12:48 

Математические соревнования в Венгрии



Математические соревнования в Венгрии

В Венгрии ежегодно проводится большое количество соревнований по математике.

Miklos Schweitzer Competition - соревнование для студентов университетов.
Nemzetközi Kenguru Matematika Verseny - конкурс Кенгуру для школьников с 3 по 12 классы
Kalmár László Országos Matematika Verseny - конкурс для школьников с 3 по 8 классы
Zrínyi Ilona Országos Matematika Verseny - конкурс для школьников с 3 по 8 классы
Varga Tamás Matematika Verseny - конкурс для школьников 7 и 8 классов
Bátaszéki Matematika Verseny - конкурс для школьников с 3 по 8 классы
Középiskolai Matematikai Lapok - конкурс для школьников 9-12 классов, проводится в течение всего учебного года
Arany Dániel Matematika Verseny - конкурс для школьников 9 и 10 классов
Gordiusz Matematika Tesztverseny - конкурс для школьников 9-12 классов
OKTV (Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny) - конкурс для школьников 11 и 12 классов
Kürschák József Matematikai Tanulóverseny - старейшее математическое соревнование, проводится для студентов 1 курса и школьников

Несчастна та страна, которая нуждается в героях. Б. Брехт

Будапешт. Площадь Героев


В комментариях приведены условия Varga Tamás Matematika Verseny, Arany Dániel Matematika Verseny, OKTV (Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny) 2011-12 учебного года.

Комментарии
2012-07-26 в 14:30 

В Varga Tamás Matematikaverseny принимают участие школьники 7 и 8 классов, которые делятся на две категории в зависимости от объема, в котором изучается математика. Соревнование проводится в три этапа


Varga Tamás Matematikaverseny 2012 (7. osztályos)


Varga Tamás Matematikaverseny
7. osztályos feladatok I. kategória
2. forduló 2012.


1. Egy biztosítótársaság 2011-ben 2016 millió forintot fizetett ki 127 ezer káresetre. így az előző évhez képest 14%-kal nőtt a káresetek száma és 20%-kal a kifizetett összeg. Mennyit fizetett ki a társaság átlagosan egy-egy káresetre 2010-ben. és mennyit 2011-ben?
Страховая компания в 2011 году выплатила 2016 миллионов форинтов по 127 тысячам страховых случаев. За год количество страховых случаев увеличилось на 14%, а общая сумма выплат увеличилась на 20%. С точностью до форинта укажите средние выплаты на один страховой случай в 2010 и 2011 году?

2. Egy téglalap alakú játszótér egyik oldala kétszer olyan hosszú, mint a másik oldala. A játszóteret kívülről 1 méter széles járda szegélyezi. A járda 640 darab 50 cm oldalhosszúságú, egymáshoz szorosan illeszkedő négyzetlapból áll. Mekkora a játszótér területe?
Вокруг площадки прямоугольной формы расположен тротуар, ширина которого равна одному метру. Длина площадки в два раза больше ее ширины. Тротуар выложен 640 квадратными, плотно прилегающими друг к другу, плитками шириной 50 см. Чему равна площадь площадки?

3. Hány olyan egész szám van. amelyet az `n` helyére írva teljesül az `1/2 < n/2012 < 502/503` egyenlőtlenség?
Сколько натуральных чисел `n` удовлетворяют неравенству `1/2 < n/2012 < 502/503`?

4. Egy deltoid két szögének nagysága 70° és 100°. Határozd meg a deltoid másik két szögét!
Величины двух углов дельтоида равны 70° и 100°. Найдите величины двух других углов!

5. Egy 3x3-as négyzetrács kilenc négyzetét az ábrának megfelelően megszámoztuk. A kilenc négyzetből kettőt kékre, egyet pirosra színezünk. Hányféleképpen tehetjük ezt meg, ha a két kék színű négyzet nem lehet szomszédos? (Két négyzet szomszédos, ha van közös oldaluk. Két színezést különbözőnek tekintünk, ha legalább egy számozott négyzet színében különböznek.)
Сколькими способами можно разместить два одинаковых синих и один красный шарик в клетках таблицы 3x3, так, чтобы никакие два синих шарика не находились в имеющих общую сторону клетках?


mpl

2012-07-26 в 14:30 

Varga Tamás Matematikaverseny
7. osztályos feladatok II. kategória
2. forduló 2012.


1. Petiék a nyáron csak szilvalekvárt és baracklekvárt főztek, amit fél literes és 7 dl-es üvegekbe töltöttek. Az összes lekvár 40%-a szilvalekvár. A baracklekvár 30%-a került 7 dl-es üvegekbe. Az összes lekvár hány százaléka a fél literes üvegekbe töltött baracklekvár?
Вишневое и абрикосовое варенье разливалось в банка объемом 0.5 и 0.7 литра. Вишневое варенье составляет 40% от общего объема. 30% банок объемом 0.7 литра заполнено абрикосовым варением. Сколько процентов от общего количества варенья составляет абрикосовое варенье, разлитое в полулитровые банки?

2. Az `ABC` háromszög `AB` oldalának felezőpontja a `D` pont. a `BC` oldal `E` pontjára pedig teljesül, hogy `CE:EB = 3 : 2`. Hányad része a `DBE` háromszög területe az `ABC` háromszög területének?
Дан треугольник `ABC`, середина стороны `AB` - точка `D`. На стороне `BC` взята точка `E` такая, что `CE:EB = 3:2`. Чему равно отношение площади треугольника `DBE` к площади треугольника `ABC`?

3. Határozd meg az `x` értékét úgy, hogy teljesüljön az `|||x| - 2013| - 2012| = 2011` egyenlőség!
Найдите значения `x`, удовлетворяющие равенству `|||x| - 2013| - 2012| = 2011`!

4. Az `ABCD` téglalap `AC` átlójának felezőmerőlegese az `AB` oldalt az `E` pontban metszi (`AB>BC`). Az `AE` és `EB` szakaszok egyikének hossza egyenlő a `BC` szakasz hosszával. Mekkora szöget zárnak be a téglalap átlói?
Серединный перпендикуляр к диагонали `AC` прямоугольника `ABCD` пересекает сторону `AB` в точке `E` (`AB>BC`). Длина одного из отрезков `AE` или `EB` равна длине отрезка `BC`. Чему равен угол между диагоналями прямоугольника?

5. Van-e olyan prímszám, amelynek négyzeténél 2012-vel nagyobb szám is prímszám?
Найдите такие простые числа, сумма квадрата которых с 2012 является простым числом.


mpl

2012-07-26 в 14:31 

Varga Tamás Matematikaverseny
7. osztályos feladatok I. kategória
3. forduló 2012.


1. Anna, Bea és Csilla társasjátékot játszottak, amelyben egymástól is és a banktól is nyerhettek zsetonokat. A játék kezdetén hármójuknak összesen 100 zsetonja volt. A játék végére a három lánynak összesen 150 zsetonja lett. Bea és Csilla a játék végére megkétszerezte zsetonjai számát, Anna viszont veszített 10 zsetont. Hány zsetonja volt Annának a játék kezdetén?
Anna, Bea и Csilla играли в настольную игру, в которой они могли выигрывать фишки друг у друга и получать дополнительные фишки из банка (общего призового фонда). В начале игры общее количество фишек у девочек было равно 100. После игры оказалось, что общее количество фишек у девочек увеличилось на 50 фишек. Bea и Csilla удвоили количество своих фишек по сравнению с тем количеством, которое они имели в начале игры, а Anna проиграла 10 фишек. Сколько фишек было у Anna в начале игры?

2. Az `ABCD` paralelogramma négy oldalának csúcsokkal szomszédos negyedelő pontjai egy nyolcszög csúcsai. A nyolcszög területe hányad része a paralelogramma területének?
Все стороны параллелограмма `ABCD` разбиты точками на три равные части, две крайние точки на каждой стороне параллелограмма являются вершинами восьмиугольника. Чему равно отношение площадей восьмиугольника и параллелограмма?

3. Egy lapra felírtunk 300 darab, páronként különböző pozitív egész számot úgy, hogy közben egyszer sem írtuk le sem a 2-es, sem a 7-es számjegyet. Legalább hány számjegyet írtunk le?
На листе бумаги записано 300 различных натуральных чисел, в десятичной записи которых не используются цифры 2 и 7. Какое наименьшее общее количество цифр могло быть использовано при записи этих 300 чисел?

4. Egy tengelyesen szimmetrikus trapéz (húrtrapéz) három oldalának hossza úgy aránylik egymáshoz, mint 1:2:3, és a leghosszabb oldal a trapéz egyik alapja. Mekkorák a trapéz szögei?
Длины сторон равнобедренной трапеции относятся как 1:2:3, наибольшую длину имеет основание трапеции. Чему равны углы трапеции?

5. Egy körvonalra valamilyen sorrendben négy darab 1 és öt darab 0 számot írtunk. Egy lépésben a szomszédos egyenlő számok közé 0-t, a szomszédos, de különböző számok közé 1-et írunk, és az előző (eredeti) kilenc számot letöröljük. Lehetséges-e, hogy néhány lépés után kilenc darab 0 van a körvonalon?
В некотором порядке, по кругу, записывают четыре единицы и пять нулей. После этого между двумя равными соседними числами записывают нуль, а между двумя неравными соседними числами записывают единицу, после чего девять предыдущих (оригинальных) чисел стирают. Возможно ли, что после очередного хода будут получены девять нулей?


mpl

2012-07-26 в 14:32 

Varga Tamás Matematikaverseny
7. osztályos feladatok II. kategória
3. forduló 2012.


1. Öt versenyző, Ali, Béla, Csaba, Dani és Ede verseny előtt kijelentették:
Ali: Az első három között leszek.
Béla: Megnyerem a versenyt.
Csaba: Alit legyőzöm.
Dani: Nem fogom legyőzni Bélát.
Ede: Csaba vagy Dani lesz a győztes.
Mi lett közöttük a sorrend, ha egyiküknek sem lett igaza, és a versenyen nem volt holtverseny?
Перед началом соревнований участники, Ali, Béla, Csaba, Dani и Ede, высказали свои предположения:
Ali: Я займу одно из первых трех мест.
Béla: Я выиграю соревнование.
Csaba: Ali выступит хуже всех.
Dani: Я не смогу победить Béla.
Ede: Csaba или Dani выступят лучше всех.
Какие места заняли участники, если все их предположения были неверными и никто не показал одинаковый результат с другим участником?

2. Egy négyzetet az egyik csúcsából kiinduló négy egyenessel az ábrán látható módon öt egyenlő területű darabra vágtunk. Határozzuk meg az AB : AC arányt!
Квадрат на рисунке разделен отрезками на пять частей равной площади. Найдите отношение AB : AC!


3. Felírható-e a `2010^2012`
a) 201 darab egymást követő (szomszédos) egész szám összegeként?
b) 2011 darab egymást követő (szomszédos) egész szám összegeként?
Может ли число `2010^2012`
a) быть записано как сумма 201 последовательных натуральных чисел?
b) быть записано как сумма 2011 последовательных натуральных чисел?

4. Az `ABC` háromszög `B` csúcsánál lévő belső szög szögfelezője a háromszög `BC` oldalával párhuzamos középvonalának egyenesét az `E`, a `B` csúcsnál lévő külső szög szögfelezője az `F` pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy a `BEAF` négyszög téglalap!
Биссектрисы внутреннего и внешнего углов `B` треугольника `ABC` пересекают прямую, содержащую среднюю линию треугольника, параллельную `BC`, в точках `E` и `F`. Докажите, что четырехугольник `BEAF` является прямоугольником!

5. Az `(a;b;c;d)` számnégyesben minden betű helyén `a +1` vagy `a -1` áll. Képezzük ebből a számnégyesből egy lépésben az `(ab;bc;cd;da)` szorza tokból álló szám négyest! Igazoljuk, hogy ezt az eljárást folytatva a kiinduló számnégyestől függetlenül néhány lépés után az `(1; 1; 1; 1)` számnégyeshez jutunk!
Дана четверка чисел, `(a;b;c;d)`, каждое из которых равно `+1` или `-1`. Назовем шагом переход от исходной четверки к четверке, составленной из произведений `(ab;bc;cd;da)`. Докажите, что, вне зависимости от первоначального значения переменных a;b;c;d, через некоторое количество шагов будет получена четверка `(1; 1; 1; 1)`.


mpl

2012-07-26 в 14:33 

Varga Tamás Matematikaverseny 2012 (8. osztályos)


Varga Tamás Matematikaverseny
8. osztályos feladatok I. kategória
2. forduló 2012.


1. Peti nyelvtani tesztet írt. Az első 20 kérdésre 15 jó választ adott, és a további kérdések harmadára is helyesen válaszolt. így a teszt végeredménye 50%-os lett. Hány kérdés volt a tesztlapon?
Peti сдавал тест. Он ответил правильно на 15 из первых 20 вопросов теста, также верными была треть ответов на остальные вопросы. Всего он ответил правильно на 50% вопросов теста. Сколько вопросов содержал тест?

2. Egy háromszög két külső szögének különbsége 30°. ugyanezeknek a szögeknek az aránya 5 : 4. Mekkora a háromszög leghosszabb és legrövidebb oldalának aránya?
Разность двух внешних углов треугольника равна 30°, а их отношение равно 5:4. Чему равно отношение длин самой длинной и самой коротких сторон треугольника?

3. Melyek azok az egész számok, amelyeknek abszolút értéke nagyobb, mint a náluk 2-vel nagyobb szám abszolút értéke?
Найдите все целые числа такие, что их абсолютная величина больше, чем абсолютная величина чисел больших их на два.

4. Egy paralelogrammát két olyan egyenessel, melyek párhuzamosak a paralelogramma egy-egy oldalával, négy kisebb paralelogrammára osztottunk. Közülük háromnak a területe 6 cm^2, 10 cm^2 és 12 cm^2. Mekkora az eredeti paralelogramma területe?
Параллелограмм разделен двумя линиями, параллельными его сторонам, на четыре меньших параллелограмма. Площади трех из них равны `6 cm^2`, `10 cm^2` и `12 cm^2`. Чему равна площадь параллелограмма?

5. Hány olyan hatjegyű pozitív egész szám van. amely 45-tel osztható, és számjegyeinek összege is 45 ?
Чему равно количество шестизначных чисел, которые делятся на 45 и сумма цифр которых равна 45?


mpl

2012-07-26 в 14:34 

Varga Tamás Matematikaverseny
8. osztályos feladatok II. kategória
2. forduló 2012.


1. Ali és Berci hosszútávfutók. Edzésen 10 000 méteres távon próbálják ki saját taktikájukat. Ali állandó, 10 km/h sebességgel futja végig a távot. Berci viszont 4 percig fut 12 km/h sebességgel, majd 1 percig sétál 5 km/h sebességgel, majd megint fut 4 percig, utána sétál 1 percig, és így tovább. Melyikük ér hamarabb a célba, ha ugyanarról a helyről egyszerre indulnak?
Ali и Berci соревновались в беге на длинные дистанции. На очередной тренировке они должны были преодолеть 10 000 метров. Ali бежал с постоянной скоростью, 10 км/ч. Berci бежал 4 минуты со скоростью 12 км/ч, после чего шел 1 минуту со скоростью 5 км/ч, потом снова бежал 4 минуты, потом шел 1 минуту, с теми же скоростями, и т.д.. Кто финишировал раньше, если стартовали они в одно и тоже время?

2. Az `ABC` háromszögben `BC>CA` és az `AB` oldal felezőpontja `F`. Az `F` pontra illeszkedő. `AC`-vel párhuzamos egyenes a `C` csúcsnál lévő belső szögfelező egyenesét az `F_1`. a `C` csúcsnál lévő külső szögfelező egyenesét a `G_1` pontban metszi. A `CB`-vel párhuzamos, `F` pontra illeszkedő egyenes az előbbi belső szögfelező egyenest az `F_2` pontban, a külső szögfelező egyenest a `G_2` pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy az `FF_1F_2` és az `FG_1G_2` háromszögek egyenlő szárúak!
Дан треугольник `ABC`, `BC>CA`. `F` - середина `AB`. Через точку `F` проведены прямые, параллельные сторонам `AC` и `CB`. Прямая, параллельная `AC`, пересекает биссектрису внутреннего угла `C` в точке `F_1`, а биссектрису внешнего угла `C` в точке `G_1`. Прямая, параллельная `CB`, пересекает биссектрису внутреннего угла `C` в точке `F_2`, а биссектрису внешнего угла `C` в точке `G_2`. Докажите, что треугольники `FF_1F_2` и `FG_1G_2` являются равнобедренными!

3. Melyek azok a kétjegyű pozitív egész számok, amelyek oszthatóak számjegyeik szorzatával?
Найдите все двузначные числа, которые делятся на произведение своих цифр.

4. Az `ABCD` trapéz `AD` szára ugyanolyan hosszú, mint a `CD` alap. Az `AC` átló merőleges a `BC` szárra. Mekkorák a trapéz szögei, ha a trapéz egyik szöge 50°-os?
В трапеции `ABCD` длина боковой стороны `AD` равна длине основания `CD`, диагональ `AC` перпендикулярна стороне `BC`. Чему равны углы трапеции, если один из ее углов равен 50°?

5. Egy dobozban piros, fehér és zöld kockák vannak. A piros kockák éle 4 cm, a zöldeké 2 cm, a fehéreké 1 cm hosszú. A kockákból egy 8 cm élű, tömör kockát készítettünk úgy, hogy mindegyik színű kockából beépítettünk legalább egyet. Mennyit építettünk be a különböző színű kockákból, ha összesen 22 kockát használtunk fel?
В коробке лежат красные, белые и зеленые кубики. Длины ребер красных кубиков равны 4 см, зеленых - 2 см, белых - 1 см. Из этих кубиков сложили куб с длиной ребра равной 8 см, причем использовали по крайней мере один кубик каждого цвета. Сколько кубиков каждого цвета использовали, если всего использовали 22 кубика?


mpl

2012-07-26 в 14:34 

Varga Tamás Matematikaverseny
8. osztályos feladatok I. kategória
3. forduló 2012.


1. Hány olyan háromjegyű pozitív egész szám van a tízes számrendszerben, amelynek a középső számjegye a két szélső számjegy átlaga (számtani közepe)?
Чему равно количество трехзначных чисел в десятичной системе счисления, таких, что средняя цифра равна среднему арифметическому двух других?

2. Egységnyi élű kockákból egységnyi alapélű négyzetes oszlopot készítünk, melynek felszíne az egységnyi élű kocka felszínének egész számú többszöröse. Hányféle ilyen (legalább két kiskockából álló) négyzetes oszlop készíthető, ha legfeljebb 2012 darab egységnyi élű kocka áll rendelkezésünkre?
Одинаковые кубики ставят один на другой для постройки колонны, площадь поверхности которой кратна площади поверхности одного кубика. Какое наибольшее количество кубиков можно использовать для постройки колонны, если в ней должно быть по крайней мере два кубика и всего в наличии имеются 2012 кубиков?

3. Határozzuk meg az `a` és `b` pozitív egész számok lehetséges értékeit, ha `1/2 < 8/a < 2/3 < 4/b < 15/(a+b)`
Найдите все натуральные `a` и `b`, для которых выполняется неравенство `1/2 < 8/a < 2/3 < 4/b < 15/(a+b)`

4. Az `ABC` háromszög `BC` oldalára illeszkedik a `D` pont, az `AC` oldalára pedig az `E` pont, az `AD` és a `BE` szakaszok metszéspontja a `P` pont. Az `ABP` és a `BDP` háromszögek területe egyaránt 7 területegység, az `APE` háromszög területe pedig 3 területegység. Hány területegység az `EPDC` négyszög területe?
В треугольнике `ABC` на стороне `BC` взята точка `D`, на стороне `AC` взята точка `E`, `AD` и `BE` пересекаются в точке `P`. Площади треугольников `ABP` и `BDP` равны 7, площадь треугольника `APE` равна 3. Чему равна площадь четырехугольника `EPDC`?

5. Két zárt dobozban egy-egy golyó van. Az egyik dobozban levő golyó egyszínű: vagy fehér, vagy fekete. A másik dobozban levő golyó is egyszínű: vagy fehér, vagy fekete. A két doboz egyikében a golyón kívül van még egy aranyóra is. A dobozokra egy-egy felirat is került (lásd ábra).
1. doboz: Az aranyóra a másik dobozban van.
2. doboz: Az egyik dobozban fehér, a másikban fekete golyó van.
Ha egy dobozban fehér golyó van, akkor azon a dobozon igaz a felirat, ha viszont a dobozban fekete golyó van, akkor azon a dobozon hamis. Melyik dobozban van az aranyóra?
Имеются две закрытые коробки с шарами. В каждой коробке лежат шары одного из двух цветов - белые или черные. В одной из коробок, помимо шаров, лежат золотые часы. На коробки нанесены надписи, на первой написано Золотые часы в другой коробке, на другой - В одной коробке лежат белые шары, в другой - черные шары. Если в коробке лежат белые шары, то надпись на коробке верна, если же в коробке есть черный шар, то надпись на коробке ложна. В какой коробке лежат золотые часы?


mpl

2012-07-26 в 14:35 

Varga Tamás Matematikaverseny
8. osztályos feladatok II. kategória
3. forduló 2012.


1. Nevezzünk egy tízes számrendszerben felírt háromjegyű pozitív egész számot növekvőnek, ha bármely számjegye nagyobb a tőle balra álló számjegynél!
a) Hány növekvő háromjegyű pozitív egész szám van?
b) Rendezzük ezeket a számokat növekvő sorrendbe! Melyik az ötvenedik szám ebben a sorrendben?
Натуральное число назовем подходящим, если любая его цифра в десятичной системе счисления больше соседней с ней слева цифры.
a) Найдите количество трехзначных подходящих чисел.
b) Найдите пятидесятое, в порядке возрастания, подходящее число.

2. Egybevágó kis kockákból összeragasztottunk egy nagyobb, tömör kockát. Ezt úgy tartjuk a kezünkben, hogy a nagy kocka három, egy csúcsban találkozó lapját látjuk. Ekkor összesen 192 darab kis négyzetet látunk.
a) Hány kis kockából áll a nagy kocka?
b) Hány olyan kis kocka van, amelynek látjuk valamelyik lapját a nagy kocka három lapjának legalább egyikén?
Большой кубик составлен из одинаковых маленьких кубиков. Если положить большой кубик на ладонь и посмотреть на него с угла, то мы увидим 192 одинаковых маленьких квадрата.
a) Сколько маленьких кубиков содержится в большом?
b) Сколько видимых маленьких кубиков образуют три стороны большого кубика с общей вершиной?

3. Bizonyítsuk be, hogy a 2012 osztója a `2011 * 2013^2012-2010*2011^2012- 1` összegnek!
Докажите, что 2012 является делителем `2011 * 2013^2012-2010*2011^2012- 1`.

4. Legyen az `ABC` háromszögben `D` a `BC` oldal `B`-hez közelebbi harmadolópontja, `E` pedig a `C` csúcsból az `AD` szakaszra állított merőleges talppontja! A háromszögben az `ABC/_=45^@` és a `BAE/_ = 15^@`. Igazoljuk, hogy `CE = EA`!
В треугольнике `ABC` точка `D` лежит на стороне `BC`, `BD = 1//3 BC`, `E` - снование высоты, опущенной из точки `C` на `AD`, `ABC/_=45^@` и `BAE/_ = 15^@`. Докажите, что `CE = EA`.

5. A 2001-nél kisebb négyjegyű pozitív egész számok mindegyikének összeszorozzuk a számjegyeit, és az így kapott 1001 darab szorzatot összeadjuk. Mennyi ez az összeg?
Для каждого четырехзначного числа, меньшего 2001, вычисляют произведение его цифр. Чему равна сумма полученных произведений?


mpl

2012-07-26 в 14:46 

В Arany Dániel Matematika Verseny принимают участие школьники 9 (kezdők) и 10 (haladók) классов, которые делятся на три категории в зависимости от объема, в котором изучается математика. Соревнование проводится в три этапа для 1 и 2 категорий, для 3 категории соревнование проводится в два этапа.


Arany Dániel Matematika Verseny 2011/2012 (kezdők)


Bolyai János
Matematikai Társulat
Математическое общество
Яноша Бойяи

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny
2011/2012-es tanév
I. forduló
kezdők I-II. kategória


Feladatok


1. Milyen arányban osztják az `ABCDEF` szabályos hatszög `AC` és `BF` átlói egymást? (6 pont)

В каком отношении диагонали `AC` и `BF` правильного шестиугольника `ABCDEF` делят друг друга?

2. Az `N` pozitív egész szám pozitív osztóinak a szorzata `3^595`. Határozzuk meg az N szám utolsó számjegyét! (6 pont)

Произведение всех положительных делителей натурального числа `N` равно `3^595`. Найдите последнюю цифру числа `N`.

3. Mely `x` és `y` pozitív egész számokra igaz az alábbi egyenlőség?

Для каких натуральных чисел `x` и `y` выполняется следующее равенство?
`x^2 - y^2 + 2x - 6y - 25 = 0` (6 pont)

4. Egy zár, amelyen három nyomógomb van, akkor nyílik ki, ha a három különböző gombot egy meghatározott sorrendben közvetlenül egymás után nyomjuk meg. Legkevesebb hány gombnyomásra van szükség ahhoz, hogy biztosan kinyíljon a zár? (A megfelelő három gombnyomást esetlegesen megelőző gombnyomások sorozatának nincs hatása a zár szerkezetére.) (6 pont)

Имеется замок с тремя кнопками, который открывается только в том случае, если эти три кнопки нажимаются в определенном порядке друг за другом. Какое минимальное количество нажатий потребуется, чтобы гарантированно открыть замок? (Справка. У замка нет памяти. Каждая тройка нажатий обрабатывается независимо от предыдущих.)


Дилетант, mpl

2012-07-26 в 14:47 

Bolyai János
Matematikai Társulat

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny
2011/2012-es tanév
kezdők I-II. kategória II. forduló
kezdők III. kategória I. forduló


Feladatok


1. Mekkorák annak a deltoidnak a szögei, amelynek van körülírt köre, és az egyik átlója kétszer olyan hosszú, mint a másik? (6 pont)

Каковы углы дельтоида, вписанного в окружность, одна диагональ которого вдвое больше другой? (Дельтоид — четырёхугольник, обладающий двумя парами сторон одинаковой длины. В отличие от параллелограмма, равными являются не противоположные, а две пары смежных сторон. Выпуклый дельтоид имеет форму, похожую на воздушного змея.)

2. Határozza meg azt a legkisebb `n` pozitív egész számot, amelyre igaz, hogy `n` egymást követő kétjegyű szám között mindig van olyan, amelyik osztható a számjegyeinek összegével. (6 pont)

Определите наименьшее натуральное число `n`, такое, что среди любых `n` последовательных двузначных чисел, найдется число, делящееся на сумму своих цифр.

3. Az `O` középpontú, `AB = 2r` átmérőjű félkörön felvesszük egymás után a `C` és a `D` pontokat úgy, hogy az `AC` és a `CD` húrok hossza egyaránt `a` és a `DB` húr hossza `x`. Bizonyítsa be, hogy ha `a` és `r` mérőszáma racionális szám, akkor x mérőszáma is racionális szám! (8 pont)

Пусть `O` — центр полуокружности с диаметром `AB = 2r`. Добавим две точки `C` и `D`, так что хорды `AC` и `CD` имеют длину `a` а хорда `DB`, имеет длину `x`. Докажите, что если `a` и `r` измеряются рациональными числами, то и `x` измеряется рациональным числом!

4. Egy 4 x 4-es táblázat minden mezőjében kezdetben a 0 szám áll. Egy-egy lépésben a tábla valamely 2 x 2-es részletében a számok mindegyikét 1-gyel megnöveljük. Megkaphatjuk-e ilyen lépésekkel az alábbi kitöltéseket? (10 pont)

Клетки таблицы 4 х 4 изначально заполнены нулями. На каждом шаге содержимое всех клеток одной из ее подтаблиц размера 2 х 2 увеличивается на единицу. Какая из таблиц была заполнена при помощи данного алгоритма?


5. Tegyük fel, hogy `p` és `d` pozitív egész számok, amelyekre a `p`, `p + d`, `p + 2d`, ..., `p + 10d` számok mindegyike prímszám. Bizonyítsa be, hogy ekkor `d` értéke legalább 210. (10 pont)

Пусть `p` и `d` — целые положительные числа, для которых все числа `p`, `p + d`, `p + 2d`, ..., `p + 10d` являются простыми. Докажите, что в этом случае значение `d` не может быть меньше 210.



Дилетант

2012-07-26 в 14:48 

Bolyai János
Matematikai Társulat

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny
2011/2012-es tanév
3. (döntő) forduló
kezdők I. kategória


Feladatok


1. Az `ABCD` téglalap `BC` oldala 2 egység hosszúságú. Jelölje a `BC` oldal felezőpontját `G`, a `CD` oldal `C` csúcshoz közelebbi harmadoló pontját `E`. Mekkora az `AB` oldal, ha az `EAG` szög 30°?

В прямоугольнике `ABCD` длина стороны `BC` равна 2. Точка `G` — середина стороны`BC`, точка `E` лежит на стороне `CD` и `CE :ED = 1 : 2`. Чему равна длина стороны `AB`, если угол `EAG` равен 30°?

2. Egy háromszög oldalai a szokásos jelölésekkel `a`, `b` és `c`, a velük szemközti szögek rendre `alpha`, `beta` és `gamma`. Mekkorák lehetnek a háromszög szögei, ha tudjuk, hogy a `beta` kétszerese az `alpha` szögnek és az oldalak között fennáll az `a/b+b/c+c/a=a/c+b/a+c/b` összefüggés?

Стороны треугольника обозначим через `a`, `b` и `c`, а противолежащие углы, соответственно, `alpha`, `beta` и `gamma`. Найдите углы треугольника, если известно, что `beta` вдвое больше, чем `alpha`, а длины сторон связаны следующим отношением `a/b+b/c+c/a=a/c+b/a+c/b`.

3. Pisti a következő játékot játssza. Először felír a táblára egy pozitív egész számot. Ezután minden lépésben letörli a táblán levő számot, s helyette, ha páros volt, akkor a szám felét, ha páratlan volt, akkor a nála 7-tel nagyobb számot írja fel. Jelöljük `A`-val, `B`-vel, illetve `C`-vel azon pozitív egész számok halmazát, melyekből kiindulva Pisti megkaphatja az 1, 3, illetve 7 számokat (a játékot utána is folytatja, miután ezek valamelyikét megkapta).
a) Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív egész szám az `A`, `B`, `C` halmazok közül pontosan az egyiknek eleme.
b) Hány 1000000-nál kisebb eleme van `A`-nak, `B`-nek, illetve `C`-nek?

Pisti играет в следующую игру. Сначала пишет на доске целое положительное число. На каждом следующем шаге он стирает число с доски и пишет вместо него его половину, если число было четным, а если было нечетным, увеличивает его на 7. Обозначим через `A`, `B` и `C` множества целых положительных чисел, начиная с которых, Pisti может получить числа 1, 3 или 7 (и затем игра продолжается далее).
a) Докажите, что каждое положительное число является элементом одного (и только одного) из множеств `A`, `B`, `C`.
b) Сколько элементов, меньших 1000000, содержат `A`, `B` и `C`?


Дилетант

2012-07-26 в 14:49 

Bolyai János
Matematikai Társulat

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny
2011/2012-es tanév
3. (döntő) forduló
kezdők II. kategória


Feladatok


1. Egy konferencián magyar, angol, francia, német, olasz és spanyol tudósok vettek részt. Valaki észrevette, hogy mindenkinek pontosan hat ismerőse van jelen, mind a hat nemzetből pontosan egy. (Az ismeretségek kölcsönösek, és senki nem számít a saját maga ismerősének.)
a) Bizonyítsuk be, hogy a résztvevők száma osztható 12-vel!
b) Bizonyítsuk be, hogy ha `n` 12-vel osztható pozitív egész szám, akkor valóban létezhet ilyen konferencia pontosan `n` résztvevővel!

В конференции участвовали венгерские, английские, французские, немецкие, итальянские и испанские ученые. Кто-то заметил, что каждый имеет ровно шесть друзей — по одному из каждой из шести наций. (Всякая дружба взаимна; никто не считается другом самого себя).
а) Докажите, что число участников делится на 12!
б) Докажите, что если `n` — натуральное число, делящееся на 12, то существует такая конференция, в которой число участников будет ровно `n`!

2. Egy háromszög egyik csúcsából a másik két csúcshoz tartozó két belső) és két külső szögfelezőre merőlegeseket állítunk. Ezek a szögfelezőket a `D`, `E`, `F` és `G` pontokban metszik. Bizonyítsuk be, hogy ez a négy pont egy egyenesre illeszkedik!

В треугольнике `ABC` через вершины основания `A` и `C` проведены биссектрисы внутренних и внешних углов, а из вершины `B` на эти биссектрисы опущены перпендикуляры, пересекающие их в точках `D`, `E`, `F` и `G`. Докажите, что указанные четыре точки лежат на одной прямой.

3. Tudjuk, hogy `a + 1/a = p`, ahol `p` prímszám. Bizonyítsuk be, hogy ekkor
`A = a^4 + a^3 + a^2 + 1/a^4+1/ a^3+1/ a^2`

egész szám! Mennyi a `p` értéke, ha `A`-nak négy pozitív osztója van?

Известно, что `a + 1/a = p`, где `p` — простое число. Докажите, что тогда число
`A = a^4 + a^3 + a^2 + 1/a^4+1/ a^3+1/ a^2`

целое!
Каково значение `p`, если `A` имеет четыре положительных делителя?


Дилетант, VEk

2012-07-26 в 14:49 

Bolyai János
Matematikai Társulat

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny
2011/2012-es tanév
2. (döntő) forduló
kezdők III. kategória


Feladatok


1. Adott egy `k` kör és rajta kívül egy `P` pont. A `P`-ből a `k`-hoz húzott érintők érintési pontjai `Q` és `R`. `Q`-ból húzzunk a `PR`-rel párhuzamost, és metssze ez a `k` kört `A`-ban! Metssze továbbá az `AP` szakasz a `k` kört `B`-ben és `QB` az `RP`-t `C`-ben! Igaz-e, hogy `RC = CP`?

Точка `P` лежит вне круга, ограниченного окружностью `k`. Из `P` проведены две касательные, касающиеся `k`в точках `Q` и `R`. Прямая, проходящая через точку `Q`, и параллельная `PR`, пересекает `k` в точке `A`. Отрезок `AP` пересекает `k` в точке `B`. Прямая, проходящая через `QB`, пересекает `RP` в точке `C`. Верно ли равенство `RC = CP`?

2. Legyen `f` a racionális számok halmazán értelmezett, valós értékű függvény. Tudjuk, hogy tetszőleges `x`, `y` racionális számokra teljesül az `f (x + y) = f (x) + f (y) + xy` egyenlőség. Adjuk meg az összes ilyen tulajdonságú `f` függvényt!

Пусть `f` — множество рациональных чисел, интерпретируемое как множество значений вещественной функции.
Известно, что для всех рациональных чисел `x`, `y` выполняется соотношение `f (x + y) = f (x) + f (y) + xy`.
Определите функцию `f`, удовлетворяющую всем этим условиям.

3. Rögzített `k >= 2` egész szám esetén azt mondjuk, hogy az `n` pozitív egész szám `k`-felbomló, ha létezik olyan `p` prímszám és `a` nem negatív egész szám, hogy: `n = p + a^k`.
Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok olyan `n` pozitív egész szám létezik, mely egyetlen `2 <= k <= 2012` egész számra sem `k`-felbomló!

Для фиксированного `k >= 2` будем говорить, что положительное целое число `n` `k`-разложимо, если существует такое простое число `p` и целое неотрицательное число `a`, что `n = p + a^k`.
Докажите, что существует бесконечно много положительных целых чисел `n`, которые не `k`-разложимы ни для какого `2 <= k <= 2012`. (Не уверена ни в чем)


Дилетант

2012-07-26 в 14:52 

Arany Dániel Matematika Verseny 2011/2012 (haladók)


Bolyai János
Matematikai Társulat


Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny
2011/2012-es tanév
első (iskolai) forduló
haladók - I. kategória


Feladatok

1. Az ábrán látható ABC derékszögű háromszög `AC` oldala 6 cm, `BC` oldala 8 cm hosszú. Az `SP` szakasz párhuzamos `BC`-vel és fele olyan hosszú.
Mekkora az `ABS` háromszög területe? Bizonyítsuk be, hogy az `ABS` háromszög területe nem függ a P pont megválasztásától!

Катет `AC` прямоугольного треугольника `ABC` равен 6 см, катет `BC` равен 8 см. Отрезок `SP` параллелен отрезку `BC` и вдвое его короче. Какова площадь треугольника `ABS`? Докажите, что площадь треугольника `ABS` не зависит от выбора точки `P`.


2. Az `ABCD` négyzet `BC` oldalával párhuzamos `e` egyenes az `AB` oldalt az `E`, a `CD` oldalt pedig a `G` pontban metszi. Az `AEGD` és az `EBCG` négyszög kerületének aránya `lambda`. Ha `(AE)/(EB) = mu` akkor mekkora a `(2 - lambda) * (2 + mu)` szorzat értéke?

Дан квадрат `ABCD`. Прямая `e`, параллельная стороне `BC`, пересекает `AB` в точке `E`, и `CD` в точке `G`. Отношение периметров прямоугольников`AEGD` и `EBCG` равно `lambda`. Если `(AE)/(EB) = mu`, чему равно произведение `(2 - lambda) * (2 + mu)`?

3. Az `f(x) = ax^2 + bx + c` másodfokú függvénynek `(x in R)` egy zérushelye van. Az `f (x)` függvény mininumhelye `x = c`. Mekkora lehet az `ac` szorzat értéke?

Квадратичная функция `f(x) = ax^2 + bx + c` имеет единственный нуль при `(x in R)`. Минимум `f (x)` достигается с точке `x = c`. Чему равно значение произведения `ac`? Какова при этом функция `f(x)`?

4. Bizonyítsuk be, hogy `13^n + 3 * 5^{n-1} + 8` minden pozitív egész `n` esetén osztható 24-gyel!

Докажите, что выражение `13^n + 3 * 5^{n-1} + 8` делится на 24 для любого целого положительного `n`!

5. A Bergengóc királyi palota egyik folyosóját újra kell kövezni. A folyosó 20 dm széles és 99 dm hosszú. A felújítás idején kétféle járókövet lehet beszerezni: a kisebbik 4 dm x 4 dm-es és 100 garas az ára, a nagyobbik 5 dm x 5 dm-es és 130 garasba kerül. Mindkettő megvásárolható darabonként is. Legkevesebb hány garasból tudja a kincstárnok megoldani a folyosó kikövezését, ha a köveket nem szabad elvágni?

В королевском дворце нужно отремонтировать Малахитовый коридор, замостив его новым камнем. Коридор имеет 20 дм в ширину и 99 дм в длину. Для этого имеются малахитовые плиты двух видов: 4х4 дм стоимостью 100 монет и 5х5 дм стоимостью 130 монет. И те и другие можно покупать поштучно. Какую минимальную сумму должно выделить казначейство на ремонт коридора, при условии, что плиты нельзя резать?


Дилетант

2012-07-26 в 14:52 

Bolyai János
Matematikai Társulat

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny
2011/2012-es tanév
2. forduló
haladók I. kategória


Feladatok


1. Bizonyítsuk be, hogy egy adott négyzet 2012 darab kisebb méretű négyzetre bontható úgy, hogy a kisebb méretű négyzetek oldalai párhuzamosak legyenek az eredeti négyzet oldalaival.

Докажите, что квадрат можно разделить на 2012 меньших квадратов так, чтобы стороны меньших квадратов были параллельны сторонам исходного квадрата.

2. Hány olyan pozitív egész szám van, amelyre igaz, hogy számjegyeinek összege és szorzata is egyaránt 24?

Сколько имеется целых положительных чисел, у которых сумма цифр и их произведение равны 24?

3. Egy egyenlőszárú háromszög magasságpontja `M`, súlypontja `S`. Az `S` pont rajta van a háromszög beírt körén. Mekkora az `MS` szakasz és a háromszög alaphoz tartozó magasságának aránya?

В равнобедренном треугольнике `M` — точка пересечения высот, `S` его центр тяжести. `S` лежит на вписанной окружности. Найдите отношение длины отрезка `MS` к длине высоты, проведенной к основанию. (Какую часть высоты, проведенной к основанию составляет отрезок `MS`?)

4. Az `x^n + (x + 1)^n + (x + 2)^n + (x + 3)^n + (x + 4)^n + (x + 5)^n + (x + 6)^n` összeg osztható 7-tel, ahol `x` egész szám és `n` pozitív egész szám. Oldjuk meg az `n < 2012` egyenlőtlensé-get!

Сумма `x^n + (x + 1)^n + (x + 2)^n + (x + 3)^n + (x + 4)^n + (x + 5)^n + (x + 6)^n` делится на 7. `x` — целое число, `n` — целое положительное число. Найдите все `n`, удовлетворяющие неравенству `n < 2012`.



Дилетант

2012-07-26 в 14:53 

Bolyai János
Matematikai Társulat


Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny
2011/2012-es tanév
3. (döntő) forduló
haladók I. kategória


Feladatok


1. Bizonyítsa be, hogy ha az `ABCD` paralelogramma hosszabbik átlója `AC`, `C` merőleges vetülete `AB`-n `E`, `AD`-n `F`, akkor
`AB * AE + AD * AF = AC^2`.

Igaz-e az állítás az `AC < BD` esetben?

Докажите, что если `ABCD` — параллелограмм с большей диагональю `AC`, точка `E` — основание перпендикуляра, опущенного из `C` на `AB`, `F` — основание перпендикуляра, опущенного из `C` на `AD`, то выполнится:
`AB * AE + AD * AF = AC^2`.

Справедливо ли это утверждение в случае, когда `AC < BD`?

2. Eszter naponta legalább egyszer bejelentkezik a Facebook-ra; de hogy ne vigye túlzásba, egy héten 12-nél többször sosem jelentkezik be. Mutassuk meg, hogy ki lehet választani néhány olyan egymás után következő napot, amelyek során összesen pontosan 20-szor jelentkezik be.

Эстер заходит в Фейсбук как минимум раз в день, но не слишком часто. Она никогда не заходит туда больше 12 раз в неделю. Покажите, что можно выбрать ряд последовательных дней, в течение которых она заходила туда ровно 20 раз.

3. Két pozitív szám szorzata megegyezik az összegükkel. Mindkét szám olyan véges tizedestört, amely a tizedesvessző után két számjegyet tartalmaz úgy, hogy az utolsó számjegy 0-tól különböző. Melyik ez a két szám?

Произведение двух положительных чисел равно их сумме.
Оба числа — конечные десятичные дроби, имеющие два знака после точки, причем последняя цифра отлична от 0. Что это за два числа?


Дилетант

2012-07-26 в 14:53 

Bolyai János
Matematikai Társulat


Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny
2011/2012-es tanév
első (iskolai) forduló
haladók - II. kategória


Feladatok


1. A minden valós számra értelmezett `f(x)=1/2(x-2)^2` és `g(x)=mx` függvény grafikonja érinti egymást, ahol m valós paraméter. Hol lehet az érintési pont?

Даны две вещественные функции `f(x)=1/2(x-2)^2` и `g(x)=mx`, где `m` — вещественный параметр. Графики этих функций касаются друг друга. Найдите координаты точки касания.

2. A Bergengóc királyi palota egyik folyosóját újra kell kövezni. A folyosó 20 dm széles és 99 dm hosszú. A felújítás idején kétféle járókövet lehet beszerezni: a kisebbik 4 dm x 4 dm-es és 100 garas az ára, a nagyobbik 5 dm x 5 dm-es és 130 garasba kerül. Mindkettő megvásárolható darabonként is. Legkevesebb hány garasból tudja a kincstárnok megoldani a folyosó kikövezését, ha a köveket nem szabad elvágni?

В королевском дворце нужно отремонтировать Малахитовый коридор, замостив его новым камнем. Коридор имеет 20 дм в ширину и 99 дм в длину. Для этого имеются малахитовые плиты двух видов: 4х4 дм стоимостью 100 монет и 5х5 дм стоимостью 130 монет. И те и другие можно покупать поштучно. Какую минимальную сумму должно выделить казначейство на ремонт коридора, при условии, что плиты нельзя резать?

3. Egy trapéz átlói merőlegesek egymásra, az egyiknek a hossza 5 egység, a trapéz magassága 4 egység. Mekkora a területe?

Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Длина одной диагонали 5 единиц. Высота трапеции равна четырем единицам. Найдите площадь трапеции.

4. Adottak az `n = bar{abcabc}` és `m = bar{d00d}` alakú hatjegyű, illetve négyjegyű természetes számok, ahol `a`, `b`, `c` és `d` nem feltétlenül különböző) számjegyeket jelöl.
a) Mutassa ki, hogy `sqrt(n)` nem természetes szám!
b) Határozza meg azokat az `(n, m)` számpárokat, ahol `n = bar{abcabc}` és `m = bar{d00d}` alakú természetes számok, továbbá igaz, hogy `sqrt(n + m) in N`!

Пусть `n = bar{abcabc}` и `m = bar{d00d}` — шести- и четырехзначное натуральные числа, где символами `a`, `b`, `c` и `d` обозначены цифры, не обязательно одинаковые.
a) Покажите, что `sqrt(n)` не является натуральным числом!
b) Найдите пары натуральных чисел`(n, m)`, таких, что `n = bar{abcabc}` и `m = bar{d00d}`, и для которых выполняется `sqrt(n + m) in N`!

5. Bizonyítsuk be, hogy ha egy hatszög szemben fekvő oldalai párhuzamosak és a szemben fekvő csúcsokat összekötő három átló egyenlő egymással, akkor a hatszög csúcsai egy körön fekszenek, vagyis a hatszög köré kör rajzolható.

Докажите, что если в шестиугольнике противоположные стороны попарно параллельны, а три диагонали, соединяющие противоположные вершины, равны, то все его вершины лежат на одной окружности, т.е. что этот шестиугольник можно вписать в окружность.


Дилетант

2012-07-26 в 14:54 

Bolyai János
Matematikai Társulat

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny
2011/2012-es tanév
2. forduló
haladók II. kategória


Feladatok

1. Mely `x` és `y` természetes számokra igaz, hogy `sqrt(x) + sqrt(y) = sqrt(1000)`?

Найдите натуральные числа `x` и `y`, для которых выполняется `sqrt(x) + sqrt(y) = sqrt(1000)`.

2. Legyen $A = 1\underbrace{77 \dots 7}_{2k+1 \text{ db}}6$ és $B = 3\underbrace{55 \dots 5}_{k \text{ db}}2$ `2k + 3`, illetve `k + 2` jegyű természetes szám. Bizonyítsuk be, hogy `sqrt(A - B)` is természetes szám, és határozzuk meg `sqrt(A - B)` jegyeinek számát!

Пусть $A = 1\underbrace{77 \dots 7}_{2k+1 \text{ db}}6$ и $B = 3\underbrace{55 \dots 5}_{k \text{ db}}2$ `2k + 3`- и `k + 2`-значное натуральные числа. Докажите, что `sqrt(A - B)` натуральное число и найдите число знаков в `sqrt(A - B)`!

3. Az `ABC` háromszögben `AC = 2AB`. Az `AB` és `AC` oldalon vegyük fel az `M`, illetve `N` pontokat úgy, hogy az `(AB)/2 = AM = CN = (AC)/4` összefüggés teljesüljön. Jelölje `P` az `MN` és `Q` a `BC` szakaszok felezőpontját, `AD` pedig a `BAC` szög szögfelezőjét, ahol `D` illeszkedik `BC`-re. Igazoljuk, hogy `PQ : AD = 3 : 8`!

В треугольнике `ABC` `AC = 2AB`. На сторонах `AB` и `AC` взяты точки `M` и `N` так, что выполняется `(AB)/2 = AM = CN = (AC)/4`. Пусть `P` середина отрезка `MN` и `Q` середина отрезка `BC`, `AD` биссектриса угла `BAC`, и точка `D` лежит на стороне `BC`. Докажите, что `PQ : AD = 3 : 8`!

4. Egy 90 cm kerületű háromszög oldalai cm-ben mérve egész szám hosszúak. Mekkorák az oldalak, ha a háromszög egyik szöge egy másik szögének kétszerese?

Периметр треугольника равен 90 см. Длины его сторон выражаются в сантиметрах в целых числах. Найдите стороны треугольника, если один его угол вдвое больше, чем другой.


Дилетант

2012-07-26 в 14:54 

Bolyai János
Matematikai Társulat

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny
2011/2012-es tanév
3. (döntő) forduló
haladók II. kategória


Feladatok


1. Keressük meg az összes olyan kilencjegyű pozitív egész számot, melyben minden számjegy 1-től 9-ig csak egyszer szerepel, és az első, `i` darab számjegyből képzett `i` jegyű szám osztható `i`-vel `(i = 1,..., 9)`!

Найдите все натуральные девятизначные числа, в котором цифры от 1 до 9 встречаются ровно один раз, и число из первых `i` цифр делится на `i`, `(i = 1,..., 9)`!

2. Az `ABC` háromszögben `a = 2beta = 4gamma`. A belső szögfelezők az `a`, `b` és `c` oldalt rendre a `D`, `E` és `F` pontokban metszik. Bizonyítsuk be, hogy `DE = DF`!

В треугольнике `ABC` `alpha = 2beta = 4gamma`. Биссектрисы внутренних углов `a`, `b` и `c` соответственно, пересекают стороны треугольника в точках `D`, `E` и `F`. Докажите, что `DE = DF`!

3. Hány olyan pozitív egész számokból álló `(x; y)` számpár van, amely kielégíti az
a) `x^2 - y^2 = 2012^2011`,
b) `x^2 + y^2 = 2012^2011`
egyenletet?

Сколько существует таких пар целых чисел `(x; y)`, которые удовлетворяют уравнениям:
a) `x^2 - y^2 = 2012^2011`,
b) `x^2 + y^2 = 2012^2011`
?


Дилетант

2012-07-26 в 14:55 

Bolyai János
Matematikai Társulat

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny
2011/2012-es tanév
1. forduló
haladók III. kategória


Feladatok


1. Bizonyítsuk be, hogy ha `n` természetes szám, akkor `S = (2sqrt(n+1))/(sqrt(n-1)-sqrt(n))` egész része nem lehet négyzetszám!

Докажите, что если `n` — натуральное число, то целая часть `S = (2sqrt(n+1))/(sqrt(n-1)-sqrt(n))` не может быть полным квадратом!

2. Kiszámoltuk, hogy hány olyan `n`-jegyű (`n > 1`) szám van, ahol bármely két szomszédos jegy összege osztható 3-mal. A kapott eredmény végződhet-e 2012-re?

Посчитайте количество `n`-значных чисел (`n > 1`), таких что сумма их двух любых соседних цифр делится на 3. Может ли результат оканчиваться на 2012?

3. Az `ABC` egyenlőszárú háromszög `k` köréírt körét belülről, a háromszög `AC` és `BC` szárait pedig rendre a `P` és `Q` pontokban érinti a `k_1` kör. Bizonyítsuk be, hogy `PQ` felezőpontja az `ABC` háromszög beírt körének középpontja!

Окружность `k_1` касается внутренним образом боковых сторон `AC` и `BC` равнобедренного треугольника `ABC` в точках `P` и `Q` и описанной около него окружности `k`.
Докажите, что середина отрезка `PQ` является центром вписанной окружности.

4. Az `x`, `y`, `z`, `u` valós számokra teljesül, hogy
`4xsqrt(4-x^2)-3ysqrt(3-y^2) + 2zsqrt(2-z^2)- usqrt(1- u^2) = 15`.

Mekkora az `xy^2z^2u` szorzat értéke?

`x`, `y`, `z`, `u` — действительные числа, такие, что
`4xsqrt(4-x^2)-3ysqrt(3-y^2) + 2zsqrt(2-z^2)- usqrt(1- u^2) = 15`.

Найдите значение произведения `xy^2z^2u`.

5. Felveszünk 30 különböző pontot a síkon úgy, hogy ne legyen három egy egyenesen. Minden pontot minden ponttal összekötünk, és az éleket pirossal vagy kékkel színezzük. Minden pontból pontosan 12 kék színű él indul ki, a többi pedig piros. Vizsgáljuk az így kialakult háromszögeket! Ha egy háromszög minden oldala ugyanolyan színű, akkor a belsejét is kiszínezzük.
Összesen hány háromszöget színezünk be?

На плоскости поставлены 30 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Каждая пара точек соединена ребром одного из двух цветов: красного или синего. Из каждой точки выходит ровно 12 синих ребер, остальные — красные. Исследуйте полученные треугольники. Треугольники, у которых все три стороны одного цвета, закрашиваются внутри. Сколько получилось закрашенных треугольников?


Дилетант

2012-07-26 в 14:56 

Bolyai János
Matematikai Társulat

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny
2011/2012-es tanév
2. (döntő) forduló
haladók III. kategória


Feladatok


1. Igazoljuk az alábbi egyenlőtlenséget!
Докажите неравенство:
`root 8048 (1! * 2! * ... * 4023! * (1! * 2! *... * 2012!)^4) < 2012!`


2. Van 2012 darab (nem feltétlenül különböző) pozitív számunk: `a_1`, `a_2`, ..., `a_2012`, melyek összege `2S`. A `k` természetes számot felezőnek nevezzük, ha az `a_i` számok közül kiválasztható `k`, amelyek összege éppen `S`. Legfeljebb hány különböző `k` természetes szám lehet felező?
Дан набор состоящий из 2012 (не обязательно различных) положительных чисел : `a_1`, `a_2`, ..., `a_2012`, сумма которых равна `2S`. Натуральное число `k` назовем биссектрисой, если можно выбрать `k` чисел `a_i`, сумма которых равна `S`. Сколько различных биссектрис может иметь такой набор чисел?

3. Egy `ABCD` trapéz `CD` alapján adott egy `P` belső pont (lásd 1. ábra!). Hogyan válasszuk meg a másik `AB` alap `Q` belső pontját, ha azt szeretnénk, hogy a `PRQS` négyszög területe a lehető) legnagyobb legyen?
(`R` az `AP` és a `DQ` szakaszok metszéspontja, míg `S` a `BP` és a `CQ` szakaszok metszéspontja).
В трапеции `ABCD` на стороне `CD` взята точка `P` (см. рисунок). Как выбрать на стороне `AB` точку `Q` так, чтобы площадь четырехугольника `PRQS` была максимальна?
(`R` - точка пересечения `AP` и `DQ`, `S` - точка пересечения `BP` и `CQ`).



mpl

2012-07-26 в 15:06 

В Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny принимают участие школьники 11 и 12 классов, которые делятся на три категории в зависимости от объема, в котором изучается математика. 1 категория - учащиеся СПО, 2 категория - школьники обычных школ, 3 категория - учащиеся школ с повышенным уровнем преподавания математики. Соревнование проводится в три этапа для 1 и 2 категорий, для умников (3 категория) соревнование проводится в два этапа. По результатам соревнований отбираются кандидаты для участия в международных соревнованиях.


Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/12

Oktatási Hivatal

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012
Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA)

1. (iskolai) forduló


1. Oldja meg a valós számok halmazán az
`(x - 3)^4 + (x - 5)^4 = 82`
egyenletet!

2. Egy számsorozatot a következő módon képezünk: legyen
`a_1 = 1` és `a_2 = 2`,

a sorozat további tagjai pedig tegyenek eleget az
`a_n = a_{n-1} * a_{n+1} - 1` (`n >= 2`)

összefüggésnek.
Mennyi a sorozat első 2011 tagjának az összege?

3. Legyenek `m` és `n` pozitív egész számok. Igazolja, hogy
`m/n < (m^2 + m * n + 2n^2)/(m^2 + m * n + n^2)`

akkor és csak akkor igaz, ha `m/n < root 3 (2)`!

4. Egy `R` sugarú körbe olyan trapézt írunk, amelynek oldalai `R`; `R`; `R`; `2R` hosszúságú húrok.
Az `R` hosszúságú alaphoz tartozó rövidebb ív `F` felezőpontjából párhuzamosokat húzunk a trapéz száraival, ezek a kört másodszor a `G` illetve a `H` pontokban metszik.
Bizonyítsa be, hogy a trapéz területe egyenlő az `FGH` háromszög területével!

5. Legyenek az `a`, `b`, `c`, `d` számok egymástól és 0-tól különböző számjegyek. Adja meg a lehető legkevesebb számú osztóval rendelkező, tízes számrendszerbeli, `N = bar{abcd} + bar{dabc} + bar{cdab} + bar{bcda}` alakú számok közül a legnagyobbat!

6. Tegyünk egy hagyományos óra minden számjegyére egy-egy korongot, tehát az 1-re egy darabot, a 2-re is egy darabot, és így tovább, végül a 12-re is egy darabot. Ezután egy lépés a következőt jelenti: megfogunk két tetszőleges korongot, és az egyiket az óramutató járásával ellentétes irányban, a másikat pedig az óramutató járásával azonos irányban a szomszédjára áttesszük. Elérhetjük-e véges sok ilyen lépéssel, hogy mind a 12 korong ugyanazon a számjegyen legyen?

Minden feladat helyes megoldásáért 10 pont adható.

1. Решить уравнение `(x-3)^4+(x-5)^4=82` в вещественных числах.
2. Последовательность целых чисел задается следующим образом: `a_1=1`, `a_2=2`, `a_n=a_(n-1)*a_(n+1)-1`, `n >= 2`.
Чему равна сумма 2011 членов последовательности?
3. Пусть `m` и `n` – целые положительные числа. Покажите, что неравенство `m/n < (m^2+mn+2n^2)/(m^2+mn+n^2)` выполняется тогда и только тогда, когда `m/n < root(3)(2)`.
4. Пусть `R` – радиус окружности, описанной около трапеции со сторонами `R`, `R`, `R` и `2R`. Через середину `F` дуги, стягиваемой верхним основание трапеции, проведены прямые, параллельные боковым сторонам трапеции, вторично пересекающие описанную окружность в точках `G` и `H`. Докажите, что площадь трапеции равна площади треугольника `FGH`.
5. Пусть `a, b, c, d` – различные десятичные цифры, отличные от нуля. Найдите наибольшее число вида `N=bar(abcd) + bar(dabc) + bar(cdab) + bar(bcda)`, записанное в десятичной системе счисления, которое имеет минимальное количество делителей.
6. На циферблате обычных часов (перевод не закончен).

Все задачи по 10 баллов.


VEk

2012-07-26 в 15:07 

Oktatási Hivatal

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny
2011-2012. tanévi első fordulójának feladatai
matematikából, a II. kategória számara


1. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:
`(2x^2 - x - 3)^4 + (2x^2 - x - 3)^2(2x^2 + x - 6)^2 + (2x^2 + x - 6)^4 = 0`


2. Az `ABC` haromszög belső `D` pontján áthaladó `AD`, `BD` és `CD` egyenesek a szemközti oldalakat rendre az `E`, `F`, `G` pontokban metszik. A következő területek mérőszámait ismerjük: `T_{ADG} = 40`, `T_{BDG} = 30`, `T_{BDE} = 35`, `T_{CDF} = 84`.
Mekkora az `ABC` háromszög területe?

3. Egy szabályos dobókockát egymás utón háromszor feldobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy a három dobott szám szorzata 10-zel osztható?

4. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:
`sqrt(x^2 + 8x)/sqrt(x+1) + sqrt(x+7) = 7/sqrt(x+1)`


5. Adott a síkon három pont `A`, `B` és `C`, melyek nincsenek egy egyenesen. Felveszünk a pontok síkjában egy e egyenest. Ha a `P` pont az `e` egyenesen van, vizsgáljuk az
`L = PA^2 - PB^2 + lambdaPC^2`

kifejezés értékét, ahol `lambda != 0`. Úgy szeretnénk `lambda` értékét megválasztani, hogy `L` éppen akkor legyen minimalis, amikor `P` az `ABC` háromszög súlypontjának az `e` egyenesre eső merőleges vetülete.
Az `e` egyenes tetszőleges helyzet eben megválasztható-e a kívánt módon `lambda` értéke?

Valamennyi feladat 7 pontot ér.

1. Решите уравнение в действительных числах: `(2x^2-x-3)^4+(2x^2-x-3)^2*(2x^2+x-6)^2+ (2x^2+x-6)^4=0`.
2. В треугольнике `ABC` через внутреннюю точку `D` проведены биссектрисы внутренних углов, пересекающие стороны треугольника в точках `E`, `F`, `G` соответственно. Известны площади треугольников `T_(ADG) = 40`, `T_(BDG) = 30`, `T_(BDE) = 35`, `T_(CDF) = 84`. Найдите площадь треугольника `ABC`.
3. Обычный игральный кубик бросили три раза подряд. Какова вероятность того, что произведение выпавших чисел делится на 10?
4. Решите уравнение в действительных числах: `sqrt(x^2+8x)/sqrt(x+1)+sqrt(x+7)=7/sqrt(x+1)`.
5. На плоскости заданы три точки A, B и C, не лежащие на одной прямой. (перевод не закончен)

Все задачи по 7 баллов.


VEk

2012-07-26 в 15:07 

Oktatási Hivatal

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011-12-es tanév
MATEMATIKA, III. kategória
Az első (iskolai) forduló feladatai
a gimnáziumok speciális matematikai osztályainak tanulói részére


1. Adott három, nem egy egyenesbe eső pont, `A`, `B` és `C`. Hol helyezkednek el a térben azok a `P` pontok, amelyekre `AB^2+PC^2 = BC^2+PA^2 = = CA^2 + PB^2` ?

2. Lássuk be, hogy ha p prímszám, akkor `np` osztója `((np),(p))` — `n`-nek.

3. Mely k és n pozitív egészekre teljesül: `|2^k - 3^n| = 17` ?

4. Az iskolában a kisdiák Sziszüphosz szorgalmát piros, kék és zöld pontokkal jutalmazzák. Három összegyűjtött piros pont beváltható egy kék pontra, három kék pont egy zöld pontra cserélhető be, és végül három zöld pontért ismét egy piros pont jár. Sziszüphosznak az év végén mindhárom színből 2011-2011 pontja van. Ezeket addig cserélgeti, amíg mindegyikből legfeljebb két pontja marad. Hány piros, kék és zöld pontja lehet Sziszüphosznak a cserék elvégzése után?

5. Adott egy 2011 csúcsú konvex sokszög úgy, hogy semelyik négy csúcs sem esik egy körre. A csúcsokból kiválasztható ponthármasokra megrajzoljuk a rájuk illeszkedő kört. Egy ilyen kör sovány, ha a sokszögnek van olyan csúcsa, amely kívül van a körön, ellenkező esetben a kör kövér. Sovány vagy kövér körből van több?

Valamennyi feladat 7 pontot ér.

2012-07-26 в 15:08 

Oktatási Hivatal

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012
Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA)

2. forduló


1. Az `x` valós számra teljesül a
`2* sin 2x = 2* sin^3 x + cos2x* sin|x|`
egyenlőség. Milyen értékeket vehet föl `cos x`?

2. A `3p * x + 12q * y +121 = 0` egyenletű egyenes érinti a `4y^2 = x` egyenletű parabolát, ahol `p` és `q` pozitív prímszámok.
Határozza meg az egyenes és a parabola érintési pontjának koordinátáit!

3. Adott az `e` egyenes, és adottak az `e` egyenesen az `A`; `B`; `C` pontok ebben a sorrendben. Legyen a `B` ponton áthaladó, a `BA` és `BC` félegyenesektől különböző félegyenes tetszőleges pontja `P`. Az `ABP` és `BCP` háromszögek köré írható körök középpontját jelölje rendre `E` és `D`.
Határozza meg a `DE` távolságot, ha adott az `AC = d` szakasz és a derékszögnél kisebb `PBC/_ = alpha` szög!

4. Oldja meg a valós számok halmazán a
`(sqrt( 3 + sqrt(8)))^x + (sqrt(3 - sqrt(8)))^x = 34`

egyenletet!

5. Az `ABCD` négyszög húrnégyszög. Az `ABC` háromszög magasságpontja legyen `M_1`, az `ABD` háromszögé pedig `M_2`. Bizonyítsa be, hogy
`M_1M_2 || CD` !


Minden feladat helyes megoldásáért 10 pont adható.

1. Вещественное число `x` удовлетворяет равенству `2sin(2x)=2*sin^3 x+cos(2x)*sin|x|`. Какие значения может принимать `cos x`?
2. Прямая `3px+12qy+121=0` касается параболы `4y^2=x`, здесь `p` и `q` –положительные простые числа. Найдите уравнение касательной и координаты точки касания.
3. Дана прямая `l` и на этой прямой расположены точки A, B и C в указанном порядке. Построим луч `[BP)` такой, что `/_PBC=alpha` (`alpha < 90^@`). Вокруг треугольников `ABP` и `BCP` описаны окружности с центрами D и E соответственно. Определите расстояние `DE`, если известно, что `AC=d`.
4. Решите уравнение `(sqrt(3+sqrt (8)))^x+(sqrt(3-sqrt(8)))^x=34` в действительных числах.
5. Пусть `ABCD` – вписанный четырехугольник. Обозначим `M_1` и `M_2` – ортоцентры треугольников `ABC` и `ABD` соответственно. Докажите, что `M_1 M_2 ||CD`.

Все задачи по 10 баллов.


VEk

2012-07-26 в 15:09 

Oktatási Hivatal

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny
2011-2012. tanévi második fordulójának feladatai
matematikából, a II. kategória számára


1. A pozitív egész `n` szám osztóit nagyság szerint növekedve felírtuk, az első volt az 1. A sorrendben a hatodik lett a 35. Keressük meg azt a legkisebb n értéket, amire ezek teljesülnek.

2. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletrendszert:
`cos^2(x - y) - sin^2(x + y) = 1`
`xy = 2pi^2`.


3. Az ABC háromszögben `BAC/_ = 94^@`, `ACB/_ = 39^@`. Igazoljuk, hogy a háromszög oldalaira fennáll:
`BC^2 = AC^2 + AC * AB`.


4. Oldjuk meg a valós számok körében:
`xsqrt(y - 1) + ysqrt(x - 1) = xy`.


A feladat 7 pontot ér.

1. Делители числа N выписали в порядке возрастания, первый делитель равен 1, шестым было выписано число 35. Найдите наименьшее возможное значение числа N.
2. Найдите множество вещественных чисел, удовлетворяющих системе уравнений `{(cos^2(x-y)-sin^2(x+y)=1),(xy=2pi^2):}`.
3. В треугольнике ABC известно: `/_BAC=94^@`, `/_ACB=39^@`. Покажите, что выполняется равенство `BC^2= AC^2+AC*AB`.
4. Найдите вещественные решения уравнения `x*sqrt(y-1)+y*sqrt(x-1)=xy`.

Все задачи по 7 баллов.


VEk

2012-07-26 в 15:09 

Oktatási Hivatal

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny
2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA)

Döntő


1. Határozza meg az összes olyan x egész számot, amely eleget tesz az
`log_{(x^2-3x+2)/(x+7)} (x+4) < 1`
egyenlőtlenségnek!

2. Egy `R` sugarú gömbbe beírtunk egy olyan négyzetes gúlát, amelynek minden éle egyenlő. A gúlába pedig egy, a lapjait érintő kisebb gömböt írtunk. Mennyi a két gömbfelszín arányának pontos értéke?

3. Legyenek `a` és `b` olyan racionális számok, melyekre teljesül, hogy
`a^3b + ab^3 + 2a^ 2b^2 + 2a + 2b +1 = 0`.

Bizonyítsa be, hogy ekkor a `sqrt(1 - ab)` kifejezés is racionális szám!


Minden feladat helyes megoldásáért 10 pont adható.

1, Найдите целые решения неравенства `log_((x^2-3x+2)/(x+7)) (x+4) < 1`.
2. В сферу радиуса R вписана правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны. В эту пирамиду вписали меньшую сферу. Найдите отношение площадей поверхности сфер.
3. Пусть `a` и `b` такие рациональные числа, для которых выполняется `a^3 b+ab^3+2a^2 b^2+2a+2b+1=0`. Докажите, что выражение `sqrt(1-ab)` также является рациональным числом.

Все задачи по 10 баллов


VEk

2012-07-26 в 15:10 

Oktatási Hivatal

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny
2011-2012. tanévi harmadik, döntő fordulójának feladatai
matematikából, a II. kategória számára


1. Az `ABCD` szimmetrikus trapéz `AB` és `CD` oldalai párhuzamosak, `AB < CD`. Az `AD` és `BC` egyenesek metszéspontja legyen `P`. A trapéz köré írt kör `A` és `C` pontjához húzott érintőinek metszéspontja legyen `Q`. Igazoljuk, hogy a `PQ` egyenes párhuzamos az `AB` egyenessel.

2. Legyen `A = {1, 2, 3, 4, 5}`, `B = {1, 2, 3}`. Az `f (x)` függvény értelmezési tartománya A és minden A-beli `x` esetén `f (x) in A`. Hány olyan `f (x)` függvény van, amelyre
`{f (f (x))|x in A} = B`?


3. Legyen `h(1) = 1` és `n = 2, 3,...` esetén `h(n) = sum_{i=1}^n 1/i`. Mutassuk meg, hogy
`L= 1/(h^2(1)) + 1/(2 * h^2(2)) + 1/(3 * h^2(3)) + dots + 1/(2012 * h^2(2012)) < 2`.


A feladat 7 pontot ér.

1. Дана равнобедренная трапеция с основаниями AB и CD, причем `AB < CD`. Прямые AD и BC пересекаются в точке P. К окружности, описанной вокруг трапеции в точках A и C проведены касательные, пересекающиеся в точке Q. Докажите, что `PQ||AB`.
2. Пусть `A={1,2,3,4,5}`, `B={1,2,3}` – два множества. Обозначим `f(x)` отображение, определенное на A такое, что для любого `x in A` соответствующее значение `f(x) in A`. Как много таких отображений `f(x)`, для которых `{f(f(x))|x in A}=B`?
3. Пусть `h(1)=1` и для `n = 2, 3,...` определим `h(n)=sum_(i=1)^n 1/i`. Покажите, что
`L=1/(h^2 (1))+1/(2*h^2 (2))+1/(3*h^2 (3))+...+1/(2012*h^2 (2012) ) < 2`.

Все задачи по 7 баллов.


VEk

2012-07-26 в 15:10 

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny, 2011-2012-es tanév
MATEMATIKA, III. kategória
A döntő feladatai
a gimnáziumok speciális matematikai osztályainak tanulói részére


1. Legyen `n >= 3`. Az `n` tagot számláló Hazugok Klubjában mindenkit megkérdezünk, hány olyan tagja van a klubnak (saját magán kívül), aki vele azonos évben született. A klubtagok mind hamis adatokat akarnak közölni úgy, hogy valamilyen sorrendben a 0,1,... ,n - 1 válaszokat adják meg. A tényleges születési évszámokról mi csak annyit tudunk, hogy nem mind különbözők, de nem is mind azonosak. Milyen `n` értékekre lehetünk biztosak abban, hogy a klubtagok el tudják érni a céljukat?

2. Legyen `B` az `AC` szakasz belső pontja. Rajzoljuk meg a `k_1` és a `k_2` félkört az `AB`, illetve az `AC` szakaszra mint átmérőre ugyanabban a félsíkban. A `BC` szakaszra mint alapra állítsunk olyan `BCD` egyenlő szárú háromszöget, amelynek a `D` csúcsa `k_2`-re illeszkedik. Legyen `K` annak a körnek a középpontja, amely érinti `k_1`-et, `k_2`-t és a `BD` szakaszt. Igazoljuk, hogy `KB` merőleges `AC`-re.

3. Legyen `2 = p_1 < p_2 < dots` a pozitív prímszámok sorozata és
`f(k,n) = sum_{j=1}^{oo} lfloor nsqrt(p_k//p_j) rfloor`.

Bizonyítsuk be, hogy bármely `M > 0` egészhez pontosan egy olyan `(k,n)` pozitív egész számpár létezik, amelyre `f (k,n) = M`.
(A képletben `lfloor x rfloor` az `x` szám alsó egészrészét, `sum` pedig a megadott indexekre történő összegzést jelenti, tehát pl. `f (2,1) = lfloor 1 * sqrt(3//2) rfloor + + lfloor 1 * sqrt(3//3) rfloor = 2` (az összeg többi tagja 0).)

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная