22:28 

Надо вычислить предел, НЕ используя Лопиталя:
lim (1+3x)^(2/x), x->infinite.

Дохожу вот до этого момента (как на фото) и дальше не знаю, что делать. С Лопиталем было бы всё отлично. А вот другой метод здесь придумать не могу. Подскажите, пожалуйста.

@темы: Математический анализ

Комментарии
2019-06-15 в 02:34 

Unfreetoker
Данная дробь стремится к 0, т.к. это логарифм, поделённый на первую степень. Если это кажется недостаточным обоснованием, можно сделать замену 1 + 3x = e^t, и t устремим к +inf. Дробь превратится в ln(e^t) / ((e^t - 1) / 3) = t / (e^t/3 - 1/3). У получившейся дроби разделим числитель и знаменатель на t, и в итоге в числителе будет 1, а в знаменателе бесконечно малая 1/3/t и дробь e^t/t, которая стремится к бесконечности. Чтобы обосновать последнее, можно поступить так: заменить e^t на (1+(e-1))^[t], от этого числитель дроби только уменьшится, а дальше ещё уменьшить его, расписав как 1 + (e-1)[t] + (e-1)^2 * [t]([t] - 1)/2 (биномиальное разложение, из которого отбрасываем все члены кроме первых трёх). Получившееся это многочлен 2 степени от [t] со всеми положительными коэффициентами, поделённый на t он по прежнему стремится к бесконечности, а значит, и исходная e^t/t стремится к бесконечности.

Надеюсь, не очень путанно, если что-то нужно, спрашивайте ещё)

2019-06-15 в 09:29 

Можно заменить логарифм на большую функцию: `\ln x<2\sqrt{x}`. Для проверки неравенства достаточно заметить, что функция `f(x)=\ln x-2\sqrt{x}` убывает при `x>1`, т.к. `f'(x)=1/x-1/\sqrt{x}<0, f(1)=-2<0`.

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная