Татианы, а сама святая была объявлена покровительницей всего российского студенчества.

В 60-70-е годы XIX века Татьянин день превратился в неофициальный студенческий праздник. Сначала его отмечали только в Москве, затем традиция распространилась и в других городах России, где были высшие учебные заведения.

Официальным праздником считалось 12 января. И только указом императора Николая I празднование Дня студентов было перенесено на 25 января — день подписания указа об основании Московского университета.

До революции у праздника были свои традиции и ритуалы. В Татьянин день устраивали гуляния. На улицы выходили преподаватели и профессура, студенты и выпускники высших учебных заведений — юристы, врачи, учителя и другие представители интеллигенции.

Схема празднования была универсальна: обедня, молебен с акафистом святой мученице Татиане, торжественное мероприятие при университете, затем развлечения.

Праздник отмечался достаточно шумно и весело. Полиции не рекомендовалось в этот день арестовывать и даже задерживать выпивших студентов, им наоборот оказывали помощь.

Студенты прогуливались по Большой Никитской и распевали гимн «Gaudeamus igitur». После толпа перемещалась к Тверскому бульвару, в излюбленные кабаки. Еще с семидесятых годов XIX века хозяин «Эрмитажа» француз Оливье отдавал студентам на этот день свой ресторан для празднования. На этом пиру за одним столом могли оказаться бедные студенты и именитые профессора — на один день учёное сообщество забывало про чины и становилось единым братством.

После 1917 года о Татьянином дне забыли на долгие десятилетия, однако в 1990-е годы праздник снова вернулся. Многие традиции, к сожалению, не сохранились.

День студента официально признали только в 2005 году: 25 января президент Владимир Путин подписал указ о дате праздника и присвоении ему высокого статуса общегосударственного.

Традиции празднования Дня студенчества для каждого города, каждого университета или колледжа иногда в значительной степени отличаются. Например, в Волгограде к этому дню открывается выставка работ, выполненных исключительно Татьянами. А в Белгородском государственном технологическом университете им. В. Г. Шухова ежегодный Татьянин бал открывается танцем со свечами — эта традиция восходит к дореволюционным торжественным шествиям со свечами в Московском университете. На другом конце страны, во Владивостоке ведут Большую книгу студенческих рекордов.

На Татьянин пили разные горячительные напитки. Дети из богатых семей могли позволить себе вино или шампанское. Для обычных студентов самым доступным напитком была медовуха. 25 января ее выкатывали на улицу прямо в бочках.

Традиция пить медовуху в День студента возникла еще в XIX веке. Тогда сладковатый и слабоалкогольный напиток был очень распространенным и популярным в народе.

После 100-летней годовщины Университета Татьянин день стал основным праздником студенчества. После официальной части праздника начиналось разгульное веселье. Московские рестораны в этот день заранее убирали подальше дорогую мебель и ковры: «господа студенты гулять изволят».

На праздник пили вино и шампанское, но больше всего – медовуху. Ведь это был один из самых доступных напитков, дешёвых и простых в приготовлении. 25 января во время народных празднований Дня студента на улицы выкатывали целые бочки с медовухой, которую тогда варили круглый год почти в каждом доме.

С 1923 года Татьянин день был запрещен, вместо привычного праздника власти ввели «День пролетарского студенчества».
(c) www.aif.ru/dontknows/file/1089483
www.aif.ru/dontknows/answer/1089532

@темы: Праздники, Сообщество

---

Производная

[gelIos1]

Объясните, пожалуйста, поподробнее чем запись `f'_(+)(x_0)` отличается от `f'(x_(0)+0)`
Как я понимаю, первая запись - это правосторонняя производная в точке `x_(0)`. Но какой смысл тогда несет в себе вторая запись?

@темы: Математический анализ

---

Признак Дирихле

[gelIos1]

Есть теорема. "Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов первого рода".

Не понимаю вторую строчку пункта `1)`. Допустим `f(B)*F(B)->0_(B->+oo)` (как произведение бесконечно малой и ограниченной функций). Но как из этого следует то, что существует конечный предел`lim_(B->+infty)int_A^B F*g'dx` ?

@темы: Математический анализ

---

[Stepen]

Проверьте пожалуйста
`y=ln((x+a)/(x^2+b^2)^1/2`

`y'= ((x^2+b^2)^1/2/x+a)*((x^2+b^2)^1/2-(x(x+a))/(x^2+b^2)^1/2)/(x^2+b^2)^1/2)=(1)/x+a -(x)/x^2+b^2`

@темы: Производная

---

Аппроксимация Пуассона

[Ralle]

При малом p (при редких явлениях) и большом n (кол-ве испытаний) можно приближённо заменить двухпараметрическое биномиальное распределение Bi(n, p) на однопараметрическое распределение Пуассона П(np).
В некоторых учебниках существует примечания о том, что погрешность такой замены не превышает np^2.
Подскажите, пожалуйста, как получить это np^2.

@темы: Теория вероятностей

---

пределы

[Stepen]

Проверьте пожалуйста

lim x → 0 (e^x^2 - e^3x)/sin(x^2/2 -sinx)=lim x → 0 (e^x^2-1)-( e^3x-1)/2sin((x^2/2-x)/2)cos((x^2/2+x)/2)=lim x → 0 (x(x+o(x) -3+o(1))/x(x/2-1+o(x))(2/x-x/2+1+o(x))=3

@темы: Пределы

---

[Amicus Plato]

25 января (завтра, но, думаю, это не очень страшно) исполняется 170 лет со дня рождения Карла Германа Амандуса Шварца.

Википедия
Карл Герман Амандус Шварц (нем. Karl Hermann Amandus Schwarz; 25 января 1843 — 30 ноября 1921) — крупный немецкий математик, член Берлинской академии наук, профессор Галльского, Цюрихского, Гёттингенского и Берлинского университетов.

Биография
Герман Шварц родился в г. Хермсдорф в семье архитектора. Обучался в гимназии в Дортмунде и там основным его увлечением стала химия. С целью более глубокого изучения этой науки он поступил в Берлинский технический университет. Но под влиянием известных математиков Польке, Вейерштрасса и Куммера (на дочери последнего Шварц впоследствии женился), интересы Шварца сместились в сторону математики, в особенности геометрии. Он защитил докторскую диссертацию в 1864 под руководством Вейерштрасса. В 1865 г. Герман открыл так называемую «минимальную поверхность Шварца», что повлияло на развитие теории минимальных поверхностей, вариационное исчисление, теорию аналитических функций и теорию конформных отображений.
В 1867 Шварц стал приват-доцентом Университета в Галле и преподавал в Цюрихе, а с 1875 возглавил кафедру математики в Гёттингене. После Шварц интенсивно занимался математикой в Берлине, где параллельно возглавил добровольную бригаду содействия пожарным и даже работал на железнодорожном вокзале. В результате он получил замечательные результаты в различных областях математики — исследованиях минимальных поверхностей, в комплексном анализе, теории дифференциальных уравнений, функциональном анализе (где сформулировал неравенство, известное ныне под именем неравенства Шварца), предложил решение проблемы Дирихле для произвольных контуров, составил таблицу формул для эллиптических функций типа Вейерштрасса.
В конце жизни семья Шварца испытывала значительные материальные трудности, что подкосило и без того слабое здоровье учёного. Умер он в Берлине в 1921 году.
Научный вклад
В 1864 году Герман дал элементарное доказательство теоремы Польке — Шварца: всякий невырождающийся полный четырёхугольник можно рассматривать как параллельную проекцию тетраэдра наперёд заданной формы.
В области элементарной геометрии Шварц доказал, что в любой остроугольный треугольник можно вписать только один треугольник с минимальным периметром, причем его вершинами являются основания высот исходного треугольника.
Шварц исследовал понятие симметрии, четко сформулировал и обосновал так называемый принцип симметрии Римана — Шварца.
Доказал принцип Дирихле (принцип ящиков — предложение, утверждающее, что в случае m>n при отнесении каждого из m предметов к одному из n классов хотя бы в один класс попадёт не менее двух предметов). Это чрезвычайно простое предложение применяется при доказательстве многих важных теорем теории чисел, относящихся к приближению иррациональных чисел рациональными, в доказательствах трансцендентности чисел и др. вопросах.
В 1885 г. Шварц с помощью построения основной частоты мембраны впервые доказал существование собственных колебаний для двумерного случая и более высоких размерностей.
В 1890 г. Шварц придумал конструкцию, позже названную «сапогом Шварца». Он показал, что для случая цилиндра единичного радиуса и единичной высоты безобидный на первый взгляд метод триангуляции может дать для площади боковой поверхности любую величину, начиная от истинного значения 2pi до бесконечности. То есть он продемонстрировал один из подвохов, которых нужно избегать, давая определение площади поверхности через приближение многогранниками.
Разработал специальный вид интеграла, носящий название: интеграл Кристоффеля — Шварца. Это позволило аналитически выявлять конформные отображения многоугольных областей. В частности Шварц вычислил, как выглядели бы на кругообразной карте параллели и меридианы страны в виде квадрата.

Поскольку у нас в последнее время случаются казусы с однофамильцами, сразу скажу, что в неравенстве Коши — Буняковского — Шварца Шварц тот самый. В английской Википедии при этом нет никакого Буняковского...

Сапог Шварца
Скопирую статью с картинками отсюда. А на этом сайте она, в свою очередь, перепечатана из Энциклопедии для детей. Т.11. Математика. - М.: Аванта+, 1998. Стр. 366
***
В 1890 г. немецкий математик Герман Шварц придумал конструкцию, позже названную "сапогом Шварца". Вы видите ее на рисунке:

Сапог Шварца

Высота цилиндра делится плоскостями, параллельными основаниям, на n равных частей. В образовавшиеся сечения (окружности) вписываются правильные k-угольники, причём соседние k-угольники повёрнуты относительно друг друга на угол 180 °/k. Затем вершины k-угольников соединяются так, что образуется поверхность из 2nk треугольников; каждый её "слой" — антипризма. Если n, k -> oo, то размеры этих треугольников становятся сколь угодно малыми. С увеличением k наши k-угольники всё плотнее прижимаются к их описанным окружностям, а вся поверхность — к цилиндру. Можно ожидать, что при n, k -> oo её площадь, т. е. сумма площадей всех треугольных граней, стремится к боковой поверхности цилиндра. Но это совершенно не так!
Посмотрим на Шварцев "сапог" сверху:

Сапог Шварца: вид сверху

Проекция каждой его грани на основание цилиндра — это треугольник, образованный стороной k-угольника и серединой стягиваемой ею дуги окружности. Его площадь зависит только от k; обозначим её sk. Поскольку площадь при проекции может только уменьшиться, полная поверхность "сапога" B(n,k) не меньше 2nk·sk. Теперь для каждого k возьмём такое n=n(k), зависящее от k, что n(k)·sk > 1. При этом выборе n площадь B(n,k) > 2k, т. е. неограниченно возрастает при k -> oo. Поверхность, как настоящий сапог, собирается частыми складками. Более того, можно выбрать такую последовательность n(k), чтобы площади соответствующих многогранных поверхностей сходились к любому (!) заданному числу, не меньшему боковой поверхности цилиндра.

Этот пример демонстрирует те подвохи, которых нужно избежать, давая определение площади поверхности через приближение многогранниками.

Вы можете изготовить модель "сапога Шварца". Разлинуйте прямоугольник из плотной бумаги с одной стороны на ромбы (по красным линиям на рис. 3), а с другой — на горизонтальные полосы (по синим линиям).

Сапог Шварца: развертка модели

Прочертите бумагу по этим линиям тупой стороной ножа. А теперь просто сверните лист в трубку, слегка надавливая на центры красных ромбов, чтобы он лучше складывался по линиям, и склейте противоположные стороны прямоугольника.

---

В английской Википедии есть статья про минимальные поверхности Шварца.
Выглядят совершенно инопланетно.
1.

Поверхность Schwarz P (примитивная)

2.

Поверхность Schwarz D (алмазная)

3.

Поверхность Schwarz Н (шестиугольная)

4.

Поверхность Schwarz CLP (пересекающиеся слои параллельных))

Википедия говорит, что я должна сослаться на автора картинок. С удовольствием:
"Schwarz P, D, H, CLP Surfaces" by Anders Sandberg - Own work. Licensed under CC BY-SA 3.0 via Wikimedia Commons

И просто не могу не привести две ссылки. Если хотите порассматривать всякие поверхности, не только Шварца, но и Шварца в том числе, вам туда!
1. www.susqu.edu/brakke/evolver/examples/periodic/...
2. www.indiana.edu/~minimal/archive/Triply/genus3....
3. И еще ссылка на статью про гофрировки плоскости: ru.convdocs.org/docs/index-204137.html

@темы: История математики, Люди

---

Неравенство Коши-Буняковского

[SeeeT]

Добрый день. Разбираюсь с доказательством данной теоремы и не совсем понимаю один пункт

Сама теорема: `(x,y)^2<=|x|^2*|y|^2`

Доказывая ее, мы приходим к выводу что
`t^2(x,x)+2t(x,y)+(y,y)>=0`
Далее сказано: "Замечаем, что стоящий слева трехчлен положителен, а значит дискриминант не может быть положителен."

Собственно вопрос, почему дискриминант не может быть положителен?

@темы: Линейная алгебра