Докажите неравенство: `\frac1{1!} + \frac1{2!} + \frac1{3!} + ... + \frac1{2022!} > \frac{1^2}{2!} + \frac{2^2}{3!} + \frac{3^2}{4!} + ... + \frac{2022^2}{2023!}.` |  |
Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC.$ На сторонах $BC,$ $AC$ и $AB$ отмечены точки $X,$ $Y$ и $Z$ соответственно так, что треугольники $ABC$ и $YXZ$ подобны. Точка $W$ симметрична точке $X$ относительно середины стороны $BC.$ Докажите, что точки $X,$ $Y,$ $Z$ и $W$ лежат на одной окружности. | |
| 1. Да | 2 | (50%) | |
| 2. Нет (нужен пример) | 2 | (50%) | |
| Всего: | 4 | ||
Пусть $D$ --- произвольная точка на стороне $AB$ данного треугольника $ABC$ и пусть $E$ --- внутренняя точка треугольника, в которой $CD$ пересекает общую внешнюю касательную вписанных окружностей треугольников $ACD$ и $BCD.$ Пусть точка $D$ пробегает все точки отрезка между $A$ и $B.$ Докажите, что при этом точка $E$ описывает дугу окружности.  |  |
Пусть $a =(m^{m+1} + n^{n+1})/(m^m + n^n),$ где $m$ and $n$ --- целые положительные числа. Докажите, что $a^m + a^n \geq m^m + n^n.$ [Вам может пригодиться исследование отношения $(a^N - N^N)/(a-N),$ для действительного $a \geq 0$ и целого $N \geq 1.$] | |
Покажите, что для любого данного целого числа $n \geq 1$ последовательность $2, \; 2^2, \; 2^{2^2}, \; 2^{2^{2^2}},...$ mod(n) начиная с некоторого члена становится постоянной. Башня степеней определяется следующим образом: $a_1 = 2, \; a_{i+1} = 2^{a_i}$; а $a_i$ mod(n) означает остаток от деления $a_i$ на $n.$ | |
| 1. 10 | 3 | (60%) | |
| 2. 15 | 1 | (20%) | |
| 3. 20 | (0%) | ||
| 4. 25 | (0%) | ||
| 5. 30 | (0%) | ||
| 6. 36 | 1 | (20%) | |
| Всего: | 5 | ||
Для произвольного числового множества $S$ пусть $\sigma(S)$ and $\pi(S)$ обозначают соответственно сумму и произведение элементов $S.$ Докажите, что $\sum \frac{\sigma(S)}{\pi(S)} = (n^2 + 2n) - \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} \right) (n+1),$ где "$\Sigma$" обозначает сумму, вычисляемую по всем непустым подмножествам $S$ множества $\{1,2,3, \ldots,n\}$. | |
В треугольнике $ABC$ угол $A$ вдвое больше угла $B$, угол $C$ тупой, а длины трех сторон $a, b, c$ являются целыми. Найдите (с доказательством) наименьший возможный периметр треугольника. | |
Витя и Маша играют в игру. Сначала Витя загадывает три различных целых числа. За один раз Маша может спросить одну из следующих величин: либо сумму чисел, либо сумму попарных произведений чисел, либо произведение чисел, загаданных Витей. Маша задаёт вопросы последовательно, причём Витя даёт ответ до того, как будет задан следующий вопрос. а) Докажите, что Маша всегда может отгадать числа, загаданные Витей. б) За какое наименьшее число вопросов Маша гарантированно сможет это сделать вне зависимости от того, какие числа загадал Витя? | |
Многочлен $p(x)$ с целыми коэффициентами удовлетворяет равенству \[p(\sqrt2 + \sqrt3) = \sqrt2 - \sqrt3.\] а) Найдите все возможные значения $p(\sqrt2 - \sqrt3).$ б) Приведите пример хотя бы одного многочлена $p(x),$ удовлетворяющего условию. | |
Клетчатую доску размера $2022 \times 2022$ разрезали на фигуры двух видов: L-тетрамино и Z-тетрамино. Каждое тетрамино состоит из четырёх единичных квадратов, тетрамино можно поворачивать и переворачивать. Определите, какое наименьшее количество Z-тетрамино могло получиться. | |
