Среднее геометрическое

[wpoms.]

Средним геометрическим множества, состоящего из $m$ неотрицательных чисел, назовём корень $m$-ой степени из произведения всех его элементов. (i) Для каких положительных целых чисел $n$ существует множество $S_n,$ состоящее из $n$ различных положительных целых чисел, такое, что среднее геометрическое любого подмножества $S_n$ является целым числом? (ii) Существует ли бесконечное множество $S$ различных положительных целых чисел такое, что среднее геометрическое любого конечного подмножества $S$ является целым числом?

@темы: Теория чисел

---

Многочлен

[wpoms.]

Произведение двух корней многочлена $x^4 - 18x^3 + kx^2 + 200x - 1984 = 0$ равно $-32.$ Найдите $k.$

@темы: Теория многочленов

---

На окружности

[wpoms.]

На окружности выбраны точки $A$ и $B$ так, что $AB$ не является диаметром. Проведены касательные к окружности в точках $A$ и $B,$ пересекающиеся в точке $T.$ Далее, выбрали диаметр $XY$ так, что отрезки $AX$ и $BY$ пересекаются в точке $Q.$ Покажите, что точки $A, B$ и $Q$ лежат на окружности с центром $T.$

@темы: Планиметрия

---

Векторы

[Olivia ._.]

ABCD - произвольный четырехугольник
Х - произвольная точка в четырехугольнике
XA, XB, XC, XD - векторы
Есть формула:
вектор XO = (XA+XB+XC+XD)/4
Нужно найти точку О в четырехугольнике по формуле.
Помогите завершить задачу, я получила формулу и застряла

---

Формула для переноса

[Груша Вильямс]

Не могу придумать формулу. Задача несколько специфическая. Предположим, что у нас есть некоторая переменная, которая может хранить число из диапазона от 0 до 9.
Надо придумать как умножить такие переменные.
Диапазон следует представлять как замкнутую ленту из последовательных ячеек 0, 1, 2, ..., 9, таким образом если мы пишем 9+1, то попадаем в ячейку 0 (т.е. 9+1=0), и так далее вплоть до 9+9=8.

Дано:
max = 9 - это предельное значение диапазона,
a - одна переменная,
b - другая переменная
carry - переменная переноса.

Операции:
+, -, *, /
битовые |, &, ^, ! (or, and, xor, not)
% - взятие остатка
ну и любые другие можно использовать

Примеры:
a=1, b=9 => carry = 0
a=2, b=9 => carry = 1
a=4, b=8 => carry = 3

Ограничения:
переменных способных хранить числа, состоящие более, чем из одного знака, не существует. Это означает, что операция 2*9 невыполнима в стандартном понимании, так как не существует переменной способной хранить число 18, результатом операции 2*9 будет 2*9=9+9=8 как уже говорилось. Данное ограничение можно воспринимать как своеобразную архитектуру процессора, который работает только лишь с однозначными числами.

Найти:
функцию carry = f(a,b,max).

Например, при 2*9 нахождение carry=1 позволит отпечатать произведение как последовательная печать переменной carry как 1 и печать операции 2*9 как 8, итого 18.

@темы: Головоломки и занимательные задачи, Дискретная математика

---

Математический конкурс в ЮУрГУ

[wpoms.]

Математический конкурс в ЮУрГУ

Сайт: vk.com/konkursinsusu
Организатор: А. Эвнин (†19.11.2020)

Задания конкурса № 73

Задача 433. [Пять монет] Среди пяти монет одна фальшивая. Настоящие монеты одной массы, а фальшивая другой массы. Имеются чашечные весы, которые работают так: при равенстве масс взвешиваемых грузов любая из чашек может опуститься вниз; когда же массы различны, весы работают правильно. Придумайте, как с помощью таких весов гарантированно определить фальшивую монету и установить при этом, легче она или тяжелее остальных, а) за 11 взвешиваний, б) за 4 взвешивания.

Задача 434. [Правильные треугольники] ABC и ECD — правильные треугольники, M, N, K — соответственно середины отрезков BD, АС и CE. Докажите, что MKN — тоже правильный треугольник.

Задача 435. [Задача из ДВИ МГУ] В тетраэдре ABCD плоские углы при вершине D прямые. Точка H — основание высоты, опущенной из точки D на грань ABC. Площади треугольников ABH, BCH и CAH равны соответственно S3, S1, S2. Найдите объём тетраэдра.

Задача 436. [Функциональное уравнение] Найдите все непрерывные на R функции f(x) такие, что $\forall x\quad 3f(2x+1) = f(x) + 5x.$

Задача 437. [Задача из Туркмении] Пусть A — вещественная квадратная матрица, I — единичная матрица того же размера. Известно, что $det(A + I) \ge 0.$ Докажите, что $det(A^5 + I) \ge 0.$

Задача 438. [Поможет Чебышёв] Обозначим $S_n = \sum\limits_{p\le n} \frac1p,$ где сумма берётся по всем простым p, не превосходящим натурального числа n. Докажите, что для некоторого b > 1 и для всех $n\ge 3$ $S_n\le 2 + b \cdot \ln \ln n.$

Условие в формате pdf смотрите на указанном выше сайте.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Красота математики

[Leska|Nastya]

Добрый день.

Хочу детям рассказать про всякие прикольные штуки в математике.

Что-то типа откуда взялось число Pi, e, ряд Фибоначчи, прогрессии, вероятность, число сочетаний (факториал), теорема Пифагора (египетский треугольник)
В общем что-то интересное, с историей (не просто докажи что 1+1=3 или математические/олимпиадные задачи)

Подскажите, какие есть книги на эту тему?

Пока прочитала "Красота в квадрате" Алекс Беллос (очень подходит, но мало идей), "Думай, как математик" Барбары Оакли (очень мало чего интересного) и все(

Порекомендуйте книги.
И возможно кто-то участвовал в математических играх (знаю, что в Новосибирске проходят в день математика), может подскажите, что было ли там что-то похожее? Нужны любые идеи)

Спасибо!

---

Разложение определителя по строкам/столбцам

[Olivia ._.]

Доказать, что сумма алгебраических дополнений всех элементов матрицы не изменится, если ко всем ее элементам прибавить одно и то же число.
Я делаю что-то не так, ибо у меня сумма изменяется) Вопрос, как нужно действовать...

---

Аксель начинает и выигрывает

[wpoms.]

Пусть $m > 1$ будет положительным целым числом. Игра HAUKKU($m$) между Акселем и Элиной проходит так: Аксель начинает и игроки ходят поочерёдно. В начале игры на доске выписаны все делители числа $m.$ Ход заключается в выборе одного из оставшихся на доске чисел, после чего выбранное число и все его кратные стираются с доски. Игрок, которому приходится выбрать число 1, проигрывает. Докажите, что начинающий игру Аксель имеет выигрышную стратегию в игре HAUKKU($m$) для всех $m > 1,\ m \in \Z.$}

@темы: Дискретная математика

---

Вот тебе, бабушка, и Юрьев день...

[All_ex]

В России планируют принять закон об онлайн-образовании

В Госдуме пройдет первое чтение законопроект о дистанционном образовании. Он позволит Минобрнауки и Минпросвещения регламентировать роль и обязанности учителей в удаленном образовательном процессе.

Первый замглавы думского комитета по образованию и науке Олег Смолин рассказал «Коммерсанту» о сути законопроекта. По его словам, ведомства еще должны будут подготовить подзаконные акты, чтобы в них были прописаны особые ситуации, когда образовательная программа будет реализовываться в форме исключительно электронного обучения.

Кроме того, депутат отметил, что новый законопроект не решает проблему отсутствия у многих российских школьников и учителей технического обеспечения. «Если мы принимаем закон, по которому Минпросвещения получает возможность разрабатывать обязанности учителей, проведение предметов в таком формате, вообще организацию дистанционного обучения, то, очевидно, оно должно требовать от регионов либо от федеральной власти дополнительных расходов», – добавил сопредседатель профсоюза «Учитель» Всеволод Луховицкий.

Ранее президент России Владимир Путин обсудил вопросы образования с учителями и студентами педагогических вузов. Российский лидер заявил о создании в стране системы дистанционного обучения. По словам президента, существует множество платформ для дистанционного обучения, однако, нужна их систематизация. Также для их использования обеспечить широкополосный интернет.

тыц...

@темы: Образование, Новости

---

Матрицы

[Olivia ._.]

Почему для любых квадратных матриц A, B, C, D одного порядка не всегда справедливо равенство
|A B|
|C D| = det (AD - BC)?

Я понимаю так:
|A B|
|C D| = AD - BC
А det (AD - BC) = AD - BC

Думаю, я что-то пропустила в изучении матриц)

---

Работа с определителями

[Olivia ._.]

Разложите данный определитель в сумму определителей
(x1+a1b1) a1b2 ... a1bn
a2b1 (x2+a2b2) ... a2bn
..............................
anb1 anb2 ... (xn+anbn)

---

Найти параметр параболы, координаты вершины, коордиаты фокуса, уровнени директрисы

[Егор Сергеевич]

всем привет, помогите пожалуйста найти параматр параболы, координаты вершини, фокуса и директису
(x-3)^2=1/2(y+4)

---

7 класс

[T24n7]

Добрый день, не подскажете что у меня неправильно? Учитель сказал что в этом номере у меня есть ошибка.

@темы: ГИА (9 класс)

---

Определитель Вандермонда

[Olivia ._.]

Используя значения определителя Вандермонда, вычислить:
(x+a1)^n (x+a1)^n-1 ... x+a1 1
(x+a2)^n (x+a2)^n-1 ... x+a2 1
..............................................
(x+a n+1)^n (x+a n+1)^n-1 ... x+a n+1 1

Конкретно не получается правильным образом преобразовать матрицу, чтоб дальше вынести общий множитель и вычислять...
Хелп

---

Про нули

[wpoms.]

Рассмотрим положительные целые числа `m` и `n` такие, что `m > n` и число `22220038^m - 22220038^n` оканчивается на 8 нулей. Докажите, что `n > 7`.

@темы: Теория чисел

---

Определитель матрицы n-го порядка.

[Olivia ._.]

Помогите вычислить определитель матрицы с условием: aij = | i - j |
У меня получилась такая матрица:
0 1 2 ... n-1
1 0 1 ... n-2
2 1 0 ... n-3
3 2 1 ... n-4
........................
n-1 n-2 n-3 ... 0

Но вычислить её не получается, либо в матрице где-то неправильно, либо у меня неправильный ход мыслей при вычислении. Подскажите, пожалуйста

---

Матрицы. Определитель.

[Olivia ._.]

Здравствуйте.
Помогите правильно понять задание: Вычислить определитель квадратной матрицы А порядка п, элементы которой заданы условиями aij = pi + qj +s, где p, q, s - вещественные постоянные.
Я не понимаю конкретно это условие - aij = pi + qj +s, что оно даёт, какое получается тогда значение элемента aij ?

@темы: Матрицы

---

просьба поделиться задачником Рукшина

[RavshanR]

Здравствуйте, уважаемые!
Разыскиваю задачник для ребенка - Рукшин С.Е. Теория чисел в задачах. – Алма-Ата: РНПЦ «Дарын», 2001. – 53 с.
Пожалуйста, напишите в личку я сообщу свой адрес e-mail

---

Иранская геометрическая олимпиада 2020

[wpoms.]

2. Дан параллелограмм $ABCD$ ($AB \neq BC$). Точки $E$ и $G$ выбраны на прямой $CD$ так, что $AC$ является биссектрисой углов $EAD$ и $BAG$. Прямая $BC$ пересекает $AE$ и $AG$ в точках $F$ и $H$, соответственно. Докажите, что прямая $FG$ проходит через середину $HE$.

3. Три равносторонних треугольника с длинами сторон $a,b,c$ имеют одну общую вершину и не имеют других общих точек. На рисунке указаны длины $x, y, z$ трех отрезков. Докажите, что \[ 3(x+y+z)>2(a+b+c). \]

4. Пусть $P$ - произвольная точка, лежащая внутри треугольника $ABC$. Прямые $BP$ и $CP$ пересекают $AC$ и $AB$ в $E$ и $F$, соответственно. Пусть $K$ и $L$ - середины отрезков $BF$ и $CE$, соответственно. Пусть прямые, проходящие через $L$ и $K$ параллельно $CF$ и $BE$, пересекают $BC$ в $S$ и $T$, соответственно. Далее, пусть $M$ и $N$ обозначают точки, симметричные точкам $S$ и $T$ относительно точек $L$ и $K$, соответственно. Докажите, что независимо от выбора положения точки $P$ внутри треугольника $ABC$, прямая $MN$ проходит через некоторую фиксированную точку.

5. Скажем, что две вершины простого многоугольника видят друг друга, если они являются смежными или соединяющий их отрезок лежит внутри многоугольника (за исключением двух точек, которые лежат на его границе). Найдите все натуральные $n$ такие, что существует простой многоугольник с $n$ вершинами, в котором каждая вершина видна ровно из 4 других вершин.

(Простой многоугольник - это многоугольник без отверстий, который не пересекает сам себя.)

igo-official.ir/events/7/

@темы: Планиметрия