Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
Найдите все простые `p` такие, что `p^3-4p+9` является квадратом натурального числа. |  |
пятница, 20 апреля 2018
понедельник, 16 апреля 2018
Подскажите пожалуйста, как решается данная задача.
На каждом из двух комбинатов работают по 1000 человек. на первом комбинате один рабочий за смену изготавливает 3 детали А или 1 деталь В. На втором комбинате для изготовления 10t деталей (и А и В) требуется t^2 человекосмен.
Оба эти комбината поставляют на комбинат детали, из которых собирают изделие, для изготовления которого нужна 1 деталь А и 3 детали В. При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать деталь так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену?
1 комбинат х человек изг. детали А, получаем 3х деталей 1000-х человек изг. детали В, получаем 1000- х деталей
2 комбинат у человек изг.детали А, получаем `sqrt(10y)` деталей 1000-у человек изг. детали В, получаем `sqrt(10(1000-y))`
всего деталей А `3x+sqrt(10y)` деталей В `1000-x+sqrt(10(1000-y))`
деталей В по условию должно быть в 3 раза больше, чем А, следовательно
`3(3x+sqrt(10y))= 1000-x+sqrt(10(1000-y))`
`9x+3sqrt(10y)=1000-x+sqrt(10(1000-y))`
`10x=1000-x+sqrt(10(1000-y)) - 3sqrt(10y)`
`x= 100+0,1 sqrt(10(1000-y)) - 0,3sqrt(10y)`
тогда деталей А изготовили
`3(100+0,1 sqrt(10(1000-y)) - 0,3sqrt(10y))+sqrt(10y)=300+0,1(3sqrt(10(1000-y))+sqrt(10y))`
данное значение будет максимальным если `3sqrt(10(1000-y))+sqrt(10y)` будет максимальным
`f(y)= 3sqrt(10(1000-y))+sqrt(10y)`
`f'(y)=5/sqrt(10y)-15/sqrt(10(1000-y))=0`
найдем `y = 100`, тогда `x=100+0,1*30sqrt(10)-0,3*10sqrt(10)=100`
ВОТ здесь никак не пойму, что делать дальше, по идее наибольшее количество деталей А будет равно 330, тогда деталей В 990 и комплектов изделий 330. Что я делаю не так? Ответ 400.
На каждом из двух комбинатов работают по 1000 человек. на первом комбинате один рабочий за смену изготавливает 3 детали А или 1 деталь В. На втором комбинате для изготовления 10t деталей (и А и В) требуется t^2 человекосмен.
Оба эти комбината поставляют на комбинат детали, из которых собирают изделие, для изготовления которого нужна 1 деталь А и 3 детали В. При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать деталь так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену?
1 комбинат х человек изг. детали А, получаем 3х деталей 1000-х человек изг. детали В, получаем 1000- х деталей
2 комбинат у человек изг.детали А, получаем `sqrt(10y)` деталей 1000-у человек изг. детали В, получаем `sqrt(10(1000-y))`
всего деталей А `3x+sqrt(10y)` деталей В `1000-x+sqrt(10(1000-y))`
деталей В по условию должно быть в 3 раза больше, чем А, следовательно
`3(3x+sqrt(10y))= 1000-x+sqrt(10(1000-y))`
`9x+3sqrt(10y)=1000-x+sqrt(10(1000-y))`
`10x=1000-x+sqrt(10(1000-y)) - 3sqrt(10y)`
`x= 100+0,1 sqrt(10(1000-y)) - 0,3sqrt(10y)`
тогда деталей А изготовили
`3(100+0,1 sqrt(10(1000-y)) - 0,3sqrt(10y))+sqrt(10y)=300+0,1(3sqrt(10(1000-y))+sqrt(10y))`
данное значение будет максимальным если `3sqrt(10(1000-y))+sqrt(10y)` будет максимальным
`f(y)= 3sqrt(10(1000-y))+sqrt(10y)`
`f'(y)=5/sqrt(10y)-15/sqrt(10(1000-y))=0`
найдем `y = 100`, тогда `x=100+0,1*30sqrt(10)-0,3*10sqrt(10)=100`
ВОТ здесь никак не пойму, что делать дальше, по идее наибольшее количество деталей А будет равно 330, тогда деталей В 990 и комплектов изделий 330. Что я делаю не так? Ответ 400.
воскресенье, 15 апреля 2018
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ выбраны точки $E$ и $F$ так, что $\angle BAE = \angle FAC.$ Точка $E$ расположена ближе к точке $B,$ чем точка $F.$ Из точки $F$ на стороны $AB$ и $AC$ опущены перпендикуляры с основаниями $M$ и $N$ соответственно. Прямая $AE$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $Q$ ($A\neq Q$). Докажите, что площадь треугольника $ABC$ равна площади четырёхугольника $MANQ.$ | |
Вопрос у меня по теореме, я немного не понял ее.
"Комплекснозначная функция `f(t)` действительной переменной `t` является х.ф. тогда и только тогда, когда
(i) `f(t)` является неотрицательно определенной
(ii) `f(0) = 1`"
И если второе условие я могу понять, то как понять первое? Разве можно говорить о комплекснозначных функциях, что они могут быть положительно или отрицательно определены? По определению такие функции возвращают комплексные числа. Они не бывают отрицательными или положительными. Если я конечно верно понимаю определение "положительно определенная функция". Это же функция, которая принимает положительные значения? Если нет, то я что-то недоучил когда-то видимо)
"Комплекснозначная функция `f(t)` действительной переменной `t` является х.ф. тогда и только тогда, когда
(i) `f(t)` является неотрицательно определенной
(ii) `f(0) = 1`"
И если второе условие я могу понять, то как понять первое? Разве можно говорить о комплекснозначных функциях, что они могут быть положительно или отрицательно определены? По определению такие функции возвращают комплексные числа. Они не бывают отрицательными или положительными. Если я конечно верно понимаю определение "положительно определенная функция". Это же функция, которая принимает положительные значения? Если нет, то я что-то недоучил когда-то видимо)
суббота, 14 апреля 2018
В ходе решения задачи столкнулся с некоторым недопониманием в случае сложения двух нормальных СВ. А именно следующее: Есть две СВ `X` и `Y`, обе распределены нормально. Дальше объявляется новая CВ `Z = 0.5X+0.5Y`. И теперь возникает вопрос: а верно ли, что `0.5*f_X(10)+0.5*f_Y(10) = f_Z(10)`? У меня почему-то получается, что это неверно
четверг, 12 апреля 2018
- Now, listen here, pal, I didn't come here to be insulted. -...Where do you usually go?
Добрый день!
Возникла задача сравнить степень разброса значений в двух выборках (в какой из выборок чаще встречаются экстремально низкие/высокие значения). Речь идёт о двух группах людей, заполнявших опросники, ответы типа "часто", "очень часто", "иногда" и т.п.
Их бин гуманитарий. Почитала "Математическую статистику для психологов" и решила, что подходящий математический показатель - дисперсия каждой выборки. Но непонятно, есть ли какая-то процедура для сравнения двух дисперсий.
Порекомендуйте, пожалуйста, что почитать? Либо подскажите, как называется нужная мне процедура.
Возникла задача сравнить степень разброса значений в двух выборках (в какой из выборок чаще встречаются экстремально низкие/высокие значения). Речь идёт о двух группах людей, заполнявших опросники, ответы типа "часто", "очень часто", "иногда" и т.п.
Их бин гуманитарий. Почитала "Математическую статистику для психологов" и решила, что подходящий математический показатель - дисперсия каждой выборки. Но непонятно, есть ли какая-то процедура для сравнения двух дисперсий.
Порекомендуйте, пожалуйста, что почитать? Либо подскажите, как называется нужная мне процедура.
вторник, 10 апреля 2018
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
Дан треугольник `ABC` такой, что `AB > AC.` Угол `BAM` - внешний угол треугольника `ABC.` Точка `N`, отличная от точки `A,` лежит на биссектрисе угла `BAM` и на описанной окружности треугольника `ABC.` Точка `P` - основание перпендикуляра, опущенного из точки `N` на сторону `AB.` Докажите, что `AP = (AB-AC)/2.` | |
воскресенье, 08 апреля 2018
Оценить сверху `P{|\eta_n/n - p^2| > \epsilon}`
если `\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_{n + 1}` - результаты n + 1 испытаний схемы Бернулли (`P{\xi_i = 1} = p, P{\xi_i = 0} = 1 - p`)
а `\eta_n` - случайная величина, равная числу таких `i`, что `\xi_i = \xi_{i + 1} = 1`
Ну я так понимаю, что для начала надо рассмотреть хотя бы первые два испытания схемы Бернулли. Вероятность того, что обе величины будут равны 1 = `p^2`.
`\eta_n = \eta_{1,2} + \eta_{2,3} + \dots + \eta_{n,n+1}`
Так как все `\eta_{i, i+1}` распределены одинаково, то получается, что
`E[\eta_n] = E[\eta_{1,2}] + E[\eta_{2,3}] + \dots = np^2`
`E[\eta_n/n] = p^2`
Я думаю, что так как в исходной задаче вычитаемое под модулем как раз `p^2`, то я вроде как иду по верному пути.
Дальше
`D[\eta_n] = D[\eta_{1,2}] + D[\eta_{2,3}] + \dots = n * (E[\eta_{1,2}^2] - E^2[\eta_{1,2}]) = n(p^2 - p^4)`
`D[\eta_n/n] = (p^2(1 - p)(1 + p))/n`
`P{|\eta_n/n - p^2| > \epsilon} <= (p^2(1 - p)(1 + p))/(n\epsilon^2)`
Вроде так должно быть. Но в ответе
`(p^2(1 - p)(1 + 3p))/(n\epsilon^2)`
В принципе без разницы какой ответ в задачнике. Главное, чтобы решение было верное.
если `\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_{n + 1}` - результаты n + 1 испытаний схемы Бернулли (`P{\xi_i = 1} = p, P{\xi_i = 0} = 1 - p`)
а `\eta_n` - случайная величина, равная числу таких `i`, что `\xi_i = \xi_{i + 1} = 1`
Ну я так понимаю, что для начала надо рассмотреть хотя бы первые два испытания схемы Бернулли. Вероятность того, что обе величины будут равны 1 = `p^2`.
`\eta_n = \eta_{1,2} + \eta_{2,3} + \dots + \eta_{n,n+1}`
Так как все `\eta_{i, i+1}` распределены одинаково, то получается, что
`E[\eta_n] = E[\eta_{1,2}] + E[\eta_{2,3}] + \dots = np^2`
`E[\eta_n/n] = p^2`
Я думаю, что так как в исходной задаче вычитаемое под модулем как раз `p^2`, то я вроде как иду по верному пути.
Дальше
`D[\eta_n] = D[\eta_{1,2}] + D[\eta_{2,3}] + \dots = n * (E[\eta_{1,2}^2] - E^2[\eta_{1,2}]) = n(p^2 - p^4)`
`D[\eta_n/n] = (p^2(1 - p)(1 + p))/n`
`P{|\eta_n/n - p^2| > \epsilon} <= (p^2(1 - p)(1 + p))/(n\epsilon^2)`
Вроде так должно быть. Но в ответе
`(p^2(1 - p)(1 + 3p))/(n\epsilon^2)`
В принципе без разницы какой ответ в задачнике. Главное, чтобы решение было верное.
суббота, 07 апреля 2018
У журнала "Квант" новый главный редактор.
www.ras.ru/presidium/documents/directionsp.aspx...
Гайфуллин, Александр Александрович
родился 22 марта 1984
2005 - окончил мехмат МГУ
2008 - кандидат физмат наук
2010 - доктор физмат наук
2016 - профессор РАН
2016 - член-корреспондент РАН
Интервью:
1. Математические прогулки (2016.11.25) postnauka.ru/talks/69872
2. Мы живем в многомерном мире (2017.05.06) scientificrussia.ru/articles/my-zhivem-v-mnogom...
Доступны лекции : www.mathnet.ru/php/person.phtml?option_lang=rus...
и еще на www.youtube.com
www.ras.ru/presidium/documents/directionsp.aspx...
Гайфуллин, Александр Александрович
родился 22 марта 1984
2005 - окончил мехмат МГУ
2008 - кандидат физмат наук
2010 - доктор физмат наук
2016 - профессор РАН
2016 - член-корреспондент РАН
Интервью:
1. Математические прогулки (2016.11.25) postnauka.ru/talks/69872
2. Мы живем в многомерном мире (2017.05.06) scientificrussia.ru/articles/my-zhivem-v-mnogom...
Доступны лекции : www.mathnet.ru/php/person.phtml?option_lang=rus...
и еще на www.youtube.com
Оценить сверху неравенство `P{|\eta_n/n - 3.5| > \epsilon}, \epsilon > 0`, если
`\eta_n` - случайная величина равная сумме очков при `n` подбрасываниях игральной кости.
Не могу понять, как так получается, что сверху это оценено как `8.75/(n\epsilon^2)`
То есть каким образом здесь вообще ищется дисперсия и как здесь определено матожидание, если подбрасываний n штук. Или мне нужно сначала определить это n? то есть сверху это оценивается как `(D[\eta_n/n])/(\epsilon^2)`
`\eta_n` - случайная величина равная сумме очков при `n` подбрасываниях игральной кости.
Не могу понять, как так получается, что сверху это оценено как `8.75/(n\epsilon^2)`
То есть каким образом здесь вообще ищется дисперсия и как здесь определено матожидание, если подбрасываний n штук. Или мне нужно сначала определить это n? то есть сверху это оценивается как `(D[\eta_n/n])/(\epsilon^2)`
пятница, 06 апреля 2018
Помогите взять интеграл `int_r^\infty 1/r*e^(-(lnr-c_1)^2/(2c_2^2))dr`,
И такой же почти интеграл `int_r^\infty 1/r^5*e^(-(lnr-c_1)^2/(2c_2^2))dr`.
По идее должен как-то браться... `c_1, c_2` - константы.
p.s. в общем-то у меня совсем хардовое выражение, в котором кое в каком месте стоит отношение первого интеграла ко второму.
И такой же почти интеграл `int_r^\infty 1/r^5*e^(-(lnr-c_1)^2/(2c_2^2))dr`.
По идее должен как-то браться... `c_1, c_2` - константы.
p.s. в общем-то у меня совсем хардовое выражение, в котором кое в каком месте стоит отношение первого интеграла ко второму.
среда, 04 апреля 2018
ММО засветилась на анекдот ру:
Сайт Московской математической олимпиады:
Награждение наградами награждённых, не награждённых наградами на награждении, происходит по средам с 15 до 19 часов в комнате 207.
olympiads.mccme.ru/mmo/2015/zakr.htm
Сайт Московской математической олимпиады:
Награждение наградами награждённых, не награждённых наградами на награждении, происходит по средам с 15 до 19 часов в комнате 207.
olympiads.mccme.ru/mmo/2015/zakr.htm
вторник, 03 апреля 2018
Нужно вычислить: 2sin(п/11)*(1-2sin^2(п/24)) - sin(9п/22)*cos(9п/22)
понедельник, 02 апреля 2018
Имеется 1000 параллелепипедов, каждая из сторон которых может принимать значения 0,5 или 1 с вероятностями 0,3 и 0,7 соответственно. С какой вероятностью суммарный объем всех параллелепипедов будет в пределах от 580 до 605?
Добрый день! Могли бы проверить мое решение для следующей задачи:
`a_1 = 1, a_(n+1) = sin(a_n)`. Сходится ли ряд `a_n`?
Док-во:
1) При `n >= 1` выполнено: `sin(1/n) > 1/(n+1)`, в силу эквивалнтости `sin(1/n) `
2) Теперь докажем по индукции, что `sin(sin(..(sin(1)))` (так n раз) `> 1/n` - для всех `n>1`. а) База верна б) Пусть верно `sin(sin(....(sin(1))) > 1/n`. Тогда возьмем синус от обеих частей. Так как это монотонное преобразование для величин, лежащих в отрезке `[0;1]`, то неравенство останется верным. Тогда Получаем `sin(sin(sin(...(sin(1)))) > sin(1/n)`. Исходя из пункта 1) `sin(1/n) > 1/(n+1)`, шаг индукции доказан.
3) Ограничили снизу гармоническим рядом, значит и исходный расходится
Мне моё решение не нравится. Оно выглядит довольно громоздким. Я понимаю логически что будет происходить: когда мы будем больше и больше раз применять синус, то он будет идти к нулю. Но в с каждым разом это стремление будет всё медленнее и медленнее. Например, `sin(0.1) = 0.099`. И получаем очень сильную расходимость, сумма будет очень быстро расти. Я не могу перевести в данном случае "очень медленно стремится к нулю".
`a_1 = 1, a_(n+1) = sin(a_n)`. Сходится ли ряд `a_n`?
Док-во:
1) При `n >= 1` выполнено: `sin(1/n) > 1/(n+1)`, в силу эквивалнтости `sin(1/n) `
2) Теперь докажем по индукции, что `sin(sin(..(sin(1)))` (так n раз) `> 1/n` - для всех `n>1`. а) База верна б) Пусть верно `sin(sin(....(sin(1))) > 1/n`. Тогда возьмем синус от обеих частей. Так как это монотонное преобразование для величин, лежащих в отрезке `[0;1]`, то неравенство останется верным. Тогда Получаем `sin(sin(sin(...(sin(1)))) > sin(1/n)`. Исходя из пункта 1) `sin(1/n) > 1/(n+1)`, шаг индукции доказан.
3) Ограничили снизу гармоническим рядом, значит и исходный расходится
Мне моё решение не нравится. Оно выглядит довольно громоздким. Я понимаю логически что будет происходить: когда мы будем больше и больше раз применять синус, то он будет идти к нулю. Но в с каждым разом это стремление будет всё медленнее и медленнее. Например, `sin(0.1) = 0.099`. И получаем очень сильную расходимость, сумма будет очень быстро расти. Я не могу перевести в данном случае "очень медленно стремится к нулю".
воскресенье, 01 апреля 2018
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
ВСЕХ МАТЕМАТИКОВ И СОЧУВСТВУЮЩИХ, ПРИМКНУВШИХ К НИМ!
От имени сообщества поздравляю с ДНЁМ МАТЕМАТИКА!
Всем здоровья, счастья и успехов на любом поприще...
Статистический анализ, проведенный по заказу авиакомпании, показал, что распределение веса (в кг) пассажира авиарейса с грузом хорошо описывается плотностью распределения
p(x)=Ax^3(150–x), x принадлежит интервалу (0,150).
Грузоподъемность самолета составляет 35 тонн. При посадке зарегистрировано 275 пассажиров. Какой коммерческий груз (в кг) можно дополнительно везти этим рейсом, чтобы вероятность перегрузки составила не более 0,2%.
p(x)=Ax^3(150–x), x принадлежит интервалу (0,150).
Грузоподъемность самолета составляет 35 тонн. При посадке зарегистрировано 275 пассажиров. Какой коммерческий груз (в кг) можно дополнительно везти этим рейсом, чтобы вероятность перегрузки составила не более 0,2%.
1.Посетитель тира платит за выстрел 15 рублей. При попадании в девятку получает премию 20 рублей, при попадании в десятку получает премию 40 рублей. Если стрелок не попадает ни в девятку, ни в десятку, то премия ему не выплачивается. Вероятности попадания в девятку, десятку и промаха равны 0,2, 0,05 и 0,75 соответственно. Число посетителей равно 350. Найдите:
А) вероятность убытка у владельца тира;
Б) вероятность того, что суммарная прибыль окажется больше 500 рублей.
У меня есть предположение, что задачу надо решать с помощью Центральной теоремы и Муавра-Лапласа. Но как применить всё это, не понимаю.
А) вероятность убытка у владельца тира;
Б) вероятность того, что суммарная прибыль окажется больше 500 рублей.
У меня есть предположение, что задачу надо решать с помощью Центральной теоремы и Муавра-Лапласа. Но как применить всё это, не понимаю.
пятница, 30 марта 2018
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
Найдите наименьшее возможное значение выражения $|a|+|b|+|c|,$ если числа $a,$ $b$ и $c$ удовлетворяют условиям: $2abc = 3$ и $a+b+c=\sqrt[3]{3}.$ | |
Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Через середину ребра SD и вершину А проведена плоскость параллельно SB.
а) Постройте сечение пирамиды данной плоскостью.
б) Найдите площадь сечения, если АВ = 3 корня из 2, AS = 7.
Я попробовала провести через середину SD параллельную SB прямую, получился треугольник. Сечение, вроде и сделала, но площадь в итоге вообще не знаю, как найти.
Мне кажется, что я что-то не так сделала...
а) Постройте сечение пирамиды данной плоскостью.
б) Найдите площадь сечения, если АВ = 3 корня из 2, AS = 7.
Я попробовала провести через середину SD параллельную SB прямую, получился треугольник. Сечение, вроде и сделала, но площадь в итоге вообще не знаю, как найти.
Мне кажется, что я что-то не так сделала...
