Гильбертово пространство и операторы

[MisteryS]

Помогите, пожалуйста, доказать утверждение: в сепарабельном гильбертовом пространстве H симметричный оператор A может иметь не более чем счётное множество собственных значений.



Мои размышления:
Пространство называется сепарабельным, если оно содержит счётное всюду плотное множество.
Так как Гильбертово пространство сепарабельно, то существует ортонормированный базис. И этот базис - счётная всюду плотная система векторов.
И вот с этого момента я не совсем понимаю, как быть.
Так как этот базис - счетная всюду плотная система векторов, можно ли сразу сказать, что этому базису принадлежат все собственные вектора оператора А? Тогда получается, что их тоже не более чем счетное количество. И отсюда: множество собственных значений тоже не более чем счетно....


Но я не использовала информацию, что оператор А - симметричен. Значит, скорее всего, мои рассуждения неправильные...

@темы: Функциональный анализ

Comments

[Epygraph]

Используйте ортогональность собственных векторов с различными собственными значениями у самосопряженного оператора. Допуская несчетность множества собственных значений, можно построить несчетное множество векторов с попарным расстоянием 1 и выбрать точку плотного счетного множества в малой окрестности каждого такого вектора. Подберите радиус такой окрестности, гарантирующий, что в ней только одна из выбранных точек.

[MisteryS]

Epygraph, Тогда правильны ли сейчас мои рассуждения?
Поскольку собственные элементы симметричного оператора А, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны, то рассмотрим более чем счётную ортогональную систему этих элементов в H. Эту систему можно ортонормировать, разделив координаты каждого вектора на длину этого вектора. Длина каждого такого вектора равна 1. Тогда попарное расстояние между точками, являющимися концами таких векторов, равно корню из двух. Так как пространство Н сепарабельное, то в нём есть счётное всюду плотное множество. Построим отображение, ставящее в соответствие каждому вектору этой счётной системы точку плотного множества, и эта точка лежит в окрестности вектора, а радиус такого шара (окрестности) не превосходит корня из двух. Это отображение инъективно. И получаем, что мощность множества ортонормированных элементов меньше мощности всюду плотного множества. А такого быть не может. Значит ортонормированная система всё-таки счётная.

[Epygraph]

Точнее, выберем для каждого собственного значения некоторый собственный вектор единичной длины. Далее всё почти как у Вас со слов "Тогда попарное расстояние ". Только точками в данном случае являются сами собственные векторы, у которых нет начала и конца (свободные векторы).

[MisteryS]

Epygraph, аа.....вот оно как) Спасибо большое!)