Вот...

[All_ex]

Сергей Кравцов отчитался Владимиру Путину о ситуации в образовании на совещании с членами Правительства

Ссыль тыц

вероятно жутко интересно... но почему-то у меня идёт без звука...
кто перескажет краткое содержание?...

@темы: Образование, Новости

---

Неравенство

[wpoms.]

Докажите неравенство: `\frac1{1!} + \frac1{2!} + \frac1{3!} + ... + \frac1{2022!} > \frac{1^2}{2!} + \frac{2^2}{3!} + \frac{3^2}{4!} + ... + \frac{2022^2}{2023!}.`

@темы: Доказательство неравенств

---

Методические

[Холщовый мешок]

материалы для председателей и членов РПК
vk.com/wall-171086544_20349
fipi.ru/ege/dlya-predmetnyh-komissiy-subektov-r...

@темы: ЕГЭ

---

На одной

[wpoms.]

Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC.$ На сторонах $BC,$ $AC$ и $AB$ отмечены точки $X,$ $Y$ и $Z$ соответственно так, что треугольники $ABC$ и $YXZ$ подобны. Точка $W$ симметрична точке $X$ относительно середины стороны $BC.$ Докажите, что точки $X,$ $Y,$ $Z$ и $W$ лежат на одной окружности.

@темы: Планиметрия

---

Треугольник

[Холщовый мешок]

Верно или нет утверждение: Если средняя линия перпендикулярна медиане треугольника, то он равнобедренный.

Вопрос: Верно ли утверждение?

1. Да		2	(50%)
2. Нет (нужен пример)		2	(50%)
Всего:		4

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Точка Е пробегает

[wpoms.]

Пусть $D$ --- произвольная точка на стороне $AB$ данного треугольника $ABC$ и пусть $E$ --- внутренняя точка треугольника, в которой $CD$ пересекает общую внешнюю касательную вписанных окружностей треугольников $ACD$ и $BCD.$ Пусть точка $D$ пробегает все точки отрезка между $A$ и $B.$ Докажите, что при этом точка $E$ описывает дугу окружности.

@темы: Планиметрия

---

Дао издателя

[Холщовый мешок]

Если изначально у книги плохие перспективы, то добавь на обложку фамилию Хокинга.
Стивен Хокинг. Бог создал целые числа

vk.com/ege_reshebnik?w=wall-185919148_6041

@темы: История математики, Литература

---

ИГО

[Холщовый мешок]

Найдите углы пятиугольника ABCDE, изображённого на рисунке ниже.

Сайт igo-official.com у меня не открывается. На каком российском сайте можно посмотреть условия, решения иранской геометрической олимпиады?

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Неравенство

[wpoms.]

Пусть $a =(m^{m+1} + n^{n+1})/(m^m + n^n),$ где $m$ and $n$ --- целые положительные числа. Докажите, что $a^m + a^n \geq m^m + n^n.$ [Вам может пригодиться исследование отношения $(a^N - N^N)/(a-N),$ для действительного $a \geq 0$ и целого $N \geq 1.$]

@темы: Доказательство неравенств, Теория чисел

---

Новый год к нам мчится

[All_ex]

Дорогие сообщники, коллеги и все, все, все!

От лица сообщества поздравляю всех с наступающим (или уже наступившим) Новым Годом!!...

Всем здоровья... счастья для всех, даром... и мирного неба над головой!

Уходящий 2022 год был не простым.
Наступающий 2023 тоже будет не простым, так как 2023=7*17*17.
Но в разложении числа 2023 на простые множители есть три семёрки!
А это значит, что в наступающем 2023 нас ожидает счастье, нужно только постараться его найти!

@темы: Праздники

---

Башня степеней

[wpoms.]

Покажите, что для любого данного целого числа $n \geq 1$ последовательность $2, \; 2^2, \; 2^{2^2}, \; 2^{2^{2^2}},...$ mod(n) начиная с некоторого члена становится постоянной. Башня степеней определяется следующим образом: $a_1 = 2, \; a_{i+1} = 2^{a_i}$; а $a_i$ mod(n) означает остаток от деления $a_i$ на $n.$

@темы: Теория чисел

---

Чемоданы

[Холщовый мешок]

Имеется 5 закрытых чемоданов и 5 ключей к ним. При этом неизвестно, к какому чемодану подходит какой ключ. Какое наименьшее число попыток надо сделать, чтобы наверняка определить, какой ключ подходит к какому чемодану?

www.upload.ee/files/14769652/Zolotareva_Fedotov...

Вопрос: Какое наименьшее число попыток надо сделать

1. 10		3	(60%)
2. 15		1	(20%)
3. 20			(0%)
4. 25			(0%)
5. 30			(0%)
6. 36		1	(20%)
Всего:		5

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Трапеция

[Холщовый мешок]

Дана трапеция ABCD, в которой АВ || CD , АВ > ВС = CD = DA, /_ CBA = 60◦.
На отрезке BC выбрана точка E такая, что BE : EC = 2 : 1.

И, наконец, пусть L — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на прямую AE.
Найдите CL, если CD = 42.

Что за птичка - невеличка?

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Наименьшее расстояние

[koki174lol]

Точки A и B с абсциссами 3 и -3 расположены на параболе y = (1/3)*(x^2). Найти
на этой параболе точку, сумма квадратов расстояний от которой до точек A и
B была бы наименьшей

@темы: Математический анализ

---

Отношение

[wpoms.]

Для произвольного числового множества $S$ пусть $\sigma(S)$ and $\pi(S)$ обозначают соответственно сумму и произведение элементов $S.$ Докажите, что $\sum \frac{\sigma(S)}{\pi(S)} = (n^2 + 2n) - \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} \right) (n+1),$ где "$\Sigma$" обозначает сумму, вычисляемую по всем непустым подмножествам $S$ множества $\{1,2,3, \ldots,n\}$.

@темы: Олимпиадные задачи, Теория чисел

---

Периметр

[wpoms.]

В треугольнике $ABC$ угол $A$ вдвое больше угла $B$, угол $C$ тупой, а длины трех сторон $a, b, c$ являются целыми. Найдите (с доказательством) наименьший возможный периметр треугольника.

@темы: Планиметрия

---

Игра

[wpoms.]

Витя и Маша играют в игру. Сначала Витя загадывает три различных целых числа. За один раз Маша может спросить одну из следующих величин: либо сумму чисел, либо сумму попарных произведений чисел, либо произведение чисел, загаданных Витей. Маша задаёт вопросы последовательно, причём Витя даёт ответ до того, как будет задан следующий вопрос. а) Докажите, что Маша всегда может отгадать числа, загаданные Витей. б) За какое наименьшее число вопросов Маша гарантированно сможет это сделать вне зависимости от того, какие числа загадал Витя?

@темы: Теория многочленов, Теория чисел

---

Вельвичия

[Холщовый мешок]

Ученые предполагают, что это растение может жить от 400 до 1500 лет. Открыл странный цветок португальский ботаник Фридрих Вельвич в 1860 году. Ученый заметил его в каменистых пустынях тропической Южной Америки.

Дана окружность радиуса 1 с диаметром $AG$, прямая $AF$ перпендикулярна $DC$. Внутри окружности расположены два квадрата, $ABDC$ и $DEGF$, вершины которых $B$ и $E$ лежат на окружности, а точки $A$, $D$ и $E$ лежат на одной прямой. Найдите площадь квадрата $DEGF$.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Колбасное дерево

[Холщовый мешок]

Поедатель колбасы

Окружности радиусов $R_1$ и $R_2$ касаются друг друга внешним образом. Помимо этого, обе окружности касаются полуокружности радиуса 1, как показано на рисунке.

a) Пусть $A_1$ и $A_2$ - точки касания окружностей с диаметром полуокружности. Найдите длину отрезка $A_1A_2$.

b) Докажите, что $R_{1}+R_{2} = 2\sqrt{R_{1}R_{2}}(\sqrt{2}-\sqrt{R_{1}R_{2}})$.

---

Многочлен

[wpoms.]

Многочлен $p(x)$ с целыми коэффициентами удовлетворяет равенству \[p(\sqrt2 + \sqrt3) = \sqrt2 - \sqrt3.\] а) Найдите все возможные значения $p(\sqrt2 - \sqrt3).$ б) Приведите пример хотя бы одного многочлена $p(x),$ удовлетворяющего условию.

@темы: Теория многочленов