Многочлен

[wpoms.]

Существует ли многочлен $p(x)$ с целыми коэффициентами, удовлетворяющий равенствам $p(\sqrt2) = \sqrt2$ и $p(2\sqrt2) = 2\sqrt2 + 2?$

@темы: Теория многочленов

---

Биссектрисы

[Холщовый мешок]

Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом 30 градусов одна биссектриса в два раза короче другой.

mmo.mccme.ru/2023/

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

А2

[Холщовый мешок]

В треугольнике ABC точка E делит медиану AD пополам. Прямая СЕ пересекает сторону АВ в точке F. Найдите длину отрезка CF, если BD = BE и AF = 1.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

А1

[Холщовый мешок]

Остроугольный треугольник - это треугольник у которого все углы меньше 90° (90° - это величина прямого угла). Пусть ABC - прямоугольный треугольник с ∠ACB = 90°. Пусть CD - высота проведенная из C к AB, и пусть E - точка пересечения биссектрисы ∠ACD с AD. Пусть EF - высота из E к BC. Докажите, что описанная окружность треугольника BEF проходит через середину CE.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Не взаимно простые

[wpoms.]

Докажите, что для любого натурального числа $n$ существуют взаимно простые натуральные числа $a$ и $b$ такие, что при всех $k$ от 1 до $n$ числа $a + k$ и $b + k$ не являются взаимно простыми.

@темы: Теория чисел

---

Квадрат

[Холщовый мешок]

В квадрат ABCD вписаны окружность K, полуокружность P и четверть окружности Q. Центр четверти окружности Q находится в вершине A, она проходит через точки B и D. Центр полуокружности P совпадает с серединой стороны AD, она проходит через точки A и D. Окружность K касается полуокружности P в точке E, четверти окружности Q в точке F и стороны AB квадрата ABCD в точке G.
а) Выразите радиус окружности K через длину стороны квадрата ABCD.
b) Докажите, что прямая EF параллельна стороне AB.

Словения, 2022, 1 разряд.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Угол

[Холщовый мешок]

Пусть Γ — окружность, и пусть A, B и C — три точки на окружности такие, что △ABC - остроугольный. Прямая, проходящая через A и перпендикулярная BC, повторно пересекает Γ в точке D, а прямая, проходящая через B и перпендикулярная AC, повторно пересекает Γ в точке E.
Покажите, что если |AB| = |DE|, то ∡ACB = 60◦.

Исландия 22-23
точки, симметричные точке пересечения высот (ортоцентру) треугольника ABC относительно прямых, содержащих его стороны, лежат на описанной окружности этого треугольника.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Описанная окружность

[wpoms.]

Дан треугольник $ABC,$ в котором $\angle CAB = 30^\circ$ и $\angle ACB = 60^\circ.$ На продолжении луча $AB$ за точку $B$ выбирается произвольная точка $D,$ а на продолжении луча $CB$ за точку $B$ отмечается точка $E$ такая, что $\angle BDE = 60^\circ.$ Прямые $AC$ и $DE$ пересекаются в точке $F.$ Докажите, что описанная окружность треугольника $AEF$ проходит через некоторую фиксированную точку, отличную от $A$ и не зависящую от выбора точки $D.$

@темы: Планиметрия

---

Чётные и нечётные

[wpoms.]

Даны $n \ge 2$ различных целых чисел, больших $-10.$ Оказалось, что среди них количество нечётных чисел равно максимальному чётному числу, а количество чётных --- максимальному нечётному числу. а) Найдите наименьшее возможное значение $n.$ б) Найдите наибольшее возможное значение $n.$

@темы: Теория чисел

---

Число

[wpoms.]

На доске записаны числа 1, 2, ..., 50. Аня проделывает следующие действия: стирает с доски любые два числа $a$ и $b,$ записывает на доску вместо них одно число --- их сумму $a + b,$ после чего выписывает себе в блокнот число $ab(a + b).$ Когда после 49 таких действий на доске осталось ровно одно число, Аня нашла сумму $S$ всех 49 чисел, выписанных в блокнот. а) Докажите, что $S$ не зависит от порядка действий Ани. б) Вычислите $S.$

---

Чётно

[wpoms.]

Натуральные числа $a$ и $b$ удовлетворяют равенству $a+\tau (a) = b^2+2,$ где через $\tau (n)$ обозначено количество всех натуральных делителей числа $n,$ включая 1 и само число $n.$ Докажите, то число $a + b$ чётно.

@темы: Теория чисел

---

Вот...

[All_ex]

Сергей Кравцов отчитался Владимиру Путину о ситуации в образовании на совещании с членами Правительства

Ссыль тыц

вероятно жутко интересно... но почему-то у меня идёт без звука...
кто перескажет краткое содержание?...

@темы: Образование, Новости

---

Неравенство

[wpoms.]

Докажите неравенство: `\frac1{1!} + \frac1{2!} + \frac1{3!} + ... + \frac1{2022!} > \frac{1^2}{2!} + \frac{2^2}{3!} + \frac{3^2}{4!} + ... + \frac{2022^2}{2023!}.`

@темы: Доказательство неравенств

---

Методические

[Холщовый мешок]

материалы для председателей и членов РПК
vk.com/wall-171086544_20349
fipi.ru/ege/dlya-predmetnyh-komissiy-subektov-r...

@темы: ЕГЭ

---

На одной

[wpoms.]

Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC.$ На сторонах $BC,$ $AC$ и $AB$ отмечены точки $X,$ $Y$ и $Z$ соответственно так, что треугольники $ABC$ и $YXZ$ подобны. Точка $W$ симметрична точке $X$ относительно середины стороны $BC.$ Докажите, что точки $X,$ $Y,$ $Z$ и $W$ лежат на одной окружности.

@темы: Планиметрия

---

Треугольник

[Холщовый мешок]

Верно или нет утверждение: Если средняя линия перпендикулярна медиане треугольника, то он равнобедренный.

Вопрос: Верно ли утверждение?

1. Да		2	(50%)
2. Нет (нужен пример)		2	(50%)
Всего:		4

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Точка Е пробегает

[wpoms.]

Пусть $D$ --- произвольная точка на стороне $AB$ данного треугольника $ABC$ и пусть $E$ --- внутренняя точка треугольника, в которой $CD$ пересекает общую внешнюю касательную вписанных окружностей треугольников $ACD$ и $BCD.$ Пусть точка $D$ пробегает все точки отрезка между $A$ и $B.$ Докажите, что при этом точка $E$ описывает дугу окружности.

@темы: Планиметрия

---

Дао издателя

[Холщовый мешок]

Если изначально у книги плохие перспективы, то добавь на обложку фамилию Хокинга.
Стивен Хокинг. Бог создал целые числа

vk.com/ege_reshebnik?w=wall-185919148_6041

@темы: История математики, Литература

---

ИГО

[Холщовый мешок]

Найдите углы пятиугольника ABCDE, изображённого на рисунке ниже.

Сайт igo-official.com у меня не открывается. На каком российском сайте можно посмотреть условия, решения иранской геометрической олимпиады?

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Неравенство

[wpoms.]

Пусть $a =(m^{m+1} + n^{n+1})/(m^m + n^n),$ где $m$ and $n$ --- целые положительные числа. Докажите, что $a^m + a^n \geq m^m + n^n.$ [Вам может пригодиться исследование отношения $(a^N - N^N)/(a-N),$ для действительного $a \geq 0$ и целого $N \geq 1.$]

@темы: Доказательство неравенств, Теория чисел