Найдите максимально возможное количество трехчленных арифметических прогрессий в монотонной последовательности из $n$ различных действительных чисел. |  |
Разноплечный эквилибр (весы) имеет чаши различного веса. Он используется для взвешивания трех объектов. Первый объект уравновешивается весом $A$, если его кладут на левую чашу весов, и весом $a$, если его кладут на правую чашу. Соответствующие веса для второго объекта равны $B$ и $b$. Третий объект уравновешивается весом $C$, если его кладут на левую чашу. Каков его настоящий вес?  | |
Покажите, что для любого целого числа `k > 1` найдется целое положительное, меньшее `k^2,` число `m` такое, что `2^m-m` длится на `k`. |  |
Отразим симметрично произвольную внутреннюю точку `P` остроугольного треугольника относительно его сторон. Докажите, что существует ровно одна точка такая, что при произвольном выборе `P` она принадлежит треугольнику, образованному точками, симметричными точке `P` | |
Сумма целых чисел `a_0, a_1, \ldots, a_{10}` равна 11. Какое наибольшее количество целых решений может иметь уравнение `a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_{10}x^{10} = 1` с переменной `x`? | |
(a) Докажите, что если `n` рациональных чисел `a_i/b_i` (не обязательно различных) принадлежат интервалу (0; 1), то сумма их знаменателей по крайней мере равна `({2\sqrt{2}/3)^{n^{3/2}}.` (b) Докажите, что если мы суммируем знаменатели различных чисел, то сумма будет не меньше `2(2/3 n)^{3/2}.` Комментарий. Пусть `a_i, b_i` (`i in {1, 2, ..., n}`) --- положительные целые числа. Дроби `a_i/b_i` и `a_j/b_j` будут различны, если у них различны числители или знаменатели. Числа `a_i/b_i` и `a_j/b_j` различны, если `a_i/b_i != a_j/b_j.` | |
Дан треугольник `ABC`, из вершины `A` опущена высота с основанием `T,` | |
Пусть `H = {1, 2, \ldots, n}.` Можно ли разделить его на два подмножества `A` и `B` такие, что у них нет общих элементов, их объединение равно `H` и произведение всех элементов `A` равно сумме всех элементов `B`, если (a) `n=2016;` (b) `n = 2017?` | |
Рассмотрим квадратичную функцию с действительными коэффициентами `f(x) = ax^2 + bx + c \ \ (a * b * c != 0)` такую, что `f(a) = f(b) = f(c) = 0`. Найдите все функции, удовлетворяющие этим условиям. | |
Точки $C$ и $D$ выбраны в одной полуплоскости относительно прямой $AB$ так, что треугольники $ABC$ и $ABD$ вписаны в одну и ту же окружность. Обозначим центр вписанной окружности треугольника $ABC$ как $E,$ а центр вписанной окружности треугольника $ABD$ как $F.$ Середину дуги, не содержащей точек $C$ и $D$, $AB$ обозначим $G.$ Докажите, что точки $A, B, E, F$ лежат на окружности с центром $G$. | |
На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 2015, 2016. За один ход можно выбрать любые два числа и вместо них написать на доске их сумму или абсолютную величину их разности. После каждого хода количество чисел на доске уменьшается и в конце останется одно число. Может ли это число быть a) 2017 b) 2016? | |
Пусть $A_1,A_2,\ldots,A_{n+1}$ различные подмножества множества $\{1, 2, \ldots, n\}$ такие, что $|A_1|=|A_2|=\cdots =|A_{n+1}|=3$. Докажите, что $|A_i\cap A_j|=1$ для некоторой пары $\{i,j\}$. | |
Точка $P$ лежит между лучами $OA$ и $OB$. Найдите точку $Q$ на $OA$ и точку $R$ на $OB$, для которых $P \in QR$ и $\frac{1}{PQ} + \frac{1}{PR}$ принимает наибольшее значение. | |
