[wpoms.]

Под обрезанием выпуклого $n$-угольника будем понимать выбор пары смежных сторон $AB, BC$ и замены их на отрезки $AM, MN,$ и $NC,$ где $M$ --- середина $AB$ и $N$ --- середина $BC.$ Другими словами, мы отрезаем треугольник $MBN$ для получения выпуклого $(n+1)$-угольника. Правильный шестиугольник $P_6$ площади $1$ обрезается для получения семиугольника $P_7.$ Далее $P_7$ снова обрезается (одним из семи возможных способов) и получается восьмиугольник $P_8,$ et cetera. Докажите, что, вне зависимости от выбора вариантов обрезания, площадь $P_n$ больше $\frac{1}{3}$ для всех $n\ge6$.

@темы: Планиметрия, Комбинаторика

---

Сборная

[Холщовый мешок]

Киргизии добилась в этом году на международной олимпиаде хороших результатов. Впервые киргизский школьник получил золотую медаль.

А это интервью с обладателем первой медали международной олимпиады из Киргизии. Скромность не позволила ему упомянуть еще несколько сайтов, в создании и деятельности которых он принимал активное участие - учеба.про, абитуриент.про, олимпиады.биз.

Окружность, проходящая через вершины A, B и середину D стороны AC треугольника ABC, пересекает его сторону BC в точке E. Вторая окружность проходит через точку E и касается прямой AB в точке B. Прямая DE ещё раз пересекает эту вторую окружность в точке F, а прямую AB – в точке G. Докажите, что прямые BF, AE и CG пересекаются в одной точке.
testing.kg

---

Наконец-то

[Холщовый мешок]

доставили секретную информацию из Грузии.

Среди новостей, например, о том, что депутаты из Литвы, Эстонии, Латвии, Франции, Германии, Финляндии, Польши и Швеции, прибыли в грузинскую столицу, чтобы поддержать оппозицию и протестовать против вмешательства иностранных государств в происходящее в стране, затесались условия нескольких задач. Ниже условие одной из них.

На плоскости даны две окружности с центрами в точках О_1 и О_2. Прямые А_1А_2 и В_1В_2 --- общие касательные окружностей. Докажите, что P, точка пересечения прямых A_1B_1 и A_2B_2, находится на прямой O_1O_2.

---

Война — это мир. Свобода — это рабство. Незнание — сила

[Холщовый мешок]

---

Красивое

[Холщовый мешок]

Множество красивых натуральных чисел определено так:
• 1 и 2 - красивые
• если a и b - красивые (a и b не обязательно различны), то сумма 2a + 3b - красивая.
Является ли число 2024 красивым?

---

хɐvɔиҺ хıqнqvǝɯиʚɯɔn̯ǝɓ ʚ n̯инǝнʚɐdʎ ʎwǝɯɔиɔ ǝɯиmǝd

[Холщовый мешок]

---

В то время, как

[Холщовый мешок]

весь прогрессивный Борисюк Джонсонюк

переживает из-за результатов выборов в Грузии, пытаюсь, безуспешно, полистать страницы сайта National Assessment and Examinations Center Грузии.

У вас этот сайт - naec.ge - открывается?

---

Побег

[Холщовый мешок]

Короче, так, друзья. Вчера рано утром, почти ещё ночью, выполз я из своей рижской квартирки, добрался на перекладных до Вильнюса, купил автобусный билет до Минска, на "Минсктранс", они при продаже паспорта не требуют...
vk.com/id617041252?w=wall617041252_3576

Докажите равенство площадей серых треугольников.

---

Кот

[Холщовый мешок]

Пусть 133...33 — простое число из $k > 2$ цифр. Докажите, что $k(k+2)$ кратно 24. (Например, 133...33 — простое число при $k = 16.$)

---

[Холщовый мешок]

У вас есть коллекция как минимум из двух токенов, на каждом из которых написано число меньше или равное 10. Сумма чисел на токенах равна $S.$ Найдите все возможные значения $S$, которые гарантируют, что токены можно разделить на две группы так, чтобы сумма каждой группы не превышала 80.

---

[Холщовый мешок]

Найдите все пары действительных чисел $(x,y)$, удовлетворяющие системе $(x+1)(x^2 + 1) = y^3 + 1,$ $(y+1)(y^2 + 1 ) = x^3 + 1.$

---

[Холщовый мешок]

Пусть $AD$ и $BE$ — высоты треугольника $\triangle ABC$, пересекающиеся в ортоцентре $H.$ Середины $AB$ и $CH$ — это точки $X$ и $Y,$ соответственно. Докажите, что прямая $XY$ перпендикулярна прямой $DE.$.

---

[Холщовый мешок]

---

Ассара

[Холщовый мешок]

Существует ли описанный n-угольник, в котором каждая сторона длиннее диаметра вписанной окружности а) при n = 4? б) при n = 7? в) при n = 6?

cmcagu.ru/?page_id=6423

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

В этот день

[Холщовый мешок]

8 октября

Сегодня день рождения у Домовенка Кузи. Ему исполнилось 52 года. Именно в этот день в 1972 году его придумала советская писательница Татьяна Александрова.

Карин Жан-Пьер получила повышение и стала старшим советником президента США.

---

Тестирование учителей

[Холщовый мешок]

Вот и настало время распознать задачи очередного тестирования учителей.

Бодлого Т1. $n\ge m\ge 1$ байх натурал тоонуудын хувьд \[ (a^n - b^n)^2 = a^{n+m} - b^{n+m} \] тэгшитгэл $|a| > |b| >1$ байх $(a,b)$ харилцан анхны бүхэл тоон шийдгүй болохыг харуул.

---

[Холщовый мешок]

---

IOI

[Холщовый мешок]

IOI response to the conflict in Gaza
September 24th, 2024 in Organization

Dear Colleagues and members of the IOI community,

This message is being sent to provide an update on a significant decision of the General Assembly of the IOI.

Members of the community requested that the IOI respond to the humanitarian crisis in Gaza caused by the ongoing conflict. During IOI 2024, the General Assembly debated many options at length. The question about what action to take, if any, was not taken lightly. The result was a vote to sanction Israel for its role in the crisis. Over two thirds of the delegations voted in favour of this action. Specifically, the action means that beginning in 2025, Israel will not be recognized as a participating delegation at IOI, but four contestants from Israel may still participate under the IOI flag.

There will continue to be reflection and debate about the mission of the IOI and its connection to war and other international disputes.

Assoc/Prof Sun Teck Tan
President of IOI

ioinformatics.org/news/ioi-response-to-the-conf...

Израильских школьников не допустят до олимпиады по информатике
Израиль исключили из числа участников международной олимпиады по информатике
Оргкомитет международной олимпиады по информатике (IOI) ввел санкции против израильских школьников, исключив Израиль из стран-участниц, однако спортсмены из еврейского государства все еще могут приять участие в соревновании под нейтральным флагом.
"Члены сообщества обратились к IOI с просьбой отреагировать на гуманитарный кризис в Газе, вызванный продолжающимся конфликтом. Результатом стало голосование за введение санкций против Израиля за его роль в кризисе … Начиная с 2025 года Израиль не будет признан делегацией-участницей IOI, но четыре конкурсанта из Израиля по-прежнему могут участвовать под флагом IOI", - говорится в сообщении организации на официальном сайте.
Министерство образования Израиля прокомментировало данное заявление, сообщив, что в таком случае израильская делегация отказывается от участия в соревнованиях. Отдельные участники бывшей делегации также не будут присутствовать на соревнованиях в Египте.
"Молодежная сборная Израиля по информатике будет гордо нести израильский флаг на пути к новым победам и многочисленным международным достижениям", - говорится в сообщении министерства.
ria.ru/20240925/izrail-1974625342.html

Комментарий из телеграм-канала
Кто включает санкции, можно выяснить? Конкретные люди, у всех есть имена. И вспомнить про них в нужное время.

---

Многочлен

[wpoms.]

Докажите, что для любого целого числа $n$ существует уникальный многочлен $Q(x)$ с коэффициентами, принадлежащими множеству $\{0,1,\ldots,9\},$ такой, что $Q(-2)=Q(-5)=n.$

@темы: Теория многочленов, Теория чисел

---

[Холщовый мешок]

Выбросил все имеющие пейджеры.