Критерии ЕГЭ 07.06.10 — Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

2010-06-09 в 20:45

Equilibrio.

Лучший способ изучить что-либо - это открыть самому.

aalleexx
Robot сегодня не будет

URL

2010-06-09 в 20:48

aalleexx

Equilibrio. Жаль, там объем превышает допустимый, может кто-нибудь из модераторов (с большими правами) сможет вставить

URL

2010-06-09 в 20:51

VEk

Белый и пушистый (иногда)

aalleexx У меня обе видны. По крайней мере размещение материала такое же, как и на тех экземплярах, что давали нам
Посмотрел у Вас, там 3 страницы.

URL

Профиль

2010-06-09 в 20:53

aalleexx

VEk там три листа должно быть - второй не влез. Можно здесь посмотреть alexlarin.forumbb.ru/viewtopic.php?id=424#p5981

URL

2010-06-09 в 20:59

noil

aalleexx, спасибо!

URL

2010-06-09 в 21:07

Robot

Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)

Я приехала, только помогать не смогу сегодня, рисунок вставила

aalleexx
Большое-пребольшое спасибо
Я смотрю, что в С4 даже не требуется доказывать лемму

URL

Профиль

2010-06-09 в 21:09

aalleexx

Robot рисунок вставила
Спасибо!

URL

2010-06-09 в 21:32

Andrstar

Так держать! Колесо в колесе! И доеду туда, куда все...

Ууу, так значит не написанный период в С1 мне 0 баллов поставят? Хнык-хнык =(

URL

Профиль

2010-06-09 в 22:05

Гость

а как вы вставили?????я восток технически не смог(далек я от продвинутого),дайте мне на завтра пошаговую инструкцию куда тыкать...
чтоб спереть,пришлось пустые листочки подкладывать...

URL

2010-06-09 в 22:10

aalleexx

а как вы вставили?????я восток технически не смог(далек я от продвинутого),дайте мне на завтра пошаговую инструкцию куда тыкать... чтоб спереть,пришлось пустые листочки подкладывать...
Гость, надо зарегистрироваться чтоб картинки вставлять. Можете мне на почту выслать - сделаем

URL

2010-06-09 в 22:42

Yri

Возможно кому-то будут интересны впечатления от проверки работ:
С1. 1-2 балла получили примерно половина школьников. Типичные ошибки: пишут, что подкоренное выражение больше нуля; зачем-то решают тригонометрическое неравенство, в основном неправильно; неправильно записывают решение тригонометрического уравнения; пишут не те значения y. Естественно, записывают два решения. Каждая такая ошибка - минус 1 балл.
С2 - Считают, что MA (MN) перпендикулярно боковой грани. За это 0 баллов.
С3 - У многих ответ верный, но решение абсолютно неверное. По этому заданию будет куча апелляций. Мелкая ошибка - считают, что квадрат всегда больше нуля (это подлогарифмическое выражение справа). За это - минус 1 балл. Но почти все делали одну из двух ошибок: либо писали, что логарифм произведения двух чисел равен сумме логарифмов, при этом подлогарифмические выражения становились отрицательными, либо выносили квадраты из показателя за логарифм, при этом внутри не ставили модуль. За это 0 баллов.
С4. Мало кто решал.
С5. Решали побольше, чем С4. Чистых обоснований почти не было.
С6. Неправильно считали сумму. Не было доказательства того, что сумма всегда нечетна. Интересно, что многие находили пример, когда сумма равна по модулю 1, но не могли правильно посчитать максимальную сумму. Хотя по критериям - это 0 баллов, что странно. Ставился 1.
В среднем на 1 пачку (20 работ) примерно одна хорошая - это больше 4 баллов.

URL

2010-06-09 в 22:53

Andrstar

Так держать! Колесо в колесе! И доеду туда, куда все...

Yri Ну так как оценят С1, если забыл написать период арккосинусу?

URL

Профиль

2010-06-09 в 22:58

Yri

По критериям - 0.
Я же ставил 1 балл, если больше не было ошибок. Считаю, что это меньшая глупость, чем писать arcsin(3).
Но если Вам оба проверяющие поставят по 0, то на апелляции до 1 балла не поднимут. Там будет все по критериям.

URL

2010-06-09 в 23:14

to0z

спасибо большое! очень позновательно.интересно,сколько по этим критериям могут поставить за крайне нерациональное решение, неверное из-за арифметической ошибки..

URL

Профиль

2010-06-09 в 23:15

Equilibrio.

Лучший способ изучить что-либо - это открыть самому.

to0z Судя по критериям за нерациональность снижать не должны

URL

2010-06-09 в 23:18

Robot

Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)

там по ошибке было два листа одинаковых вставлено, сейчас исправлено

неверное из-за арифметической ошибки..
за это, наверное, балл снимут

URL

Профиль

2010-06-09 в 23:21

Klyaksa.

Объясните, в с6 первый набор - числа от 10 до 20, а второй набор - от 2 до 6?

URL

2010-06-09 в 23:22

Yri

За нерациональное решение никто и никогда снижать оценку не должен. Разве Вы сами себе.
А если что - попросите дать строгое определение рационального решения.
А вот арифметическая ошибка - это смотря где она будет сделана. В с1- это сразу итоговый 0, В С2, С3 и С4 - минус 1 балл

URL

2010-06-09 в 23:28

to0z

это я говорил про с2 и с4. надеюсь хоть по баллу поставят

URL

Профиль

2010-06-09 в 23:31

Klyaksa.

а если в С1 корни, которые получаются из второго уравнения из второй скобки, не убрали, то один балл хоть поставят? Лишние корни получаются, но и правильные есть.

URL

2010-06-09 в 23:39

Yri

Ну типа `(+-arccos(6/7)+2 pi k; -6/7)`? Если все остальное правильно, то поставят. Скажите спасибо добрым критериям.
А вот если напишите x и y из одного второго уравнения, то будет 0.

URL

2010-06-09 в 23:40

Andrstar

Так держать! Колесо в колесе! И доеду туда, куда все...

Объясните, в с6 первый набор - числа от 10 до 20, а второй набор - от 2 до 6?
У меня 3300 и 0 получилось, хотя с нулём не уверен.
Update: отнимают в условии написано, вот я балбес...

URL

Профиль

2010-06-09 в 23:42

Yri

В С6 максимальное число везде было нечетное, а минимальное 1.

URL

2010-06-09 в 23:44

Klyaksa.

А не было вариантов, в которых С3 не имеет решений?..
маловероятно, но надежда умирает последней

URL

2010-06-09 в 23:49

Yri

Нет.
Скорее всего Вы когда убирали квадраты не поставили модули. В итоге знак неравенства получался противоположным.

URL

2010-06-09 в 23:49

Klyaksa.

Я не понимааю задание С6.
У меня было следующее :
Перед каждыми из чисел 6,7..10 и 12,13..18 произвольно расставляют плюсы и минусы. Затем каждое из образовавшихся чисел второго набора складывают с числами первого набора. А зачем все 35 полученных значений складывают. Найти наим. и наиб. сумму.

Я думала, что так
первый набор - 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18
второй набор - теже числа, только с произвольными знаками +- перед ними
третий набор - соответственно почленная (если так можно выразиться) сумма первого набора и второго.
Сумма же составляет сумму всех чисел трех наборов. Но это получается _36_ чисел.

Объясните, пожалуйста, я, видимо, неправильно поняла условие и не могу в нем разобраться.

URL

2010-06-09 в 23:52

Klyaksa.

Yri Нет, модули я точно оставляла. Единственное, когда избавлялась от логарифмов не поставила условия на оставшееся.. больше нуля..
В левой части у меня было 7 в степени - 1 = соответственно в любом случае больше нуля, и оставался один модуль. При раскрытии одна из ветвей не имела значений. Вторая, в конце решения, тоже..

В общем, и там намудрила я там, понятно)

URL

2010-06-09 в 23:54

Yri

В первом наборе 5 чисел, во втором их 7. Попарных разностей будет 5*7=35. Там ведь каждый с каждым.

URL

2010-06-09 в 23:58

Yri

В С3 получалось, что в преобразованном неравенстве x-любое, поэтому все x из ОДЗ - решения.
У Вас могло оказаться, что уравнение не имеет решений, а вот неравенство очень даже.

URL

2010-06-10 в 00:00

Klyaksa.

Блин. Я думала первый набор - все эти числа. А второй - эти числа с расставленными знаками..
Задание, в принципе, не очень сложное, число на логику и главное задание еще правильно понять.))

URL

2010-06-10 в 10:16

Robot

Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)

Критерии в djvu
mathhelp.ifolder.ru/18102655 или dl.dropbox.com/u/7546288/krit_west_07062010.djv...

URL

Профиль

2010-06-10 в 13:53

Zlofenix

пипец это не справедливо, экзамен единый, а восток и запад уровень заданий совершенно разный(((

URL

Профиль

2010-06-10 в 18:56

Гость

Zlofenix как написал?

URL

2010-06-10 в 23:16

webmath

html:
webmath.exponenta.ru/dnu/egeb/72.html

URL

Профиль

2010-06-11 в 05:22

VEk

Белый и пушистый (иногда)

webmath Спасибо!

URL

Профиль

2010-06-11 в 18:50

lakris

Желание стать самим собой – подлинное призвание человека

Yri А если я решила с2 не через тангенсы, высоты и подобие треугольников, а просто через косинусы и ответ через arccos, но очень он получился громоздкий, не зачтут?(

URL

2010-06-11 в 20:57

Yri

Если Вы решали правильно (например не использовали несуществующую перпендикулярность), то никаких проблем не будет. Проверяющие пересчитывали arccos в arctg.

URL

2010-06-20 в 20:55

Гость

C1 Критерии:
2 б. - Обоснованно получен правильный ответ
1 б. - Получен ответ, но решение неверно только из-за того, что не учтены ограничения на знак или величину выражения cosx (sinx)
0 б. - Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

(вар. 223 Восток)
Решите систему уравнений `{(y-cosx=0),((2sqrt(cosx)-1)(2y-4)=0):}` Ответ: `(pm arccos (1/4) + 2pin; 1/4), n in ZZ`
Решение:
Из второго уравнения получаем: `{(y=2),(cosx ge 0):}` или `cosx=1/4`.
Если `y=2`, то из первого уравнения `cosx =2`. Уравнение не имеет решений.
Если `cosx=1/4`, то `x=pm arccos(1/4)+2pin, n in ZZ`, и из первого уравнения получаем: `y=1/4`.

(вар. 248 Восток)
Решите систему уравнений `{(y+cosx=0),((4sqrt(cosx)-1)(2y+6)=0):}` Ответ: `(pm arccos (1/16) + 2pin; -1/16), n in ZZ`
Решение:
Из второго уравнения получаем: `{(y=-3),(cosx ge 0):}` или `cosx=1/16`.
Если `y=-3`, то из первого уравнения `cosx =3`. Уравнение не имеет решений.
Если `cosx=1/16`, то `x=pm arccos(1/16)+2pin, n in ZZ`, и из первого уравнения получаем: `y=-1/16`.

(вар. 208 Восток)
Решите систему уравнений `{(y-cosx=0),((5sqrt(cosx)-1)(7y+5)=0):}` Ответ: `(pm arccos (1/25) + 2pin; 1/25), n in ZZ`
Решение:
Из второго уравнения получаем: `{(y=-5/7),(cosx ge 0):}` или `cosx=1/25`.
Если `y=-5/7`, то из первого уравнения `cosx =-5/7`. Это противоречит условию `cosx ge 0`.
Если `cosx=1/25`, то `x=pm arccos(1/25)+2pin, n in ZZ`, и из первого уравнения получаем: `y=1/25`.

(вар. 148 Запад), (вар. 128 Запад)
Решите систему уравнений `{(y+cosx=0),((2sqrt(cosx)-1)(7y-6)=0):}` Ответ: `(pm arccos (1/4) + 2pin; -1/4), n in ZZ`
Решение:
Из второго уравнения получаем: `{(y=6/7),(cosx ge 0):}` или `cosx=1/4`.
Если `y=6/7`, то из первого уравнения `cosx = -6/7`. Это противоречит условию `cosx ge 0`.
Если `cosx=1/4`, то `x=pm arccos(1/4)+2pin, n in ZZ`, и из первого уравнения получаем: `y=-1/4`.

(вар. 112 Запад)
Решите систему уравнений `{(y-sinx=0),((2sqrt(sinx)-1)(6y+5)=0):}` Ответ: `((-1)^n arcsin (1/4) + pin; 1/4), n in ZZ`
Решение:
Из второго уравнения получаем: `{(y=-5/6),(sinx ge 0):}` или `sinx=1/4`.
Если `y=-5/6`, то из первого уравнения `sinx = -5/6`. Это противоречит условию `sinx ge 0`.
Если `sinx=1/4`, то `x=(-1)^n arcsin(1/4)+pin, n in ZZ`, и из первого уравнения получаем: `y=1/4`.

(вар. 190 Запад)
Решите систему уравнений `{(y+sinx=0),((3sqrt(sinx)-1)(5y-3)=0):}` Ответ: `((-1)^n arcsin (1/9) + pin; -1/9), n in ZZ`
Решение:
Из второго уравнения получаем: `{(y=3/5),(sinx ge 0):}` или `sinx=1/9`.
Если `y=3/5`, то из первого уравнения `sinx = -3/5`. Это противоречит условию `sinx ge 0`.
Если `sinx=1/9`, то `x=(-1)^n arcsin(1/9)+pin, n in ZZ`, и из первого уравнения получаем: `y=-1/9`.

URL

2010-06-20 в 20:56

Гость

C2 Критерии:
2 б. - Обоснованно получен правильный ответ
1 б. - Способ нахождения искомого угла верен, но получен неверный огвет или решение не закончено
0 б. - Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

(вар. 223 Восток), (вар. 248 Восток)
В прямоугольном параллелепипеде `ABCDA_1B_1C_1D_1` известны ребра: `AB = 8`, `AD= 6`, `text{CC}_1 = 5`. Найдите угол между плоскостями `text{BDD}_1` и `AD_1B_1`. Ответ: `arctg 24/25`
Решение:

Плоскости `text{BDD}_1` и `AD_1B_1` имеют общую прямую `B_1D_1`. Проведем перпендикуляр `AH` к `B_1D_1` и `AM` к `BD`. Прямая `HM` - проекция прямой `AH` на плоскость `text{BDD}_1`. По теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах, `B_1D_1` _|_ `HM`. Значит, угол `AHM` - линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями `text{BDD}_1` и `AD_1B_1`.
Из прямоугольного треугольника `BAD` находим `AM={AB*AD}/{BD}=24/5`.
Из прямоугольного треугольника `AMH` находим `tg/_AHM={AM}/{HM}=24/25`.
Значит, искомый угол равен `arctg 24/25`.

(вар. 208 Восток)
В прямоугольном параллелепипеде `ABCDA_1B_1C_1D_1` известны ребра: `AB = 5`, `AD= 12`, `text{CC}_1 = 4`. Найдите угол между плоскостями `text{BDD}_1` и `AD_1B_1`. Ответ: `arctg 15/13`
Решение:

Плоскости `text{BDD}_1` и `AD_1B_1` имеют общую прямую `B_1D_1`. Проведем перпендикуляр `AH` к `B_1D_1` и `AM` к `BD`. Прямая `HM` - проекция прямой `AH` на плоскость `text{BDD}_1`. По теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах, `B_1D_1` _|_ `HM`. Значит, угол `AHM` - линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями `text{BDD}_1` и `AD_1B_1`.
Из прямоугольного треугольника `BAD` находим `AM={AB*AD}/{BD}=60/13`.
Из прямоугольного треугольника `AMH` находим `tg/_AHM={AM}/{HM}=15/13`.
Значит, искомый угол равен `arctg 15/13`.

(вар. 148 Запад), (вар. 112 Запад), (вар. 190 Запад)
В правильной треугольной пирамиде `SABC` с основанием `ABC` известны ребра: `AB=12sqrt3, SC=13`. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой `AM` , где `M` - точка пересечения медиан грани `SBC`. Ответ: `arctg 5/48`
Решение:

Пусть `N` - середина `BC`. Прямая `NS` проектируется на плоскость основания в прямую `AN`. Поэтому проекция точки `M` - точка `M_1` лежит на отрезке `AN`. Значит, прямая `AN` является проекцией прямой `AM`, следовательно угол `MAM_1` - искомый.
`MM_1 || SO`, где `O` - центр основания, значит, треугольники `SNO` и `MNM_1` подобны с коэффициентом 3.
Тогда `AM_1=AN-NM_1=AN-1/9 AN=8/9AN=16`. Кроме того, `MM_1=1/3SO=1/3sqrt(SC^2-CO^2)=5/3`.
Из прямоугольного треугольника `MM_1A` находим: `tg /_MAM_1 = {MM_1}/{AM_1}=5/48`. Значит искомый угол равен `acrtg 5/48`.

(вар. 128 Запад)
В правильной треугольной пирамиде `SABC` с основанием `ABC` известны ребра: `AB=20sqrt3, SC=29`. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер `AS` и `BC`. Ответ: `arctg 21/40`
Решение:

Пусть `M` и `N`середины ребер `AS` и `BC` соответственно. Прямая `AS` проектируется в прямую `AN`. Поэтому проекция точки `M` - точка `MM_1` - лежит на отрезке `AN`. Значит, прямая `AN` является проекцией прямой `MN`, следовательно, угол `MNM_1` - искомый.
`MM_1 || SO`, где `O` - центр основания, значит, `MM_1` - средняя линия треугольника `ASO`, а поэтому `M_1` - середина `AO`. Тогда `AM_1=1/3AN=10` и `M_1N=2/3AN=20`.
Из прямоугольного треугольника `AM_1M` находим: `MM_1=sqrt(AM^2-AM_1^2)=sqrt(841/4-100)=21/2`.
Из прямоугольного треугольника `MM_1N` находим: `tg /_ MNM_1 = {MM_1}/{M_1N} = 21/40`.
Значит искомый угол равен `acrtg 21/40`.

URL

2010-06-20 в 20:57

Гость

C3 Критерии:
3 б. - Обоснованно получен правильный ответ
2 б. - Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного только конечным числом точек
1 б. - Полученный ответ неверен, но решение содержит переход от исходного неравенства к верным рациональным неравенствам
0 б. - Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

(вар. 223 Восток), (вар. 208 Восток)
Решите неравенство: `{log_{3^{x+4}}27}/{log_{3^{x+4}}(-81x)} le 1/{log_3log_{1/3}3^x}` Ответ: `[-9;-4) uu (-4;-1) uu (-1/81;0)`
Решение:
Решение ищем на множестве: `{(x ne -1),(x ne - 1/81),(x ne -4),(x<0):}`
Пусть `t=log_3(-x)`, тогда `3/(4+t) le 1/t iff t in (-oo;-4) uu (0;2]`.
Значит, `x in [-9;-1) uu (-1/81;0)`. С учетом ограничений получаем: `x in [-9;-4) uu (-4;-1) uu (-1/81;0)`

(вар. 223 Восток)
Решите неравенство: `{log_{2^{x+4}}4}/{log_{2^{x+4}}(-8x)} le 1/{log_2log_{1/2}2^x}` Ответ: `[-8;-4) uu (-4;-1) uu (-1/8;0)`
Решение:
Решение ищем на множестве: `{(x ne -1),(x ne - 1/8),(x ne -4),(x<0):}`
Пусть `t=log_2(-x)`, тогда `2/(3+t) le 1/t iff t in (-oo;-3) uu (0;3]`.
Значит, `x in [-8;-1) uu (-1/8;0)`. С учетом ограничений получаем: `x in [-8;-4) uu (-4;-1) uu (-1/8;0)`

(вар. 148 Запад), (вар. 112 Запад)
Решите неравенство: `log_5((7^{-x^2}-5)(7^{-x^2+16}-1))+log_5({7^{-x^2}-5}/{7^{-x^2+16}-1})>log_5(7^{2-x^2}-1)^2`
Ответ: `(-oo;-4) uu (4;+oo)`
Решение:
Пусть `t=7^{-x^2}, 0 lt t le 1`, тогда неравенство принимает вид: `log_5((t-5)(7^16t-1))+log_5({t-5}/{7^16t-1})>log_5(7^2t-1)^2`.
`t-5 lt 0`, поэтому `7^16t-1 lt 0`, то есть `0 lt t lt 1/7^16`.
Получаем: `{(log_5(t-5)^2 gt log_5(49t-1)^2),(0 lt t lt 1/7^16):} \ iff {(|t-5| gt |49t-1|),(0 lt t lt 1/7^16):} \ iff {(5-t gt 1-49t),(0 lt t lt 1/7^16):} \ iff 0 lt t lt 1/7^16`.
Тогда `7^{-x^2} lt 7^-16 iff x^2 gt 16 iff x in (-oo; -4) uu (4; +oo)`

(вар. 148 Запад)
Решите неравенство: `log_5((7^{-x^2}-6)(7^{-x^2+9}-1))+log_5({7^{-x^2}-6}/{7^{-x^2+9}-1})>log_5(7^{5-x^2}-5)^2`
Ответ: `(-oo;-3) uu (3;+oo)`
Решение:
Пусть `t=7^{-x^2}, 0 lt t le 1`, тогда неравенство принимает вид: `log_5((t-6)(7^9t-1))+log_5({t-6}/{7^9t-1})>log_5(7^5t-5)^2`.
`t-6 lt 0`, поэтому `7^9t-1 lt 0`, то есть `0 lt t lt 1/7^9`.
Получаем: `{(log_5(t-6)^2 gt log_5(7^5t-5)^2),(0 lt t lt 1/7^9):} \ iff {(|t-6| gt |7^5t-5|),(0 lt t lt 1/7^9):} \ iff {(6-t gt 1-7^5t),(0 lt t lt 1/7^9):} \ iff 0 lt t lt 1/7^9`.
Тогда `7^{-x^2} lt 7^-9 iff x^2 gt 9 iff x in (-oo; -3) uu (3; +oo)`

(вар. 190 Запад)
Решите неравенство: `log_5((7^{-x^2}-6)(7^{-x^2+16}-1))+log_5({7^{-x^2}-6}/{7^{-x^2+16}-1})>log_5(7^{2-x^2}-5)^2`
Ответ: `(-oo;-4) uu (4;+oo)`
Решение:
Пусть `t=7^{-x^2}, 0 lt t le 1`, тогда неравенство принимает вид: `log_5((t-6)(7^16t-1))+log_5({t-6}/{7^16t-1})>log_5(7^2t-5)^2`.
`t-6 lt 0`, поэтому `7^16t-1 lt 0`, то есть `0 lt t lt 1/7^16`.
Получаем: `{(log_5(t-6)^2 gt log_5(49t-5)^2),(0 lt t lt 1/7^16):} \ iff {(|t-6| gt |49t-5|),(0 lt t lt 1/7^16):} \ iff {(6-t gt 5-49t),(0 lt t lt 1/7^16):} \ iff 0 lt t lt 1/7^16`.
Тогда `7^{-x^2} lt 7^-16 iff x^2 gt 16 iff x in (-oo; -4) uu (4; +oo)`

URL

2010-06-20 в 20:57

Гость

C4 Критерии:
3 б. - Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ
2 б. - Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины
1 б. - Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки
0 б. - Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

(вар. 223 Восток)
В параллелограмме `ABCD` биссектрисы углов при стороне `AD` делят сторону `BC` точками `M` и `N` так, что `BM:MN = 1:5`. Найдите `BC`, если `AB=3`. Ответ: `3.5, \ 21`
Решение:
Пусть `E` - точка пересечения биссектрис, `BM=x, MN=y, NC=z`.
Так как `x/y=1/5 lt 1`, то точка `M` лежит между точками `B` и `N`. Возможны два случая:

1. Точка `E` - внутри параллелограмма (рис. 1). Тогда, так как треугольники ABN и DMC равнобедренные, `x+y=3=y+z`, следовательно, `x=z lt y; \ x/y=1/5`, следовательно, `y=5/2, \ x=z=1/2, \ BC=2x+y=7/2`.
2. Точка `E` - вне параллелограмма (рис. 2). Тогда `x=z=3, \ x/y=1/5`, следовательно, `y=15, \ BC=2x+y=21`.

(вар. 248 Восток)
В параллелограмме `ABCD` `AB=12`, биссектрисы углов при стороне `AD` делят сторону `BC` точками `M` и `N` так, что `BM:MN = 1:7`. Найдите `BC`. Ответ: `13.5, \ 108`
Решение:
Пусть `E` - точка пересечения биссектрис, `BM=x, MN=y, NC=z`.
Так как `x/y=1/7 lt 1`, то точка `M` лежит между точками `B` и `N`. Возможны два случая:

1. Точка `E` - внутри параллелограмма (рис. 1). Тогда, так как треугольники ABN и DMC равнобедренные, `x+y=12=y+z`, следовательно, `x=z lt y; \ x/y=1/7`, следовательно, `y=21/2, \ x=z=3/2, \ BC=2x+y=27/2`.
2. Точка `E` - вне параллелограмма (рис. 2). Тогда `x=z=12, \ x/y=1/7`, следовательно, `y=84, \ BC=2x+y=108`.

(вар. 208 Восток)
В параллелограмме `ABCD` биссектрисы углов при стороне `AD` делят сторону `BC` точками `M` и `N` так, что `BM:MN = 1:4`. Найдите `BC`, если `AB=15`. Ответ: `18, \ 90`
Решение:
Пусть `E` - точка пересечения биссектрис, `BM=x, MN=y, NC=z`.
Так как `x/y=1/4 lt 1`, то точка `M` лежит между точками `B` и `N`. Возможны два случая:

1. Точка `E` - внутри параллелограмма (рис. 1). Тогда, так как треугольники ABN и DMC равнобедренные, `x+y=15=y+z`, следовательно, `x=z lt y; \ x/y=1/4`, следовательно, `y=12, \ x=z=3, \ BC=2x+y=18`.
2. Точка `E` - вне параллелограмма (рис. 2). Тогда `x=z=15, \ x/y=1/4`, следовательно, `y=60, \ BC=2x+y=90`.

(вар. 148 Запад)
В треугольнике `ABC \ AB=15, \ BC=8, \ CA=9`. Точка `D` лежит на прямой `BC` так, что `BD:DC=3:8`. Окружности, вписанные в каждый из треугольников `ADC` и `ADB`, касаются стороны `AD` в точках `E` и `F`. Найдите длину отрезка `EF`. Ответ: `7, \ 53/11`
Решение:
Пусть `AD=d, BD=x, DC=y`. Возможны два случая:

1. Точка `D` лежит на отрезке `BC` (рис. 1). Тогда, `x=24/11, \ y=64/11, \ DE=(d+y-9)/2, \ DF=(d+x-15)/2`. Значит, `EF=(6+y-x)/2=53/11`.
2. Точка `D` лежит вне отрезке `BC` (рис. 2). Тогда `x=24/5, \ y=x+8=64/5, \ DE=(d+y-9)/2, \ DF=(d+x-15)/2`. Значит, `EF=7`.

(вар. 112 Запад)
В треугольнике `ABC \ AB=13, \ BC=9, \ CA=11`. Точка `D` лежит на прямой `BC` так, что `BD:DC=1:9`. Окружности, вписанные в каждый из треугольников `ADC` и `ADB`, касаются стороны `AD` в точках `E` и `F`. Найдите длину отрезка `EF`. Ответ: `11/2, \ 23/5`
Решение:
Пусть `AD=d, BD=x, DC=y`. Возможны два случая:

1. Точка `D` лежит на отрезке `BC` (рис. 1). Тогда, `x=9/10, \ y=81/10, \ DE=(d+y-11)/2, \ DF=(d+x-13)/2`. Значит, `EF=(2+y-x)/2=23/5`.
2. Точка `D` лежит вне отрезке `BC` (рис. 2). Тогда `x=9/8, \ y=x+9=81/8, \ DE=(d+y-11)/2, \ DF=(d+x-13)/2`. Значит, `EF=11/2`.

(вар. 190 Запад)
В треугольнике `ABC \ AB=9, \ BC=4, \ CA=6`. Точка `D` лежит на прямой `BC` так, что `BD:DC=3:4`. Окружности, вписанные в каждый из треугольников `ADC` и `ADB`, касаются стороны `AD` в точках `E` и `F`. Найдите длину отрезка `EF`. Ответ: `7/2, \ 25/14`
Решение:
Пусть `AD=d, BD=x, DC=y`. Возможны два случая:

1. Точка `D` лежит на отрезке `BC` (рис. 1). Тогда, `x=12/7, \ y=16/7, \ DE=(d+y-6)/2, \ DF=(d+x-9)/2`. Значит, `EF=(3+y-x)/2=25/14`.
2. Точка `D` лежит вне отрезке `BC` (рис. 2). Тогда `x=12, \ y=x+4=16, \ DE=(d+y-6)/2, \ DF=(d+x-9)/2`. Значит, `EF=7/2`.

URL

2010-06-20 в 20:58

Гость

C5 Критерии:
4 б. - Обоснованно получен правильный ответ
3 б. - Получен верный ответ. Решение в целом верное, но либо имеет пробелы (например, не описаны необходимые свойства функции), либо содержит вычислительные ошибки
2 б. - Верно рассмотрены все случаи раскрытия модулей. При составлении или решении условий на параметр допущены ошибки, в результате которых в ответе либо приобретены посторонние шичения, либо часть верных значений потеряна
1 б. - Хотя бы в одном из случаев рискрытия модуля составлено верное условие на параметр либо построен верный эскиз графика функции в целом
0 б. - Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

(вар. 223 Восток), (вар. 248 Восток)
Найдите все значения `a`, при каждом из которых наименьшее значение функции `f(x)=4ax+|x^2-8x+7|` меньше 1. Ответ: `a lt 1/4, \ a gt (4+sqrt(6))/2`
Решение:
1. Функция `f` имеет вид:
а). При `x^2-8x+7 ge 0`: `f(x)=x^2+2(2a-4)x+7`, а ее график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии `x=4-2a`;
б) При `x^2-8x+7 lt 0`: `f(x)=-x^2+(4a+8)x-7`, а ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз.
Все возможные виды графика функции `f(x)` показаны на рисунках (`x1`, `x2` - корни `x^2-8x+7=0`):

2. Наименьшее значение функции `f(x)` может приниматься только в точках `x1` или `x2`, а если `4-2a notin [x1; x2]`, то в точке `x=4-2a`.
3. Наименьшее значение функции `f` меньше 1 тогда и только тогда, когда
`[(f(x1) lt 1),(f(x2) lt 1),({([(4-2a lt x1),(4-2a gt x2):}),(f(4-2a) lt 1):}):} \ iff [(4a lt 1),(28a lt 1),({([(a lt -3/2),(a gt 3/2):}),(|2a-4| gt sqrt(6)):}):} \ iff [(a lt 1/4),(a gt (4+sqrt(6))/2):}`

(вар. 208 Восток)
Найдите все значения `a`, при каждом из которых наименьшее значение функции `f(x)=2ax+|x^2-8x+15|` меньше 1. Ответ: `a lt 1/6, \ a gt 4+sqrt(14)`
Решение:
1. Функция `f` имеет вид:
а). При `x^2-8x+15 ge 0`: `f(x)=x^2+2(a-4)x+15`, а ее график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии `x=4-a`;
б) При `x^2-8x+15 lt 0`: `f(x)=-x^2+(2a+8)x-15`, а ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз.
Все возможные виды графика функции `f(x)` показаны на рисунках (`x1`, `x2` - корни `x^2-8x+15=0`):

2. Наименьшее значение функции `f(x)` может приниматься только в точках `x1` или `x2`, а если `4-a notin [x1; x2]`, то в точке `x=4-a`.
3. Наименьшее значение функции `f` меньше 1 тогда и только тогда, когда
`[(f(x1) lt 1),(f(x2) lt 1),({([(4-a lt x1),(4-a gt x2):}),(f(4-a) lt 1):}):} \ iff [(6a lt 1),(10a lt 1),({([(a lt -1),(a gt 1):}),(|a-4| gt sqrt(14)):}):} \ iff [(a lt 1/6),(a gt 4+sqrt(14)):}`

(вар. 148 Запад)
Найдите все значения `a`, при каждом из которых функция `f(x)=x^2-2|x-a^2|-6x` имеет более двух точек экстремума. Ответ: `sqrt(2) lt a lt 2; -2 lt a lt -sqrt(2)`
Решение:
1. Функция `f` имеет вид:
а). При `x ge a^2`: `f(x)=x^2-8x+2a^2`, поэтому ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии `x=4`; (x2)
б). При `x lt a^2`: `f(x)=x^2-4x-2a^2`, поэтому ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии `x=2`; (x1)
Все возможные виды графика функции `f(x)` показаны на рисунках:

2. Графики обеих квадратичных функций проходят через точку `(a^2; f(a^2)).
3. Функция имеет более двух точек экстремума, а именно - три, в единственном случае (рис. 1): `x1 lt a lt x2 iff sqrt(x1) lt |a| lt sqrt(x2)`

(вар. 112 Запад)
Найдите все значения `a`, при каждом из которых функция `f(x)=x^2-3|x-a^2|-5x` имеет более двух точек экстремума. Ответ: `1 lt a lt 2; -2 lt a lt -1`
Решение:
1. Функция `f` имеет вид:
а). При `x ge a^2`: `f(x)=x^2-8x+3a^2`, поэтому ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии `x=4`; (x2)
б). При `x lt a^2`: `f(x)=x^2-2x-3a^2`, поэтому ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии `x=1`; (x1)
Все возможные виды графика функции `f(x)` показаны на рисунках:

2. Графики обеих квадратичных функций проходят через точку `(a^2; f(a^2)).
3. Функция имеет более двух точек экстремума, а именно - три, в единственном случае (рис. 1): `x1 lt a lt x2 iff sqrt(x1) lt |a| lt sqrt(x2)`

(вар. 190 Запад)
Найдите все значения `a`, при каждом из которых функция `f(x)=x^2-|x-a^2|-9x` имеет более двух точек экстремума. Ответ: `2 lt a lt sqrt(5); -sqrt(5) lt a lt -2`
Решение:
1. Функция `f` имеет вид:
а). При `x ge a^2`: `f(x)=x^2-10x+a^2`, поэтому ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии `x=5`; (x2)
б). При `x lt a^2`: `f(x)=x^2-8x-a^2`, поэтому ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии `x=4`; (x1)
Все возможные виды графика функции `f(x)` показаны на рисунках:

2. Графики обеих квадратичных функций проходят через точку `(a^2; f(a^2)).
3. Функция имеет более двух точек экстремума, а именно - три, в единственном случае (рис. 1): `x1 lt a lt x2 iff sqrt(x1) lt |a| lt sqrt(x2)`

URL

2010-06-20 в 20:59

Гость

C6 Критерии:
4 б. - Обоснованно получен правильный ответ
3 б. - Ответ правилен, по недостаточно обоснован (например, не доказано, что либо сумма отлична от 0, либо что она может быть равна 1)
2 б. - Верно найдено наибольшее значение суммы и доказано, что сумма всегда отлична от 0
1 б. - Верно найдено только наибольшее значение суммы или только доказано, что сумма всегда отлична от 0
0 б. - Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

(вар. 223 Восток)
Каждое из чисел 11, 12, ... ,19 умножают на каждое из чисел 3, 4, ... , 8 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? Ответ: 1 и 4455.
Решение:
1. Если все произведения взяты со знаком плюс, то их сумма максимальна и равна
`(3+ ... + 8)(11+ ... + 19) = ((3+8)/2*6)*((11+19)/2*9)= 33*135 = 4455`
2. Так как предыдущая сумма оказалась нечетной, то число нечетных слагаемых в ней нечетно, причем это свойство всей суммы не меняется при смене знака любого её слагаемого. Поэтому любая из получающихся сумм будет нечетной, а значит, не будет равна 0.
3. Значение 1 сумма принимает, например, при такой расстановке знаков у произведений, которая получится при раскрытии следующих скобок: `(3-4-5+6-7+8)(-11-12-13+14-15-16+17+18+19) = 1*1=1`.

(вар. 248 Восток)
Каждое из чисел 9, 10, ... ,17 умножают на каждое из чисел 1, 2, ... , 6 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? Ответ: 1 и 2457.
Решение:
1. Если все произведения взяты со знаком плюс, то их сумма максимальна и равна
`(9+ ... + 17)(1+ ... + 6) = ((9+17)/2*9)*((1+6)/2*6)= 117*21 = 2457`
2. Так как предыдущая сумма оказалась нечетной, то число нечетных слагаемых в ней нечетно, причем это свойство всей суммы не меняется при смене знака любого её слагаемого. Поэтому любая из получающихся сумм будет нечетной, а значит, не будет равна 0.
3. Значение 1 сумма принимает, например, при такой расстановке знаков у произведений, которая получится при раскрытии следующих скобок: `(1-2-3+4-5+6)(-9-10-11+12-13+14-15+16+17) = 1*1=1`.

(вар. 208 Восток)
Каждое из чисел 9, 10, ... ,17 умножают на каждое из чисел 3, 4, ... , 8 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? Ответ: 1 и 3861.
Решение:
1. Если все произведения взяты со знаком плюс, то их сумма максимальна и равна
`(9+ ... + 17)(3+ ... + 8)=((9+17)/2*9)*((3+8)/2*6)= 117*33 = 2457`
2. Так как предыдущая сумма оказалась нечетной, то число нечетных слагаемых в ней нечетно, причем это свойство всей суммы не меняется при смене знака любого её слагаемого. Поэтому любая из получающихся сумм будет нечетной, а значит, не будет равна 0.
3. Значение 1 сумма принимает, например, при такой расстановке знаков у произведений, которая получится при раскрытии следующих скобок: `(3-4-5+6-7+8)(-9-10-11+12-13+14-15+16+17) = 1*1=1`.

(вар. 148 Запад)
Перед каждым из чисел 10, 11, ..., 20 и 2, 3, ..., 6 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего от каждого из образовавшихся чисел первого набора отнимают каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 55 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? Ответ: 1 и 1045.
Решение:
1. Если все числа первого набора взяты с плюсами, а второго - с минусами, то сумма максимальна и равна
`5(10 +... + 20)-11(-2 -... - 6) = 5((10+20)/2*11)+11((2+6)/2*5) = 55 * 19 = 1045`.
2. Так как предыдущая сумма оказалась нечетной, то число нечетных слагаемых в ней - нечетно, причем это свойство всей суммы не меняется при смене знака любого ее слагаемого. Поэтому любая из получающихся сумм будет нечетной, а значит, не будет равна 0.
3. Значение 1 сумма принимает, например, при следующей расстановке знаков у чисел:
`5(10+11-12-13+14+15-16-17+18+19-20)-11(2-3+4-5+6) = 5*9-11*4 = 45-44 = 1`.

(вар. 112 Запад)
Перед каждым из чисел 11, 12, ..., 19 и 3, 4, ..., 9 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего от каждого из образовавшихся чисел первого набора отнимают каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 63 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? Ответ: 1 и 1323.
Решение:
1. Если все числа первого набора взяты с плюсами, а второго - с минусами, то сумма максимальна и равна
`7(11 +... + 19)-9(-3 -... - 9) = 7((11+19)/2*9)+9((3+9)/2*7) = 63 * 21 = 1323`.
2. Так как предыдущая сумма оказалась нечетной, то число нечетных слагаемых в ней - нечетно, причем это свойство всей суммы не меняется при смене знака любого ее слагаемого. Поэтому любая из получающихся сумм будет нечетной, а значит, не будет равна 0.
3. Значение 1 сумма принимает, например, при следующей расстановке знаков у чисел:
`7(-11-12-13+14+15-16+17-18+19)-9(-3+4-5-6+7+8-9) = -7*5+9*4 = -35+36 = 1`.

(вар. 190 Запад)
Перед каждым из чисел 11, 12, ..., 19 и 6, 7, ..., 10 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего от каждого из образовавшихся чисел первого набора отнимают каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 45 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? Ответ: 1 и 1035.
Решение:
1. Если все числа первого набора взяты с плюсами, а второго - с минусами, то сумма максимальна и равна
`5(11 +... + 19)-9(-6 -... - 10) = 5((11+19)/2*9)+9((6+10)/2*5) = 45 * 23 = 1035`.
2. Так как предыдущая сумма оказалась нечетной, то число нечетных слагаемых в ней - нечетно, причем это свойство всей суммы не меняется при смене знака любого ее слагаемого. Поэтому любая из получающихся сумм будет нечетной, а значит, не будет равна 0.
3. Значение 1 сумма принимает, например, при следующей расстановке знаков у чисел:
`5(-11-12+13-14+15-16+17-18+19)-9(-6-7+8-9+10) = -5*7+9*4 = -35+36 = 1`.

URL

2010-06-20 в 21:00

noil