Пусть $a$ и $b$ --- нечетные положительные целые числа. Определим последовательность $(f_n)$, полагая, что $f_1 = a$, $f_2 = b$, а $f_n$ для $n\ge3$ --- наибольший нечетный делитель $f_{n-1} + f_{n-2}$. Покажите, что значение $f_n$ равно некоторой константе при достаточно больших $n$ и найдите эту константу как функцию от $a$ и $b$. |  |
| 1. 360 | (0%) | ||
| 2. 450 | (0%) | ||
| 3. 480 | (0%) | ||
| 4. 500 | 2 | (100%) | |
| Всего: | 2 | ||
Рассмотрим функции $f : [0, 1] \rightarrow \mathbb{R},$ удовлетворяющие условиям (i) $f(x)\ge0$ для всех $x$ из $[0, 1]$, (ii) $f(1) = 1$, (iii) $f(x) + f(y) \le f(x + y)$ для любых $x$, $y$ таких, что $x + y$ принадлежат $[0, 1]$. Найдите (с доказательством) наименьшую константу $c$, такую, что $f(x) \le cx$ для любой функции $f$, удовлетворяющей (i)-(iii), и для любого $x$ из $[0, 1]$. | |
Пусть $ABCD$ --- выпуклый четырехугольник такой, что диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E$ под прямым углом. Докажите, точки, симметричные точке $E$ относительно прямых $AB$, $BC$, $CD$, $DA,$ лежат на одной окружности. | |
Для каждого целого числа $n\ge 2$, определите (с доказательством) какое из двух положительных действительных чисел $a$ и $b$ больше, если для них выполняется: $a^n=a+1,\qquad b^{2n}=b+3a.$ | |
Многочлен $P(z)$ с комплексными коэффициентами 1992 степени имеет различные нули. Докажите, что существуют комплексные числа $a_1, a_2, \ldots, a_{1992}$ такие, что $P(z)$ делит многочлен $\left( \cdots \left( (z-a_1)^2 - a_2 \right)^2 \cdots - a_{1991} \right)^2 - a_{1992}.$ | |
Хорды $AA'$, $BB'$ и $CC'$ сферы пересекаются в её внутренней точке $P$ и не лежат в одной плоскости. Сфера, проходящая через точки $A$, $B$, $C$ и $P,$ касается сферы, проходящей через точки $A'$, $B'$, $C'$ и $P$. Докажите, что $AA'=BB'=CC'$. | |
Для непустого числового множества $S$ пусть $\sigma(S)$ обозначает сумму элементов $S.$ Известно, что $A = \{a_1, a_2, \ldots, a_{11}\}$ состоит из положительных целых чисел и $a_1 < a_2 < \cdots < a_{11}$ и что, для всех положительных чисел $n \le 1500$, существует подмножество $S$ множества $A$, для которого $\sigma(S) = n.$ Чему равно наименьшее возможное значение $a_{10}?$ | |
