В ряд стоят $n$ ламп, $n \geq 3,$ пронумерованные числами от 1 до $n.$ В начале все лампы, стоящие на нечетных местах, включены, а остальные выключены. За одну операцию можно одновременно изменить состояние трех стоящих рядом ламп (включенные выключить, выключенные включить). (a) Докажите, что порядок выполнения операций, необходимых для достижения конечного состояния, не важен. (b) Для каких $n$ можно добиться того, чтобы лампы на нечетных местах были выключены, а на четных --- включены? |  |
Дан четырехугольник $ABCD$ такой, что $\angle BAC = \angle ACB = 20^\circ,$ $\angle DCA = 30^\circ$ и $\angle CAD = 40^\circ.$ Найдите величину $\angle CBD.$ | |
Найдите все многочлены $p$ нечетной степени с действительными коэффициентами такие, что $p(p(x)) \leq (p(x))^3$ для всех $x \in RR$ и у которых коэффициент при $x^2$ равен 0. | |
Любителям: 20 геометрических задачек от Катрионы Ширер.URL комментария
Ссылку подсказал avva.
Для какого количества положительных целых чисел $n,$ $n \leq 2015,$ дробь $\dfrac{3n - 1}{2n^2 + 1}$ несократима? | |
