10 класс

[Minakova Julia]

здравствуйте помогите решать задачки: Дано : DABC- тетраэдр, угол DBA = углу DBC=90 градусов. DB=6, AB=BC=8, AC=12. нужно построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через середину BD и параллельно плоскости ADC. найти площадь сечения. корректна ли задача? разве могут углы DBA и DBC быть равны по 90 градусов одновременно? я запуталась. помогите.
и вторая задача: Параллелограммы ABCD и ADFE лежат в разных плоскостях. прямая М параллельная BC пересекает плоскость ABE и DCF соответственно в точках Н и Р. доказать, что НРEF параллелограмм. как доказать параллельность ЕН и FP , что для этого нужно рассмотерть? помогите пожалуйста, жду ответа

@темы: Стереометрия

---

Найти собственные числа и собственные значения

[[email protected]]

Найти собственные числа и собственные значения

Вот исходные данные:
0 7 4
А=0 1 0
1 13 0

@темы: Линейные преобразования

---

[irida7]

Показать, что уравнение 2^x + 2^(-x) = 2cos2x (2 в степени х + 2 в степени -х = 2сos2x) имеет единственное решение. Найти это решение.

Я думаю, что если нужно "показать единственное решение", то нужно пойти через графики. Правая часть представлена косинусоидой. Левая - (для меня) непонятно чем. Может быть, я ошибаюсь, выбирая такой путь. Но пока ничего не приходит на ум. Не могли бы Вы подсказать, с чего можно начать.

@темы: Комбинированные уравнения и неравенства, Тригонометрия

---

(c)тащено

[Robot]

27.11.2009 в 11:05

Пишет  Хранитель печати:

(c)тащено

Студенты всегда считались самым передовым классом общества. Наш мир катится прямиком к перерождению. Вопрос сегодня заключается не в том, какое из искусств для нас важнее, а в том, уцелеет ли что-нибудь после компьютерной революции. Одна из самых популярных студенческих игр – «Герои меча и магии». Давайте представим нашу институтскую жизнь сквозь призму этого несомненного хита.

Описание игры.

баян, для памяти...

МОНСТРЫ

Монстры 1-го уровня:
«Студенты первокурсники» - весьма безобидные монстры, кучкуются отрядами по 20-25 человек. Часто для своего дальнейшего апгрейда посещают «лекции», «семинары» и «лабы» (см. ниже). При наличии у вас монстров 6-го уровня – разбегаются… Обладают слабым заклинанием «А мы этого в школе не учили», которое ни на кого не действует.

Монстры 2-го уровня:
«Студенты второкурсники» - улучшенные первокурсники, еще ничего не умеют, но уже смотрят на первокурсников свысока. Кучкуются отрядами по 5-6 человек.

Умеют находить сами сооружение «Сортир» (см. ниже). Заклинание улучшено до «А на лекциях этого не давали», которое иногда (хоть и редко) действует на монстров высшего уровня.

«Солдаты» - студенты после неудачной встречи с монстрами высших уровней (аналоги скелетов в «HM&M», в которых можно преобразовать любого монстра).

Монстры 3-го уровня:
«Студенты третьекурсники» - апгрейдженные второкурсники. Уже не боятся монстров шестого уровня, но очень неустойчивы к монстрам седьмого и выше уровней. Свысока смотрят на второкурсников, вообще не смотрят на первокурсников. При магических атаках высших монстров умеют защищаться «включением дурачка» 1-го уровня.

Монстры 4-го уровня:
«Студенты четверокурсники» - отупевшие третьекурсники. На низших монстров и не смотрят. Обладают защитным заклинанием «Уже почти готова» к магии «Когда сдашь курсовую?». Появляется параметр «Наглость», который растет каждую неделю в ночь на воскресенье.
В новой версии игры появились новые монстры «Бакланы» - те же четверокурсники, только при переходе на следующий уровень дается артефакт «Бакланский диплом», и по умолчанию монстр отпускается на свободу, поэтому это одни из самых злобных монстров.

Монстры 5-го уровня:
«Дипломники» - весьма жестокие монстры. Обладают иммунитетом против магии «Отчисление». В новой версии игры появились два вида монстров:
«Специалисты» - в предыдущих версиях - «пятикурсники», которые отличаются только наличием артефакта «Диплом специалиста». Отупевшие в корень. Из сооружений и зданий посещают только «Буфет», «Сортир» и «Общага». Хоть и являются монстрами 5-го уровня, но реально боятся только монстров 8-го и 9-го уровней. Параметр «Наглость» достигает своего апогея.
«Магистры» - самый неизученный вид монстров, многие считают, что их вообще нет, а упоминание о них – шутка разработчиков.

Монстры 6-го уровня:
«Аспиранты» - абсолютно неоднородная группа монстров. Мораль (настроение) и манна зависят от колебаний температуры Марса и среднемесячной нормы осадков в Зимбабве. В зависимости от этого могут помочь вашему отряду при атаке монстров высшего уровня, на турнире под названием «Экзамен», а могут воспользоваться магией «У меня нет времени, я пишу диссертацию». Найти их на карте, когда они срочно нужны, невозможно, где они появляются, и куда пропадают – никто не знает.
«Лаборанты» - страшные монстры. Добрые снаружи, ужасные внутри. Владеют магией «Очистить помещение», которую постоянно применяют на монстров 1-5 уровней.
Абсолютно беззащитны перед монстрами 7-го и выше уровней, хоть как-то противостоять им могут только в замке «Лаборатория» с помощью магии «У меня столько всяких забот…»

Монстры 7-го уровня:
«Препод обычный» - довольно редкая разновидность монстров. Почти всегда после встречи с ними появляется бонус «Зачет» и/или «Аттестация».
«Препод злобный» - основной монстр. В бое против монстров 1-5 уровней изворотлив, жесток и хитер. Во время встреч с ними использует заклинание «Перекличка». Чем меньше это заклинание было применено, тем больше у него шанс стать «Солдатом».
«Препод корыстный» - пожалуй, этот вид монстров больше всех применяет магию. Магия у них также особенная и у всех разная, она называется «Магия Денег». Вступать в бой с ним, монстрам низших уровней, следует только очень хорошо, прокачавшись, под завязку напичкавшись необходимыми артефактами. Имеет особенность атаковать заклинаниями, пока у противника не закончится мана (money).

Монстры 8-го уровня:
«Совет кафедры» - собрание монстров. Практически всегда атакуют юнита, заманив его в свой замок «Кафедра», всем скопом. Практически нет шансов отбиться, немного помогает заклинание «Я долго болел» при наличии артефакта «Справка».

Монстры 9-го уровня:
«Декан» - мифическое существо высшего уровня. Владеет самыми мощными заклинанием «Ну что, будем отчислять?». Монстры низших уровней, особенно 1-го и 2-го при одном только его разбегаются и прячутся, пользуясь складками местности.
ПОСТРОЙКИ И ДОМИКИ
«Лекция» - увеличивает защиту +1
«Семинар» - увеличивает атаку +1
«Лабы» - увеличивают все параметры на +1
«Буфет» - увеличивает мораль
«Сортир» - говорит вам о недостатках ваших врагов и понижает мораль
«Общага» - ничего не добавляет, даже убавляет, но монстрам 1-5 уровень очень нравится.
«Библиотека» - увеличивает знания на +5. В основном применяется монстрами до 5-го уровня в разговорной речи типа «Скоро сессия, надо бы в библиотеку сходить».
АРТЕФАКТЫ
«Справка, сто болел» - увеличивает защиту на +2
«Пиво 0,5 л.» - увеличивает мораль на +5
«Пиво 2 л.» - увеличивает уязвимость перед демонами 6-го и выше уровней, однако мораль +100
«Конспект» - увеличивает знания на +5
«Ксерокопия конспекта» - увеличивает знания +1, уменьшает деньги на -2р./лист
«Калькулятор» - знания +1
«Курсовая» - очень хороший артефакт, собирается из других артефактов, способен нейтрализовать монстров 6-7 уровней
«Шпаргалка» - знания +10
«Шпаргалка по этому предмету» - знания +20
«Шпаргалка по этому вопросу» - знания +40
«Папа – препод на кафедре» - универсальный артефакт, увеличивает все параметры на +50

@темы: Юмор

---

2 задачи из Кенгуру выпускникам 11 2005

[studen]

14. Верно ли утверждение: если О - точка пересечения диагоналей трапеции ABCD, с основанием AD, то площади треугольиков AOB и COD равны. (правильный ответ ДА)

Я думаю, что площади этих треугольников можно вычислить по формуле половины прозведения соседних сторон на синус угла между ними. Угол ABO=DCO (вертикальные). Но отрезки диагоналей, необходимые для вычисления площадей каждого из треугольников не будут равны (т.к ABCD - трапеция). Тогда и площади их будут разные, и ответ к задаче получается отрицательным.

 

40. Верно ли утверждение: если 1+b+c<0, то уравнение X^2 +bx+c имеет два действительных корня?(правильный ответ ДА)

идей, к сожалению, нет

 

54. Верно ли утверждение: если f'(1) < 0, то функция f не может быть возрастающей на отрезке [0;2] (правильный ответ ДА)

 

Тут я не понял, почему взят именно этот отрезок. Ведь возможно, что производная будет меньше нуля на отрезке [0;1,5], а на отрезке от [1,5;2] уже больше нуля, и соответственно, на первом отрезке она будет убывать, а на втором возрастать. Ведь по условию не сказано, что можно брать только целые числа.

@темы: Олимпиадные задачи

---

Несколько задач В12

[l Shift->stop->end l]

Пишет Гость:

24.11.2009 в 13:49

я бы тоже хотела увидеть решение Высоцкого и Гущина.. задания В12,ну не идёт у меня совсем...может быть вы дадите какие-нибудь ссылки?очень буду вам признательна!заранее спасибо!

Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ 2010,авторы-составители:И.Р.Высоцкий,Д.Д.Гущин,П.И.Захаров,В.С.Панферов,С.Е.Посилецкий,А.В.Семенов,А.Л.Семенов,М.А.Семенова,И.Н.Сергеев,В..Смирнов,С.А.Шестаков,Д.Э.Шноль,И.В.Ященко.
это если быть точным)))
если у вас эта книга есть,то,конечно,легче,варианты 7,8,9,10.

URL комментария

SPI .В12.7. Расстояние между пристанями А и В равно 48 км. Отчалив от пристани А в 10 часов утра, теплоход проплыл по течению реки с постоянной скоростью до пристани В
После трехчасовой стоянки у пристани В теплоход отправился в обратный рейс и прибыл в А в тот же день в 22.00. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.
SPI .В12.8. Четыре рубашки дешевле куртки на 20%. На сколько процентов шесть рубашек дороже куртки? Знак процента в ответе не пишите.
SPI .В12.9. Во время загородной поездки автомобиль на каждые 100 км пути расходует на 2 л бензина меньше, чем в городе. Водитель выехал с полным баком, проехал 120 км по городу и 210 км по загородному шоссе до заправки. Заправив машину, он обнаружил, что в бак вошло 42 л бензина. Сколько литров бензина расходует автомобиль на 100 км пробега в городе?
SPI .В12.10. Два автомобиля отправляются в 780-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 13 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 часа раньше второго. Найдите скорость автомобиля, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в километрах в час.

Примечание Robot: Поскольку я вроде как в соответствующем топике обещала это сделать, то выкладываю в комментах указания к решению данных задач. Именно указания, если будут конкретные вопросы по уравнениям, то обсуждение будет продолжено.
В дальнейшем просьба к Гостям в случае каких-то вопросов по задачам придерживаться правил сообщества: регистрироваться и выкладывать задания и конкретные вопросы по ним
SPI.B12.2 Объёмы ежемесячной добычи газа на первом, втором и третьем месторождении относятся как 7:6:14. Планируется уменьшить месячную добычу газа на первом месторождении на 14% и на втором - тоже 14%. На сколько процентов нужно увеличить месячную добычу газа на третьем месторождении, чтобы суммарный объём добываемого за месяц газа не изменился? pay.diary.ru/~eek/p89768687.htm

@темы: ЕГЭ, Текстовые задачи

---

[неправильные приоритеты]

Помогите, пожалуйста, найти пределы последовательностей и функции.



Заранее большое спасибо!

@темы: Пределы

---

[irida7]

Задачи. 1. Найти площадь равнобедренной трапеции, если ее высота равна H, а боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом альфа. (я не понимаю здесь даже условие)
2. Определить угол между боковым ребром и плоскостью основания правильной четырехугольной пирамиды, если площадь основания относится к поверхности вписанного в нее шара как 4:п

@темы: Планиметрия, Стереометрия, ЕГЭ

---

9 класс

[Minakova Julia]

Добрый вечер, помогите пожалуйста составить уравнение. задача: 2 слесаря выполняли некоторую работу. после 45 мин совместного труда 1-й слесарь переведен на другую работу, и второй слесарь закончит оставшуюся часть работы за 2ч 15 мин. за какое время мог бы выполнить всю работу каждый слесарь в отдельности, если известно, что второму на это понадобилось на 1 час больше чем первому.
за х я обозначила время первого слесаря если он работает в отдельности, а х+60 время второго. помогите пожалуйста не знаю что с уравнением делать

@темы: Текстовые задачи, ГИА (9 класс)

---

[Robot]

26.11.2009 в 15:28

Пишет  Диана Шипилова:

Об очевидном

Эту историю рассказывают о многих математиках. Некий профессор во время лекции, сформулировав теорему, сказал: «Доказательство очевидно». Студент поднял руку и спросил: «А почему оно очевидно?» Профессор немного подумал, потом вышел из аудитории и, вернувшись минут через двадцать, заявил: «Да, все верно, теорема очевидна», — после чего как ни в чем не бывало продолжил лекцию.

Вышеприведенный отрывок из книги Смаллиана характеризует далеко не только математиков. Наверняка многие встречались с подобным поведением оппонента в сетевых и реальных дискуссиях. Понятие очевидности, разумеется, весьма субъективно, но все же мы можем делать приблизительные оценки, оперируя предполагаемым воспитанием или образованием нашего окружения. И здесь не стоит путать понятия «очевидный для нас» и «очевидный вообще».
Тем не менее, мне кажется, что утверждение не перестает быть очевидным оттого, что кто-то просто ленится или не может немного подумать. (Так как любую фразу хоть кто-то да не поймет с первого раза, в противном случае очевидных утверждений не существовало бы вообще.) Возьмем, например, вопрос, по поводу которого сломано уже немало копий: «Существует ли дружба между мужчиной и женщиной?». Ответ на него действительно очевиден, а все споры возникают из-за непонятного домысливания и разницы трактовок. Я могу понять, что каждый вкладывает свое понятие в слово «дружба», но и другие слова в ожесточенных дискуссиях страдают ничуть не меньше. Так, вместо «существует» часто понимают «существует в статистически значимых количествах», хотя на самом деле даже один положительный пример полностью дает ответ на наш вопрос, а под «мужчиной» и «женщиной» понимают гетеросексуального мужчину и гетеросексуальную женщину. Это напоминает подгонку условий задачи, чтобы получить желаемый ответ!
Но значительное количество других вопросов, как в сфере науки, так и — особенно — в сфере человеческих отношений, вовсе нельзя назвать очевидными. И если человек именно этим аргументирует свое нежелание пояснять спорное утверждение, я скорее сделаю вывод, что сам он просто в это слепо верит, или, в зависимости от ситуации, гораздо менее лестные выводы. Да, я сама могу знать, что утверждение правильное, и искренне верить в его условную «очевидность» (для определенного круга моих оппонентов). Если человек, который вроде бы на первый взгляд неплохо разбирается в математике, будет доказывать мне неверность моего решения совершенно бредовыми для математика аргументами, я могу подумать, что это тролль, но все равно буду стараться объяснить решение или найти дырки в его тезисах. Так было недавно, я уже почти окончательно уверилась, что у нас в сообществе завелся тролль, но в ходе упорной дискуссии я вдруг поняла по одному его вопросу, что он на самом деле не понимает (а для математика то, что он не понимал, действительно очевидно!). Раздражение почти исчезло, я тут же сконструировала нужный пример и, к моему удивлению, мне удалось его переубедить! Теперь я не думаю, что это был тролль: просто не очень удачно выбрал человек манеру общения, да еще и позиционировал себя как знатока…
Так вот. Объяснять очевидное, конечно, бывает неожиданно сложно. (Когда у меня была ученица-второклассница, я поняла это в полной мере.) Но лучше учиться это делать, потому что рано или поздно ваш уровень не совпадет с уровнем собеседника и неизбежно начнутся вопросы. А игнорирование и отмашки, тем более если вопросы действительно спорные, выглядят крайне некрасиво.

---

еще одна.. провертье

[Who Is It?]

Дан вектор а и точка С. Найти длину и направляющие косинусы ОСха . (т. О - начало координат )

@темы: Векторная алгебра

---

Прошу помощи

[Надежда Дмитриева]

Найти dy/dx функции, заданной параметрически
Система
x=arctg(2t)
y=ln(1+4t)

Спасибо.

Найти координаты точек пересечения с осью Ox касательной, проведенной к графику у=f(x) в заданной точке A(8;6)
Y=корень(100-x*x)

Спасибо.

@темы: Производная, Касательная

---

проверьте и подскажите...

[Who Is It?]

нужно вычислить площадь параллелограмма, построеннного на векторах а и б (условия на фотке )
вот как я начал.

как найти угол между векторами а и б ?

@темы: Векторная алгебра

---

система

[DAKOTA1993]

есть система x2+y2=8( имеется ввиду 2- степень)
xy+x+y=p


нужно графически найти решение... вообще не пойму задания.. помогите

@темы: Задачи с параметром

---

[irida7]

Здравствуйте, очень нужна помощь! Уже очень долгое время ломаю голову над задачей. "Найти такую арифметическую прогрессию, чтобы между суммой ее первых x членов и суммою k x следующих за ними, существовало постоянное отношение, не зависящее от х.
Нашла что это отношение равно: 4S=K . нашла что 6a1=d. А вот что дальше делать понять не могу. Заранее спасибо.

@темы: Головоломки и занимательные задачи, Олимпиадные задачи, Прогрессии

---

С4 геометрия... мб кто подскажет

[Igorek11]

Окружность касается сторон MN и MK прямоугольника MNPK и проходит через вершину Р. Сторону КР она пересекает в точке А. Найдите площадь трапеции MNAK, если MN=9 и NK=sqrt(145)

вот мой рисунок:

Я понял только то что окружность делит сторону КР в каком-то соотношении... вот это соотношение и проблемно найти... помогите плз!

@темы: Планиметрия, ЕГЭ

---

Как делать...МНК-метод

[-= FraDdi =-]

Задание необходимо сделать до субботы:

Посмотрите, пожалуйста, правильно ли я начала делать и подскажите, как выяснить какая из двух линий лучше?

Объяснений, как решать подобные вещи, практически нет((( Поэтому прошу помощи. Если я правильно поняла, дальше нужно применять формулу:

В итоге получилось: 1,197672. Ведь для каждого х из таблицы берем соответствующий у и складываем получившиеся квадраты, так? А что делать с исходной прямой?

(Примечание Robot: продолжение темы, начатой здесь)

---

Высшая математика

[Edin2009]

по каноническому уравнению кривой 2го порядка определить тип кривой, начертить её график.Найти координаты фокусов, вершин и центра.(для центральной кривой)


7x^2 - 2y^2 - 42x- 16y +17 = 0 вооотт=(

@темы: Аналитическая геометрия, Линии второго порядка

---

НОД многочленов

[Montespan]

Вычислить НОД многочленов f(x) и g(x) над подем Z11 и найти его представление в виде
k(x)*f(x) + l(x)*g(x)
f(x) = 3*x^5 + 6*x^4 + 3*x^3 + 10*x^2 +9*x +10
g(x)=x^4+9*x^2+1

Начала находить НОД и совсем запуталась.

делителем многочлена g(x) он является, а вот f(x) вообще нет...

Подскажите, пожалуйста, где ошибки

@темы: Теория многочленов

---

НОД и НОК целых чисел

[Robot]

Немножко теории.
Целое число d называется общим делителем чисел a₁, a₂,.. a_k, если каждое из этих чисел делится на d. В дальнейшем мы будем говорить о натуральных делителях. Наибольший из общих делителей чисел a₁, a₂,.. a_k называется их наибольшим общим делителем и обозначается НОД (иногда (..,..)). Можно использовать и эквивалентное определение: Наибольшим общим делителем чисел a₁, a₂,.. a_k называется такой их общий делитель, который делится на любой другой их общий делитель.
Если НОД(a,b)=1, то числа а и b называются взаимно простыми. Такими например, являются 15 и 28. Аналогично если НОД( a₁, a₂,.. a_k)=1, то a₁, a₂,.. a_k взаимно просты. Если при этом НОД любой пары из них равен 1, то числа a₁, a₂,.. a_k называются попарно взаимно простыми. Например, числа 12, 15, 28 взаимно просты, но не попарно взаимно просты
Для нахождения НОД пары чисел можно использовать алгоритм Евклида (почитать о нем можно в книгах, рекомендуемых здесь Литература для подготовки к С6 ЕГЭ-2010 по математике (теория чисел) или просто погуглив). Кроме того, существует способ нахождения, использующий каноническое разложение натуральных чисел (см. здесь). Последний способ можно использовать для нахождения НОД нескольких чисел. В случае использования алгоритма Евклида придется использовать следующую формулу НОД(a,b,c)=НОД(НОД(a,b),c).
Полезно знать следующие свойства НОД
1) НОД(ka,kb)=k*НОД(a,b)
2)Если d - НОД(a,b), то числа a/d и b/d взаимно просты
3)Если d — наибольший общий делитель чисел а и b, то существуют такие целые числа х и у, что ах + by = d. Это равенство называется линейным представлением НОД чисел а и b.
(доказательство можно найти, например, в статье Болтянского и Левитаса по указанной выше ссылке).
Введем теперь понятие наименьшего общего кратного. Целое число m называется общим кратным чисел a₁, a₂,.. a_k, если m делится на каждое из этих чисел. В дальнейшем мы будем говорить о натуральных общих кратных. Наименьшее из общих кратных чисел a₁, a₂,.. a_k называется их наименьшим общим кратным и обозначается НОК (иногда [...,...]). Можно использовать и эквивалентное определение: Наименьшим общим кратным чисел a₁, a₂,.. a_k называется такое их общее кратное, на которое делится любое другое их общее кратное.
Полезны будут следующие свойства НОК
1) НОК(ka,kb)=k*НОК(a,b)
2)НОК(a,b)=ab/НОД(a,b). В частности, НОК взаимно простых чисел будет равно их произведению.
3)НОК(a,b,c)=НОК(НОК(a,b),c).
Найти НОК можно и через каноническое разложение чисел (см. здесь).

Следующая подборка задач с решениями на НОК и НОД любезно предоставлена  VEk (огромное ему спасибо!!!)
1. В магазин привезли меньше 600, но больше 500 тарелок. Когда стали раскладывать их десятками, то не хватило 3 тарелок до полного числа десятков, а когда стали раскладывать дюжинами (по 12 тарелок), то осталось 7 тарелок. Сколько тарелок привезли в магазин ?

Ответ и указание

Ответ: 547
Указание. Тарелок 10n+7 или 12m+7. Значит, убирая 7 тарелок получаем число, делящееся на НОК (10, 12) = 60. т.е. число тарелок записывается как 60k+7.
2. (UM.С6.1.) Найдите все пары натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно 78, а наибольший общий делитель равен 13.

Ответ и указание

Ответ: 78 и 13 или 39 и 26
Указание. Искомые числа можно записать 13a и 13b, тогда 169ab=13*78, откуда ab=6. Так как a и b - натуральные, то либо a=1, b=6, либо a=2, b=3, или наоборот.
3. Найти наименьшее натуральное число, большее 1 и дающее при делении на 2, 3, 4, 5, 6 остаток, равный 1.

Ответ и указание

Ответ: 61.
Указание. Вычтем из искомого числа 1, тогда оно делится на 2, 3, 4. 5, 6, т.е.делится на (2,3,4,5,6)=60.
Возможно такое решение. Число 61, как легко видеть, удовлетворяет условиям задачи. Пусть x < 61 также удовлетворяет условиям задачи. Тогда 61 –x делится на 2, 3, 4, 5, 6 без остатка, т.е. делится на НОК(2,3,4,5,6)=60. Но тогда x=1. Противоречие с предположением. Значит, число 61 – наименьшее число, удовлетворяющее этим требованиям.
4. (UM.С6.2.) Найти все пары натуральных чисел, разность которых 66, а НОК равен 360

Ответ и указание

Ответ: 90 и 24
Указание. Пусть a-b=66,. Тогда, так как НОК(a,b)=360, то 360 делится на b+66 . Отсюда следует, что b делится на 6. Так как 360 делится на 5, а 66≡1(mod5) , то b≡4(mod5) . Из последних двух утверждений легко получить, что b=30m-6, m∈N . Тогда a=30(m+2), m∈N . Так как 360 делится на a, получаем, что m+2 – делитель 12, т.е. одно из чисел 3, 4, 6, 12. Простой перебор показывает, что подходит только одна пара.
5. На миллиметровой бумаге нарисован прямоугольник 272х204 мм (его стороны идут по линиям сетки). Проведем его диагональ и отметим все узлы сетки, которые на ней лежат. На сколько частей узлы делят диагональ?

Ответ и указание

Ответ. На 68 частей.
Указание. Разобьём каждую из двух смежных сторон прямоугольника на 68 одинаковых частей и через точки деления проведём прямые по линиям сетки. Тогда диагональ прямоугольника разобьётся узлами сетки на 68 одинаковых частей, служащих диагоналями прямоугольников размером 3 x4 мм. На диагонали каждого такого прямоугольника нет ни одного узла сетки.
6. (UM.С6.9) На клетчатой бумаге отмечен прямоугольник m x n с вершинами в узлах сетки клеток, причем m и n – взаимно простые числа и m < n, Диагональ этого прямоугольника не пересекает ровно 116 клеток этого прямоугольника. Найдите все возможные значения m и n.

Ответ и указание

Ответ: 2 x 117 или 3 x 59
Указание. Так как проведенная диагональ не проходит внутри прямоугольника через узлы сетки (в силу взаимной простоты m и n), то она пересекает (m-1)+(n-1) внутреннюю границу, при этом каждую клетку она пересекает ровно в 2-х точках. Значит всего диагональ пересекает m+n-1 клетку (каждая внутренняя точка пересечения принадлежит двум соседним клеткам и надо добавить еще одну граничную клетку). Поэтому получаем уравнение: mn-(m+n-1)=116, откуда (m-1)(n-1)=116 . Отсюда либо m=2, n=117, либо m=3, n=59, либо m=5, n=30 (последняя пара не удовлетворяет условию взаимной простоты m и n).
7. Найти натуральные числа a и b, если НОД(a, b)=6, а НОК(a, b) = 90

Ответ и указание

Ответ: (6; 90) или (18; 30)
Указание. Очевидно, что a=6m, b=6n, где НОД(m. n) = 1. Поэтому НОК(a, b) = 6mn= 90, откуда mn = 15. Значит, возможны варианты (m,n)=(1,15), (3, 5) и наоборот.
8. (UMC6.8) Натуральные числа a, b, с таковы, что НОК(a,b) = 60, НОК(a,c)=270. Найдите НОК (b,c).

Ответ и указание

Ответ: 108 или 540
Указание.
Другое решение данной задачи можно посмотреть здесь
9. (UMC6.11)Каким может быть НОД натуральных чисел m и n, если при увеличении числа m на 6, он увеличивается в 4 раза?

Ответ и указание

Ответ: 2 или 6

10. Пусть m и n - натуральные числа, причем m/n - правильная несократимая дробь. На какие натуральные числа можно сократить дробь

если известно, что она сократима?

Ответ и указание

Ответ: а) на 17; б) на 7.
Указание Сп.1. Воспользуемся спуском по алгоритму Евклида. Имеем:

По условию дробь сократима, а m, n – взаимно просты, поэтому единственным положительным НОД может быть число 17

11. (диагностическая работа 19.11.2010)Множество A состоит из натуральных чисел. Количество чисел в A больше 7. Наименьшее общее кратное всех чисел из A равно 210. Для любых двух чисел из А их наибольший общий делитель больше 1. Произведение всех чисел из А делится на 1920 и не является квадратом никакого целого числа. Найти числа, из которых состоит A.

Ответ и указание

Ответ: {6, 10, 14, 30, 42, 70, 105, 210}
Указание.
Разлагая 210 на множители получаем 210=2•3•5•7 , т.е. числа из А могут состоять только из указанных простых делителей и не более чем в первой степени. Всего делителей числа 210 – 16 (включая единицу, которая не может входить в множество A), чисел, содержащих один простой делитель в A нет (если какой-то простой делитель входит в А, то три других простых делителя и все их комбинации автоматом в А не входят, (НОД(x,y)>1, x, y∈ A) т.е. в А 8 чисел, содержащих простой делитель и все его комбинации с другими делителями. Но тогда произведение всех элементов A является полным квадратом. Противоречие).
. Значит, каждое число, содержащееся в A, является произведением как минимум двух простых делителей НОК, т.е. это числа (всего 11чисел)

Заметим, что в парах 2*3 и 5*7, 2*5 и 3*7, 2*7 и 3*5 в множестве A может содержаться только одно из чисел пары (НОД(x,y)>1, x, y∈ A), следовательно, в множестве A не более 8 чисел.
Разложим на множители число 1920=2⁷•3•5 . Так как произведение чисел из А делится на 1920, то в A должны входить все числа, делящиеся на 2 (их как раз 7). Значит, из приведенных выше пар из A исключаются пары 5*7, 3*7 и 3*5. Следовательно, множество A может состоять из 8 чисел

Проверка показывает, что произведение всех чисел из указанного множества не является полным квадратом. Значит, указанное множество чисел удовлетворяет всем условиям задачи, налагаемым на множество A.
Другой способ решения см здесь
Видеоурок Ольги Себедаш
12. Натуральные числа х и у таковы, что 3х - 10у = 88, а их наименьшее общее кратное НОК(х,у) связано с числом у условием НОК(х,у) - 5у = 380. Что это за числа?

Ответ и указание

Ответ: x=96, y=20.

Еще несколько задач.
13. Кудреватов Сборник задач по теории чисел

14. Найти наибольший общий делитель всех чисел вида: 7ⁿ⁺²+8²ⁿ⁺¹, где n - неотрицательное целое число (Болтянский, Левитас)
15. Существуют ли 6 последовательных натуральных чисел таких, что наименьшее общее кратное первых трех из них больше, чем наименьшее общее кратное трех следующих? problems.ru=79643
16. a и b - натуральные числа. Известно, что a²+b² делится на ab. Докажите, что a=b. problems.ru=98346
17.Сколько существует пар натуральных чисел, у которых наименьшее общее кратное (НОК) равно 2000? problems.ru=35071
18.Существует ли 100 натуральных чисел таких, что их сумма равна их наименьшему общему кратному? problems.ru=107607
19.Какое наибольшее значение может принимать наибольший общий делитель чисел a и b, если известно, что a•b = 600? problems.ru=60492
20.Натуральные числа a₁, a₂,..., a₄₉ удовлетворяют равенству a₁ + a₂ +...+ a₄₉ = 540.
Какое наибольшее значение может принимать их наибольший общий делитель? problems.ru=60493
21.Три натуральных числа таковы, что произведение любых двух из них делится на сумму этих двух чисел. Докажите, что эти три числа имеют общий делитель, больший единицы. problems.ru=110160
22. Имеется несколько чисел, каждое из которых меньше чем 1951. Общее наименьшее кратное любых двух из них больше чем 1951. Доказать, что сумма обратных величин этих чисел меньше 2. problems.ru=77934
23. Каков наибольший возможный общий делитель чисел 9m + 7n и 3m + 2n, если числа m и n не имеют общих делителей, кроме единицы? problems.ru=32111
P.S. Прошу прощения за возможные опечатки

@темы: Задачник, ЕГЭ, Теория чисел