Метод рационализации

[logarithm]

Хм, а как можно воспользоваться им в данной случае?

`sqrt((x+1)/(x-3))*((x^2-7x+10)/((x-7)(x-5)))*sqrt((8-x)(x+4))<=0`

@темы: ЕГЭ

---

[Девочка Сети]

Пропустила пару и как-то потерялась... Подскажите как решать или где можно прочитать хорошо описано решение подобных задач:
1) Проверить будут ли следующие системы векторов полными в линейном пространстве R^3
а1=(0,-1,2),а2=(-3,2,2), а3=(-6,6,0), а4=(-9,7,4)
2)проверить является ли сисема векторов базисом в линейном пространстве R^3:
а1=(0,1,1), а2=(3,2,-1), а3=(-6,-5,1)
3)Проверить, является ли система векторов базисом в линейном пространстве R^3 и найти координаты вектора х в этом базисе. по известному вектору уе найти вектор у:
е1=(-3,-1,3),е2=(-3,-1,-4), е3=(3,2,-1), х=(6,5,-7), уе=(-2,0,1)

@темы: Линейная алгебра

---

Пособия ЗФТШ МФТИ

[Ak-sakal]

Методические разработки заочной физико-технической школы МФТИ 2000-2010. Собрано в одном флаконе RAR. Некоторые пособия на сайте МФТИ публиковались давно и сейчас недоступны. Некоторые вообще не публиковались. Идентичные издания разных лет возможно совпадают. Проверить это реально только в процессе их использования. Найти можно на ifolder.ru/23000760 (23.07 Мб)
Зеркало ifile.it/laue62i/MIFI.rar

@темы: В помощь учителю, Литература

---

Стереометрия. Тема "Циллиндр и призма".

[Skittles93]

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста с этой задачей..
Никак не решается.
Очень важно!

В циллиндр вписан параллелепипед. Большая сторона его основания равна а. Диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол А(альфа), а с большей боковой гранью угол В(бета). Найти объем циллиндра.

@темы: Стереометрия

---

Экстремум функции 2-х переменных

[aaayyy]

Верно ли это?

Если локальный экстремум (минимум) у непрерывной функции нескольких (2-х) переменных в заданной области только один, это значит, что минимальное значение функция будет принимать именно в этой точке? Функция же нигде не "уходит вниз", раз экстремумов больше нет.

Наверняка это верно и, возможно, есть какая-нибудь по этому поводу теорема

Возьмите аналогичный случай с функцией одной переменной.

@темы: Задачи на экстремум, Функции нескольких переменных

---

ГИА-2011 in Ukraine

[webmath]

ГИА-2011 по-украински. Математика. Слегонца интерактивно:
webmath.exponenta.ru/zno_11/dpa.html

@темы: ЗНО

---

[парти]

найдите среднее арифметическое корней уравнения?

√(2x+8) – √(x+2) = 2


я возвожу в квадрат, но в итоге с ответом не сходится....
может Вы знаете как решать по-другому?

@темы: Иррациональные уравнения (неравенства)

---

Метод рационализации

[logarithm]

Многим известно, что выражения `|f|-|g|` и `f^2-g^2` имеют одинаковые знаки.
Аналогичные свойства существуют для логарифмов, степенных функций и т.д.
Вот,что в данный момент я подразумеваю под методом рационализации.

Вот неравенство:
`(3-x-sqrt(5-x^2))/(cos((2x-7)/4)-cos((x-5)/4))>=0`

мой учитель утверждает, что тут тоже можно рационализировать разность косинусов, ссылаясь на область определения и пр.

в действительности ОДЗ `-sqrt(5)<=x<=sqrt(5)`

Каким образом тут можно воспользоваться методом рационализации?

@темы: ЕГЭ

---

Математика 7 класc

[pemac]

Пособие содержит: 30 равноценных вариантов; Методические рекомендации по проведению; Критерии оценивания.
Автор: А. Г. Мерзляк., В. Б. Полонский., Н.С. Прокопенко., М. С. Якир.
формат: Djvu
изд-во: Ранок
год издания: 2011

@темы: В помощь учителю, Литература

---

задачка по геометрии! подскажите как решить!!!

[Caterpiller]

Основание АД и ВС трапеции АВСД равны а и в (а больше в) . Найдите длину отрезка, который отрезается диагоналями трапеции на её средней линии.

@темы: Планиметрия

---

Шестаков С1

[FirstAID]

Решить уравнение
` arctg(2sinx)=arc ctg(cosx) => x=pi/4+pin ; n in Z` а дальше не понятно ,почему они к совокупности сводили ?

@темы: Тригонометрия, ЕГЭ

---

Помогите с геометрией

[Emiru Koko]

В равнобедренной трапеции PRST (RS ||PT) проведена высота RA .Найдите длину отрезка AT ,если известно,что RS=7,PT=18.
Пытаюсь построить чертёж - не выходит.У меня получается,что RS и PT - диагонали,но они должны быть одинаковой длины,т.к трапеция равнобедренная.Разрешите дилемму ._.

@темы: Планиметрия

---

Алгебра С3

[Атрейк@]

Помогите пожалуйста решить С3
log_4(x^4 - 4x^3 + 4x^2) + log_0,25(6x^2 - 12x - 9) / x^2 - 2x - 8=0
Так, ОДЗ я описывать не буду, но получилось вот это:
(От -бесконечности; -2)(-2;3-sprt15/2)(3+sprt15/2;4)(4;+,бесконечности)

Дальше
log_4(x^4 - 4x^3 + 4x^2) + log_0,25(6x^2 - 12x - 9)=0
log_4(x^4 - 4x^3 + 4x^2) - log_4(6x^2 - 12x - 9)=0
log_4(x^4 - 4x^3 + 4x^2) = log_4(6x^2 - 12x - 9)
x^4 - 4x^3 + 4x^2 = 6x^2 - 12x - 9
x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 6x^2 + 12x + 9=0
и тут у меня ступор, не знаю, что делать дальше(

@темы: ЕГЭ, Логарифмические уравнения (неравенства)

---

С-20. Пирамида. Правильная пирамида.

[bonjour-america]

1.
Основание пирамиды- прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Высота пирамиды равна 12 см и проходит через середину гипотенузы основания. Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через ее высоту и вершину прямого угла основания.


2.
Двугранный угол при основании правильной треугольной пирамиды равен 60 градусам. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если расстояние от середины высоты пирамиды до ее апофемы равно 3 см.


3.
В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании равен "альфа"ю Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если ее высота равна Н.

@темы: Стереометрия

---

Ряд апрельских пробников (часть С)

[Robot]

Пробный ЕГЭ по математике (апрель 2011).

Еще несколько вариантов (часть С), найденных на просторах Инета, точнее, в большинстве своем на сайте и форуме Ларина А.А.
См. также страницу Пробный ЕГЭ по математике от 09 апреля 2011 года

Пробный ЕГЭ, Смоленск (пожалуй, это единственный пробник, которого у Ларина нет , из-за чего я начинаю опасаться, что он не совсем настоящий)
Целиком вариант
pr_04_2011_smolensk_1.jpg
pr_04_2011_smolensk_2.jpg
С1.
Решите уравнение
`(2sin^2x-cosx-2)log_(sinx)x^2=0`. Ответ: `1` , `(2pi)/3+2pik` , `k in Z`
C2.
В правильной треугольной пирамиде `SABC` с основанием `ABC` известны ребра `AB=sqrt(3)`, `SC=2sqrt(10)`. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой `MN`, где `M`- середина ребра `AS`, а точка `N` делит ребро `BC` в отношении 1:2. Ответ: `arctg(3)`
С3
Решите неравенство:
`(log_2(3*2^(x-1)-1))/x >=1` Ответ: `x in (1-log_2 3;0) uu [1;+oo)`
C4
Сторона равностороннего треугольника `ABC` равна 10. Точка `D` лежит на прямой `BC` так что `BDC=2:3`. Окружности, вписанные в каждый из треугольников `ADC` и `ADB` касаются прямой `BC` в точках Е и F соответственно. Найти длину отрезка `EF`. Ответ: 1 или 5.
Задача аналогична задаче с ЕГЭ2010 (западный вариант) eek.diary.ru/p112449326.htm
С5.
Найдите все значения `a`и `b` такие, что система имеет ровно два различных решения
`{(x^2+y^2-4x-6|y|+13-b^2 <=0),(y=ax-2sqrt(8)):}`. Ответ: `a=2sqrt(2), b = +-1`
C6
Перед каждым из чисел 10,11...,18 и 2,3,...,12 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего от каждого из образовавшихся чисел первого набора отнимают каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 99 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
Условия картинкой

Челябинск (14 апреля 2011)
Целиком вариант с форума Ларина alexlarin.com/download/file.php?id=1851
Ответы и критерии к нему alexlarin.com/download/file.php?id=1852
С1
Решите уравнение
`(6sin^2x-5cosx-5)/sqrt(sinx)=0`. Ответ: `x=arccos(1/6)+2pin, n in Z`

Условие картинкой

C2
В прямоугольном параллелепипеде `ABCDA_1B_1C_1D_1` найдите угол между прямой `A_1D` и плоскостью `BB_1D`, если `D D_1 =8, A_1D_1 =6 , D_1C_1=6`. Ответ: `arcsin((3sqrt(2))/10)`
C3
Решите неравенство `2*sqrt((1-4^x)/4^(x-1)) -63*sqrt(4^x/(1-4^x))<=3*sqrt(63)` Ответ: `x in [-3;0)`

Условие картинкой

C4
Угол между радиусом АО окружности, описанной около треугольника ABC и стороной АС равен 40°. Найдите угол А треугольника ABC, если угол С равен 30°.
Ответ: 20° или 100°
C5
Найдите все значения параметра `a`, при которых система уравнений
`{(log_yx=1),(x^2-3y+a=x):}`
имеет два решения. Ответ: `a in (0;3) uu (3;4)`

Условие картинкой

C6
Найдите все пары натуральных чисел а и b, удовлетворяющие
равенству `a^b+26 = bar(ba)` (в правой части стоит число, полученное дописыванием десятичной записи числа а после десятичной записи числа b) Ответ: `a=2, b = 4`

Условие картинкой

Челябинский вариант № 4
Целиком вариант www.egepro.ru/i/downloads/rege/math/4.pdf
Ответы и критерии к нему www.egepro.ru/i/downloads/rege/math/4_ans.pdf
С1 Решите уравнение
`(3cos^2x-sinx-1)/sqrt(cosx)=0`
C2 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямой А1В и плоскостью АА1С, если АА1 =6, AB=8, ВС = 8.
C3 Решите неравенство
`4*sqrt((2^x-1)/2^x)+sqrt(14) <=14sqrt(2^(x-2)/(2^x-1)`
C4 Угол между радиусом АО окружности, описанной около треугольника AВС и стороной АС равен 45°. Найдите угол А треугольника ABC, если угол С равен 25°.
C5 Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений
`{(y=e^(lnx)),(y=a+5x-x^2):}`
имеет два решения.
C6 Найдите все пары натуральных чисел а и b, удовлетворяющие равенству `a^b+8=bar(ab)`

Условия части С картинкой

Условия части С картинкой



Пробный ЕГЭ (12 апреля 2011 Санкт-Петербург)
Скачать варианты 1-2 с критериями и ответами с сайта Ларина: alexlarin.narod.ru/ege/2011/prob/spbprob.pdf
Вариант 1 (скачать целиком вариант с сайта Ларина А.А. alexlarin.narod.ru/ege/2011/prob/spb1.pdf)
С1. Решите уравнение
`(2sin^2x+2sinx*cos2x-1)/sqrt(cosx)=0`Ответ: `x=2pik +- pi/4, x=pi/6+2pin, k, n in Z`
C2. Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды PABCD с вершиной Р равны между собой. Найдите угол между прямой BM и плоскостью BDP, если точка М — середина бокового ребра пирамиды АР.
Видеорешение от О.Себедаш
C3 Решите неравенство:
`(log_4(x^4-4x^3+4x^2)+log_(0,25)(6x^2-12x-9))/(x^2-2x-8)>=0` Ответ: `x in(-oo;-2) uu {-1;3} uu (4;+oo)`
С4. Четырехугольник ABCD описан около окружности и вписан в окружность. Прямые АВ и DC пересекаются в точке М . Найдите площадь четырехугольника, если известно, что`/_AMD=alpha` и радиусы окружностей, вписанных в треугольники ВМС и AMD равны соответственно г и R. Ответ: `S_(ABCD)=R/r (R^2-r^2 )ctg alpha/2` или `S_(ABCD)=r/R (r^2-R^2 )ctg alpha/2`.
С5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений
`{(4|y-3|=12-3|x|),(y^2-a^2=3(2y-3)-x^2):} `
имеет ровно четыре решения. Ответ: `|a| in {12/5} uu (3;4)`.
С6. Найдите все такие простые числа р, для каждого из которых существует такое целое число k, что число р является общим
делителем чисел `k^4+12k^2+12` и `k^3+9k`. Ответ: `p in {2;3;5}`

Условия картинкой

Вариант 2 (скачать целиком вариант с сайта Ларина А.А. alexlarin.narod.ru/ege/2011/prob/spb2.pdf)
С1. Решите уравнение
`(2cos^2x+2cosx*cos2x-1)/sqrt(sinx)=0`
Видеорешение от О.Себедаш
C2. Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды PABCD равны между собой. Найдите угол между прямыми PH и BM, если отрезок PH - высота данной пирамиды, а точка М — середина ее бокового ребра АР.
Видеорешение от О.Себедаш
C3. Решите неравенство:
`(log_(0,5)(8x^2+24x-16)+log_2(x^4+6x^3+9x^2))/(x^2+3x-10)>=0` Ответ: `x in(-oo;-5) uu {-4;1} uu (2;+oo)`
С4. Четырехугольник KLMN описан около окружности и вписан в окружность. Прямые KL и NM пересекаются в точке P . Найдите площадь треугольника KPN, если известно, что`/_KPN=phi` и радиусы окружностей, вписанных в треугольники KPN и LPM равны соответственно г и R.
С5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений
`{(5|x+2|=60-12y),(4(x+1)+y^2=a^2-x^2):}`
имеет ровно восемь решений.
Видеорешение от О.Себедаш
С6. Найдите все такие простые числа р, для каждого из которых существует такое целое число k, что число р является общим
делителем чисел `k^4+15k^2+35` и `k^3+8k`. Ответ: `p in {3;5;7}`

Условия картинкой

Пробник из Казани (02.04.2011)
Целиком можно посмотреть: alexlarin.com/viewtopic.php?f=6&t=1266
С1
Решите уравнение
`(3cos^2x-5cosx+2)/sqrt(sinx)=0` Ответ: `x=arccos(2/3)+2pin`, `n in Z`.
C2
В правильной шестиугольной призме `ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1` сторона основания равна 1, а высота равна 6. Найдите угол между прямой `F_1B_1` и плоскостью `AF_1C_1`.
Ответ: `arcsin((2sqrt(3))/7)`
C3
Решите неравенство
Ответ: `x in [-11;-10) uu (-10;-8) uu (4;sqrt(17))`
C4
В окружность радиуса `sqrt(10)` вписана трапеция с основаниями 2 и 4. Найдите расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей трапеции. Ответ: `2 +-sqrt(6)/3`
C5
Для каждого значения `a > 0` найдите уравнения всех прямых, проходящих через начало координат и имеющих ровно две общие точки с графиком функции `f(x)=-x|x+8a|-16a^2`
C6
Найдите все пары натуральных чисел k и n таких, что `k < n` и `(n^2)^k=(k^2)^n`. Ответ: `k=2, n=4`

Условия картинкой

---

Калининградский пробник

alexlarin.com/viewtopic.php?f=6&t=1433

Вариант 3901
С1. Решите уравнение `log_(25-9x^2) (625-81x^4)=2+1/(log_3 (25-9x^2))
C2. В четырехугольнике ABCD длина стороны AB=12, синус угла BAC равен 0.32, синус угла ABD равен 0.48. Сумма углов BAD и BCD равна 180°. Найдите длину стороны BC.
C3. Решите неравенство `((-x+1)^(-1)-(-x+4)^(-1))^2 le (|x^2+6x|)/(x^2-5x+4)^2`
C4. В пирамиде FABC грани ABF и ABC перпендикулярны, FB:FA = 8:5. Тангенс угла между прямой BC и плоскостью ABF равен 5. Точка M выбрана на ребре BC так, что BM:МС = 3:5. Точка T лежит на прямой AF и равноудалена от точек M и B. Центр сферы, описанной около пирамиды FABC, лежит на ребре AB, площадь этой сферы равна `256pi`. Найдите объем пирамиды АВМТ.
C5. Найдите все значения параметра p, при каждом из которых уравнение `sqrt(4-3x)=x+2p(2-p)` имеет ровно р корней.
C6. Найдите все положительные значения a, при каждом из которых наименьшее из двух чисел `b=a^4(1-5a^(-2))-1` и `c = a^(-3)(5a-a^(-1))-1` больше -7.

Вариант 3902
С1. Решите уравнение `log_(2-x^2) (4-x^4)=1+1/(log_5 (2-x^2))+4log_25 5`
C2. К окружности провели две касательные МА и MB (А и В- точки касания). Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен 20, а расстояние от точки М до хорды АВ равно 9.
C3. Решите неравенство `((x+1)^(-1)-(x+6)^(-1))^2 le (|x^2-10x|)/(x^2+7x+6)^2`
C4. Основанием пирамиды FABC является треугольник ABC, в котором AB=5, BC=12 и угол ABC=90°. Ребро AF перпендикулярно ABC и равно `2sqrt(4)`. Точки L и M расположены на ребрах FC и FB. При этом CL:FL=FL:FC, FM*MB = FB^2/9, причем точка M расположена ближе к B, чем к F. Найдите объем пирамиды AMLC.
C5. Пусть А - множество тех значений параметра а, для которых выполнено условие `x_1^3+x_2^3 le 27`, где `x_1` и `x_2` - действительные, различные корни уравнения `x^2-ax+3-a=0`. Найдите множество значений, которое при этих условиях принимает величина `x_1^2+x_2^2`.
C6. Найдите все положительные значения a, при каждом из которых наименьшее из двух чисел `b=a^4(1-5a^(-2))-1` и `c = a^(-3)(5a-a^(-1))-1` больше -7.

Дорогие учителя и школьники! Если у вас есть что-то, чем хотелось бы поделиться, будем очень рады. Заранее спасибо!!!

@темы: Тренировочные/диагностические работы, ЕГЭ

---

Не получается решить неравенство! Помогите!

[Elenita11]

`(log_7(x)*(2-log_4(x)))/(log_4(x))>=log_x(x/4)+log_7(x) `

@темы: Задачи вступительных экзаменов, ЕГЭ, Логарифмические уравнения (неравенства)

---

Тригонометрия

[FirstAID]

Как решить систему ?
` sinx=0 ` `x=pin`
`sin^2x=1` ` x=+-pi/2+2pin `
` cosx=0` ` x=pi/2+pik `
`cos^2x=1 ` `x=2piz ; x=pi+2pin `

@темы: Тригонометрия, ЕГЭ

---

Тригонометрия

[FirstAID]

` (sinx)^2-(cosx)^2=0 `
`1)cos2x=0 =>2x=pi/2+pi*n => x=pi/4+pi*n/2`
`2) (sinx-cosx)(sinx+cosx)=0 => x= +- pi/4+pi*n `
Почему ответы не совпадают , или это тоже самое ?
Заранее Спасибо.

@темы: Тригонометрия, ЕГЭ

---

Задача по геометрии

[Acrid]

Окружность описана около равностороннего треугольника АВС. На дуге ВС, не содержащей точку А, расположена точка М, делящая градусную меру этой дуги в отношении 1:2 .Найдите углы треугольника АМВ.
Помогите пожалуйста с задачей, мучаюсь, не могу решить.

@темы: Планиметрия

---

задачка

[Nastushenka]

Сред.арифм трех чисел 6.Найдите эти числа,если первое число в 2,5 раза больше,а второе в 1,5 раза больше третьего

@темы: Текстовые задачи