Турнир

[wpoms.]

Четыре команды провели турнир, в котором каждая команда сыграла с каждой по одному разу. Победа приносила 3 очка, ничья - 1 очко, за поражение очки не начислялись. В этом турнире, a) если победитель набрал 9 очков, занявший второе место - 6 очков и занявший третье - 3 очка, то сколько очков набрала четвертая команда? b) если победитель набрал 5 очков, две другие команды по 3 очка, а последняя - два очка, то сколько игр закончилось вничью?

@темы: Комбинаторика

---

Математический анализ

[helu]

Доказать,что последовательность расходится xn=tgn По критерию Коши |xn-xm|=|tgn-tgm|<e
Как избавиться от тангенсов и перейти к m и n?

@темы: Математический анализ

---

Об экзамене по математике в высшую нормальную школу в Пизе

[wpoms.]

За два века своего существования Высшая Нормальная Школа в Пизе (Scuola Normale Superiore, SNS, аналог Высшей нормальной школы - Ecole normale superieure, ENS — в Париже) заслужила репутацию одного из наиболее престижных и квотируемых высших учебных заведений и научно-исследовательских центров не только Италии, но и всего мира. Здесь лучшие из наиболее талантливых и подготовленных студентов получают прочные основы для дальнейшей научной деятельности в гуманитарной (филология, философия, история искусств, палеография, лингвистика, археология) или естественно-научной (математика, физика, химия, биология) областях.

При поступлении в Scuola Normale Superiore производится исключительно тщательный и по возможности максимально объективный отбор: уровень подготовки будущих учеников должен соответствовать запросам учебного процесса — поступившие должны обладать знаниями, позволяющими им поддержать статус «нормалистов» в течение всего cursus studiorum (времени обучения). Поэтому ежегодное общее количество мест (гуманитарии + естественники) в Scuola Normale Superiore очень невелико - всего около шестидесяти! Это не только гарантирует высокий уровень обучающихся, но и позволяет повысить само качество обучения за счет «семинарной» схемы проведения лекций и обеспечить постоянное пересечение и взаимопроникновение учебного и научно-исследовательского процессов.

Комиссия, состоящая из преподавателей Школы и других учебных заведений, оценивает абитуриентов, стараясь выявить способности к обучению и исследованиям. Интересно отметить, что при зачислении в Школу для достижения наибольшей объективности не учитываются никакие предыдущие титулы и «бонусы» конкурсантов - так, например, оценки за выпускные экзамены никак не влияют на результаты отбора.

Экзамены, письменные и устные, производятся в августе и сентябре, их содержание зависит от выбранной области - гуманитарной или естественно-научной. Здесь мы приводим задачи письменного экзамена по математике (область естественных наук) за 2016 г. и их решение. Продолжительность этого экзамена составляет 6 часов.

Задание 1. Пусть N = {1, 2, ...} множество натуральных чисел, и для `n in N` функция `g (n)` есть целая часть числа `sqrt(n).` Пусть `f: N -> N` инъективное отображение и `f(2016) = 1916.` Доказать, что существует такое `n,` что `g(f(n)) > g(n).`

Задание 2. а) Созданная в результате инноваций единица памяти представляет собой заполненный битами прямоугольник размером `a xx l` (`a` и `l` соответственно его высота и длина), при этом `a >= 2,` `l >= 2.` Этот прямоугольник разделён на квадратные ячейки со стороной 1; в каждой ячейке можно запомнить один бит со значением либо 0, либо 1. Есть ограничение — сумма значений в каждой строчке и в каждом столбце прямоугольника памяти должна быть нечётной. Сколькими различными способами можно заполнить битами этот прямоугольник памяти?

б) После нескольких лет исследований компания разработала новую единицу памяти, которая представляет собой прямоугольный параллелепипед размером `a xx l xx p,` где `a,` `l,` `p` - его высота, длина и ширина соответственно, при этом `a >= 2,` `l >= 2,` `p >= 2.` Параллелепипед разбит на кубики со стороной 1, и в каждом кубике можно запомнить один бит. На этот раз ограничения касаются суммы значений битов в рядах кубиков, расположенных вдоль осей параллелепипеда. В каждом таком ряду эта сумма, как и предыдущем случае, должна быть нечётной. Сколькими различными способами с соблюдением этого условия можно заполнить битами этот параллелепипед памяти?

Задание 3. Сколько существует целочисленных положительных решений уравнения `1/x+1/y=1/6?`

Задание 4. Для своей любимой игры Андреа требуется пара костей (традиционно используются кубики с шестью гранями и с очками на этих гранях от 1 до 6). К сожалению, Андреа потерял оригинальные кости, но нашёл вместо них две кости с 4 и 9 гранями (неважно, какой формы эти необычные кости, а важно, что вероятность выпадения каждой грани на них одинакова). Как Андреа расставить очки на гранях этих костей, чтобы вероятность выпадения очков при метании этих необычных костей совпадала с вероятностью выпадения тех же очков при метании стандартных шестигранных костей? Предложите все возможные решения.

Задание 5. Пусть `P = (0, 0)` - начало координат на плоскости `xy,` и `A` — множество на этой плоскости, не содержащее `P.` Рассмотрим геометрическое место точек `C` центров всех окружностей с положительным радиусом, проходящих через `P` и не содержащих внутри себя точек множества `A.`
(i) Найти в явном виде `C,` если множество `A` представляет собой вертикальную прямую `L,` заданную уравнением `x = 2.`
(ii) Найти в явном виде `C,` если множество `A` представляет собой окружность `B` с центром в точке `X = (3, 0)` и радиусом 1.
(iii) Для любого множества `A` докажите, что если точки `P_1` и `P_2` принадлежат `C,` то для любой точки `P_3` из отрезка `P_1P_2` верно, что либо `P_3 in C,` либо `P_3 = P.`

Задание 6. Пусть `P(t) = t^n + x_1t^{n-1} + ... + x_{n-1}t + x_n` многочлен с действительными коэффициентами `x_1; x_2, ..., x_n`, и `x_n != 0.` Предположим, что многочлен `P` имеет в качестве корней коэффициенты `x_1, x_2, ..., x_n,` то есть можно сказать, что `P(t)=(t - x_1) (t - x_2) ... (t - x_n).`
а) Найти все многочлены третьей степени с рациональными коэффициентами, удовлетворяющие этому свойству.
б) Доказать, что для всех `n >= 6` не существует многочленов `P,` обладающих этим свойством.

P.S. Полную версию заметки можно прочитать в журнале Математика в школе, 2018, № 6.

@темы: Задачи вступительных экзаменов

---

[Дилетант]

Пришло письмо из Яндекса.
Мне кажется, это должно быть интересно

***
Рады сообщить, что мы открыли приём заявок на участие в международной научной конференцию "Психология и технологии в математическом образовании".
Конференция пройдёт в Москве с 18 по 21 марта 2019 года. Организаторы — Яндекс и Международное общество исследователей в области психологии математического образования (PME).
Цель конференции — наладить диалог между российскими и иностранными исследователями в области математического образования, а также познакомить российских педагогов и методистов с современными международными исследованиями.

Мы приглашаем исследователей, изучающих математическое образование с самых разных сторон. Возможные области исследований:
— обучение различным областям математики;
— исследования математического мышления и математических понятий;
— исследования обучения в классе и за его пределами;
— исследования математического обучения в более широком контексте;
— другие исследования, относящиеся к математическому образованию.

Обратите внимание: вся конференция пройдёт на английском языке. Заявки на участие, устные выступления, обсуждение докладов, презентации, стенды — всё должно быть на английском. Материалы конференции будут изданы в сборнике, индексируемом в РИНЦ.
Заявки принимаются до 31 октября 2018 года. Если вам нужно помочь отредактировать текст на английском, присылайте заявку до 15 октября. Подробнее о конференции, форматах и условиях участия читайте на сайте проекта: education.yandex.ru/pme/

Вопросы и комментарии можно оправлять на [email protected].

--
Команда мероприятий Яндекса

@темы: Методические материалы, Люди

---

Делимость

[wpoms.]

Докажите: для любого натурального числа `n` существует `n`-значное натуральное число, все цифры десятичной записи которого равны только 1 или 2 такое, что оно делится на `2^n`. Будет ли утверждение верно для систем счисления с основанием `4` или `6`?

@темы: Теория чисел

---

С ДНЁМ УЧИТЕЛЯ!!!

[All_ex]

Дорогие коллеги, сообщники и примкнувшие к ним!

От лица сообщества поздравляю Вас с Днём Учителя!

Желаю крепчайшего здоровья, горы счастья и обучаемых учащихся...

@темы: Праздники

---

Ректор ВШЭ Ярослав Кузьминов рассказал о возможных изменениях госаккредитации вузов

[All_ex]

Вузы разделят на три разряда

«Ъ» узнал, как может измениться система государственной аккредитации вузов. Ректор ВШЭ Ярослав Кузьминов рассказал, что созданная правительством межведомственная рабочая группа обсуждает вариант создания трех типов аккредитации — базовой, продвинутой и ведущей. При этом базовый вуз должен заместить значительную часть предметов онлайн-курсами, которые разработают ведущие вузы. Мнения ректоров разделились: одни считают нововведение оправданным, другие расценивают как посягательство на автономию университетов.

продолжение тут

@темы: Образование

---

[MisteryS]

Требуется доказать следующее:

Прочтение теории мне ничем не помогло. Вообще не понимаю, что и как с этим делать. Помогите, пожалуйста (

@темы: Функции

---

Скоро Покров - снег покрывает землю, а плитки покрывают пол

[wpoms.]

Пол в комнате прямоугольной формы можно покрыть плитками размером `2 xx 2` и `4 xx 1`. Докажите, что нельзя покрыть пол плитками, если количество плиток одного вида будет уменьшено на 1, а количество плиток другого вида будет увеличено на 1.

@темы: Планиметрия

---

Получение любого числа

[wpoms.]

С натуральным числом, записанным в десятичной системе, можно выполнять такие операции: (1) приписать 4 в конце числа. (2) приписать 0 в конце числа. (3) разделить число на 2, если оно чётное. Докажите, что, начав с числа 4 и выполняя последовательность операций (1), (2), (3), можно получить любое натуральное число.

@темы: Теория чисел

---

Гипотеза ABC 2

[Груша Вильямс]

Наконец-то начались появляться проверки именитых специалистов. И судя по всему доказательство непоправимо как утверждает Петер Шольце ru.m.wikipedia.org/wiki/Abc-гипотеза

@темы: Новости

---

Покроем их кругами

[wpoms.]

В квадрате, с длиной стороны равной 7, выбрана 51 точка. Докажите, что какие-то три из этих точек можно накрыть кругом радиуса 1.

@темы: Планиметрия

---

За круглым столом. Не рыцари.

[wpoms.]

За круглым столом сидят `n` человек. Количество тех, справа от которых сидит кто-то того же пола, равно количеству тех, для кого это не выполняется. Докажите, что `n` делится на 4.

@темы: Теория чисел

---

Корень из числа

[wpoms.]

Даны `n` цифр, записанные по порядку `a_1a_2...a_n` Существует ли натуральное число такое, что в десятичной записи квадратного корня из этого числа первые `n` цифр после запятой совпадают с `a_1a_2...a_n`? Обоснуйте ответ.

@темы: Теория чисел

---

Про кубик

[L.ego]

Добрый день!
ТерВер был 8 лет назад, многое забыла, но тут постаралась вспомнить ради задачки. Помогите, пожалуйста.

Условие:
Деревянный куб покрасили зеленой краской и разрезали на 27 одинаковых маленьких кубиков. Кубики перемешали и сложили из них куб такого же размера, как изначальный. С какой вероятностью куб будет полностью зеленым? Расписать ход мыслей.

Решала так:
1. Сначала посчитала сколько у скольких маленьких кубиков будет окрашено 3 грани, 2 грани, 1 грань, вообще не будет окрашена.
Получилось:
8 кубиков с 3 окрашенными гранями
12 кубиков с 2 окрашенными гранями
6 кубиков с одной окрашенной гранью
1 кубик остался не окрашенным.

2. Формула вероятности: P=m/n.
Думаю, что m=(C_{27}^{8})*(C_{27}^{12})*(C_{27}^{6})*(C_{27}^{1})

n - общее количество исходов. Мы вытаскиваем 27 кубиков из 27, тогда n=(C_{27}^{27})? (здесь, кажется, уже что-то не так)

И еще такие мысли. Своими предыдущими действиями я попыталась рассчитать вероятность, что в том месте большого куба, где должен стоять кубик с тремя окрашенными гранями попадется один из восьми таких кубиков, ну и аналогично для двух и одной грани.
Но. Ведь маленький кубик может встать цветными гранями внутрь, и тогда условие не выполнится. Вот этот момент, что маленький кубик может вертеться тоже не знаю как учесть

@темы: Теория вероятностей

---

[wpoms.]

З любов’ю до людей та математики... До 60-рiччя вiд дня народження В’ячеслава Андрiйовича Ясiнського. — Вiнниця : ТОВ «Нiлан-ЛТД», 2017. — 252 c. : iл. 32 с.
Книга мiстить рiзнi матерiали про творчий шлях Ясiнського В’ячеслава Андрiйовича (1957–2015) — уславленого вчителя математики, заслуженого учителя України, доцента Вiнницького державного педагогiчного унiверситету iменi Михайла Коцюбинського; спогади про нього друзiв, колег. Також у книзi зiбрано 500 задач, автором яких є В. А. Ясiнський, окремi його науково-методичнi публiкацiї.

amnm.vspu.edu.ua/olymp/book/

@темы: Литература

---

IOI-2018

[VEk]

Вот результаты Международной олимпиады по программированию 2018 в Японии (Российские участники).
Рахматуллин Р. 383 балла - золото (11 место, Татарстан, 11 класс))
Романов В. 353 балла - золото (21 - дележ места, Москва, 10 кл.)
Анопренко М. 326 баллов - серебро (34 - дележ места, СПб, 11 класс)
Лифарь Е. 294 балла - серебро (63 - дележ места, Москва, 9 класс)

Похоже задачи были очень сложные, победитель имеет 499 баллов из 600, всего 8 человек (из 335 участников) смогли набрать более 400 баллов.

Тексты задач, с переводом на языки участников. можно посмотреть здесь: ioi2018.jp/competition/tasks/

PS Лучшие на постсоветском пространстве:
Биркадзе Н. (Грузия) 463 балла (4 место)
Кернажицкий А. (Белоруссия) 430 баллов (5 место)

@темы: Новости

---

Озеро

[wpoms.]

Каждой точки плоского озера можно достичь по прямым, проходящим по озеру через точки `A` и `B`. Покажите, что каждой точки этого озера можно достичь по прямой, проходящей по озеру через произвольную точку отрезка `AB.`

@темы: Планиметрия

---

3 олимпиада мегаполисов

[wpoms.]

Результаты, задачи, решения: megapolis.educom.ru/ru

Джулиан Бивер, асфальт

@темы: Олимпиадные задачи

---

12 среднеевропейская олимпиада

[wpoms.]

В индивидуальных соревнованиях 9 участников набрали максимально возможное количество баллов, в командных соревнованиях победила сборная Украины.

Результаты, задачи, решения: www.memo2018.abel.bielsko.pl

Джулиан Бивер, асфальт

@темы: Олимпиадные задачи