[Холщовый мешок]

Пусть $ABCDE$ --- правильный пятиугольник. Пусть $J$ и $K$ --- эксцентры треугольника $ACE$, противоположные вершинам $A$ и $C,$ соответственно. Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P,$ отрезки $CE$ и $BD$ пересекаются в точке $Q,$ а отрезки $AD$ и $CE$ пересекаются в точке $R.$

а) Докажите, что $PJ$ перпендикулярен $CE.$
б) Докажите, что прямая $KR$ проходит через центр описанной окружности $CQD.$

---

[Холщовый мешок]

Пусть \[ x = 1 + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^3} + \dfrac{1}{4^4} + ... + \dfrac{1}{2024^{2024}}.\] Найдите натуральное число $n$ такое, что \[n \le 3x < n + 1.\]

---

[Холщовый мешок]

Дан треугольник $ABC$, на сторонах $AC$ и $AB$ выбраны соответственно точки $Y$ и $Z,$ такие, что $AY + AZ = BC.$ Допустим, что внутри треугольника $AZY$ есть точка $X$ такая, что $2\angle AZX = \angle ACB$ и $2\angle AYX = \angle ABC.$ Докажите, что длина $AX$ больше или равна длине радиуса окружности, вписанной в треугольник $ABC.$

---

[Холщовый мешок]

Пусть $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ --- функция, заданная выражением \[f(x) = \begin{cases}3x, \text{ если }\ x < \frac13,\\ 3x-1, \text{если}\ \frac13 \le x < \frac23,\\ 3x-2, \text{если}\ \frac23 \le x.\end{cases}\]

Найдите все действительные числа $x,$ удовлетворяющие равенству $f(f(f(f(x)))) = x.$

---

[Холщовый мешок]

Есть пять различных цифр. Наименьшее пятизначное натуральное число, которое можно составить из этих цифр, не повторяя ни одной, кратно 11, а самое большое натуральное число, которое можно составить из тех же цифр, не кратно 11. Определите наибольшее возможное значение суммы этих пяти цифр.

Примечание: Имейте в виду, что натуральное число не может начинаться с цифры 0.

---

[Холщовый мешок]

Ио ездит на работу на такси. Стоимость поездки составляет 20, 21, 22, 23, 24 или 25 рублей. У Ио есть только монеты достоинством 2 и 5 рублей. Какое наименьшее количество монет ему следует иметь при себе, чтобы он мог оплатить поездку без сдачи?

---

[Холщовый мешок]

Фигура кондор — это фигура, которая делает ход следующими способами: 3 клетки по прямой в горизонтальном направлении и 1 клетка в вертикальном направлении или 3 клетки по вертикали и 1 клетка в горизонтальном направлении или 2 клетки по горизонтали и 2 клетки по вертикали.

Определите максимальное количество кондоров, которое можно разместить на доске 9x9 так, чтобы ни один из них не бил другого.

---

[Холщовый мешок]

Для каждого натурального числа $n \ge 2$, делители которого равны $1 = d_1 < d_2 < ... < d_k = n,$ определим \[f(n) = (d_1 + d_2)(d_2 + d_3) ... (d_{k-1} + d_k).\] Например, делители числа 6, упорядоченные по возрастанию, равны $d_1 = 1,$ $d_2 = 2,$ $d_3 = 3,$ $d_4 = 6,$ тогда $f(6) = (1+2) (2+3) (3+6) = 135.$

a) Определите все натуральные числа $n \ge 2$ такие, что $f(n)$ является степенью 3.
b) Докажите, что не существует натурального числа $n \ge 2$ такого, что $f(n)$ является степенью 21.

---

[Холщовый мешок]

Дан треугольник $ABC$. На стороне $AC$ выбраны точки $D$ и $E$ так, что точки $A,$ $D,$ $E,$ $C$ располагаются в указанном порядке. Пусть $P,$ $Q$ и $R$ --- середины отрезков $AB,$ $DE$ и $CB,$ соответственно. Вычислите величину $\angle PQR$, если известно, что $\angle DBE = 60^\circ,$ $AD = BE$, $EC = DB.$

---

[Холщовый мешок]

На рисунке изображен равносторонний треугольник со стороной 3 см, разделенный на девять равносторонних треугольников со стороной 1 см. Внутри каждого из этих девяти треугольников записано натуральное число, при этом, все числа различны и произведение четырех чисел в любом равностороннем треугольнике со стороной 2 см одинаково.

Возможно ли, что наибольшее из девяти чисел равно 14?

---

Неравенство

[wpoms.]

Докажите, что для всех положительных действительных чисел $a, b, c,$ $(a^3+b^3+abc)^{-1} + (b^3+c^3+abc)^{-1} + (a^3+c^3+abc)^{-1} \le (abc)^{-1}.$

@темы: Доказательство неравенств

---

Минобрнауки изменило порядок поступления в вузы и правила целевого набора

[All_ex]

Минобрнауки опубликовало правила приема на обучение в вузах до 2029 года и скорректировало процедуру приема на целевой набор. В вузах назвали некоторые решения спорными из-за «нервного лета» для абитуриентов.

читать дальше...

Единые даты зачисления
Министерство науки и высшего образования утвердило новый порядок приема в вузы на программы бакалавриата, специалитета и магистратуры. Документ опубликован на интернет-портале правовой информации. Он будет действовать с 1 марта 2025-го до 1 сентября 2029 года.

продолжение по ссылке...

@темы: Образование, Новости

---

Кружок

[Холщовый мешок]

Задача 12э.6.
а) Нарисуйте квадрат c вершинами в узлах сетки и отрежьте от него 4/5 площади так, чтобы получился квадрат c вершинами в узлах сетки. б) То же, но для 7/11 площади.

t.me/vmsh_179_5_7_2024/393?comment=3987

---

[Холщовый мешок]

---

Нет ли здесь ошибки?

[Холщовый мешок]

---

[wpoms.]

Под обрезанием выпуклого $n$-угольника будем понимать выбор пары смежных сторон $AB, BC$ и замены их на отрезки $AM, MN,$ и $NC,$ где $M$ --- середина $AB$ и $N$ --- середина $BC.$ Другими словами, мы отрезаем треугольник $MBN$ для получения выпуклого $(n+1)$-угольника. Правильный шестиугольник $P_6$ площади $1$ обрезается для получения семиугольника $P_7.$ Далее $P_7$ снова обрезается (одним из семи возможных способов) и получается восьмиугольник $P_8,$ et cetera. Докажите, что, вне зависимости от выбора вариантов обрезания, площадь $P_n$ больше $\frac{1}{3}$ для всех $n\ge6$.

@темы: Планиметрия, Комбинаторика

---

Сборная

[Холщовый мешок]

Киргизии добилась в этом году на международной олимпиаде хороших результатов. Впервые киргизский школьник получил золотую медаль.

А это интервью с обладателем первой медали международной олимпиады из Киргизии. Скромность не позволила ему упомянуть еще несколько сайтов, в создании и деятельности которых он принимал активное участие - учеба.про, абитуриент.про, олимпиады.биз.

Окружность, проходящая через вершины A, B и середину D стороны AC треугольника ABC, пересекает его сторону BC в точке E. Вторая окружность проходит через точку E и касается прямой AB в точке B. Прямая DE ещё раз пересекает эту вторую окружность в точке F, а прямую AB – в точке G. Докажите, что прямые BF, AE и CG пересекаются в одной точке.
testing.kg

---

Наконец-то

[Холщовый мешок]

доставили секретную информацию из Грузии.

Среди новостей, например, о том, что депутаты из Литвы, Эстонии, Латвии, Франции, Германии, Финляндии, Польши и Швеции, прибыли в грузинскую столицу, чтобы поддержать оппозицию и протестовать против вмешательства иностранных государств в происходящее в стране, затесались условия нескольких задач. Ниже условие одной из них.

На плоскости даны две окружности с центрами в точках О_1 и О_2. Прямые А_1А_2 и В_1В_2 --- общие касательные окружностей. Докажите, что P, точка пересечения прямых A_1B_1 и A_2B_2, находится на прямой O_1O_2.

---

Война — это мир. Свобода — это рабство. Незнание — сила

[Холщовый мешок]

---

Красивое

[Холщовый мешок]

Множество красивых натуральных чисел определено так:
• 1 и 2 - красивые
• если a и b - красивые (a и b не обязательно различны), то сумма 2a + 3b - красивая.
Является ли число 2024 красивым?