Сходимость ряда

[MestnyBomzh]

Добрый день! Могли бы проверить мое решение для следующей задачи:
`a_1 = 1, a_(n+1) = sin(a_n)`. Сходится ли ряд `a_n`?
Док-во:
1) При `n >= 1` выполнено: `sin(1/n) > 1/(n+1)`, в силу эквивалнтости `sin(1/n) `
2) Теперь докажем по индукции, что `sin(sin(..(sin(1)))` (так n раз) `> 1/n` - для всех `n>1`. а) База верна б) Пусть верно `sin(sin(....(sin(1))) > 1/n`. Тогда возьмем синус от обеих частей. Так как это монотонное преобразование для величин, лежащих в отрезке `[0;1]`, то неравенство останется верным. Тогда Получаем `sin(sin(sin(...(sin(1)))) > sin(1/n)`. Исходя из пункта 1) `sin(1/n) > 1/(n+1)`, шаг индукции доказан.
3) Ограничили снизу гармоническим рядом, значит и исходный расходится

Мне моё решение не нравится. Оно выглядит довольно громоздким. Я понимаю логически что будет происходить: когда мы будем больше и больше раз применять синус, то он будет идти к нулю. Но в с каждым разом это стремление будет всё медленнее и медленнее. Например, `sin(0.1) = 0.099`. И получаем очень сильную расходимость, сумма будет очень быстро расти. Я не могу перевести в данном случае "очень медленно стремится к нулю".

@темы: Ряды

Comments

[All_ex]

Начнём с того, что Получаем `sin(sin(sin(...(sin(1/n)))) > sin(1/n)` неверное неравенство... ведь `| sin x | <= |x|` ... итого, вы оценили сверху расходящимся рядом...

И вообще, при чём тут `1/n`?...
У Вас последовательность имеет вид `sin(sin(..(sin(1)))` (так n раз) ...

Например, `sin(0.1) = 0.99`
Этого вообще не понял...

[MestnyBomzh]

ой-ой, я в голове держал одно, написал другое. Смотрите, пункт 2) я имел в виду это:
2) `sin(sin(..(sin(1)))` (так n раз)` > 1/n` для всех `n>1`. а) База верна б) Шаг индукции. Пусть верно `sin(sin(....(sin(1))) > 1/n`. Тогда возьмем синус от обеих частей. Так как это монотонное преобразование для величин, лежащих в отрезке `[0;1]`, то неравенство останется верным. Тогда Получаем `sin(sin(sin(...(sin(1)))) > sin(1/n) `. Теперь используем пункт 1: `sin(1/n) > 1/(n+1)`. Значит мы доказали шаг индукции

[MestnyBomzh]

Поправил в заголовке

[All_ex]

1) При `n >= 1` выполнено: `sin(1/n) > 1/(n+1)`, в силу эквивалнтости `sin(1/n) `
так себе рассуждение...
`sin(1/n) sim 1/(n+1)`... поэтому неравенство выглядит притянутым за уши...

[MestnyBomzh]

так себе рассуждение...

Почему так себе?
Собственно, мне в целом не нравится моё решение, я поэтому и пришел на форум - мб будут идеи как попроще решить, потому что ряд слишком быстро расходится

[All_ex]

MestnyBomzh, Почему так себе?
Как Вы предельным свойством доказываете неравенство?...
То есть пока рассуждение выглядит так... две функции эквивалентны, значит, одна всегда больше другой...

Собственно, мне в целом не нравится моё решение, я поэтому и пришел на форум
Если Вы докажите неравенство из пункта 1 более строго, то решение будет нормальным...

[MestnyBomzh]

две функции эквивалентны, значит, одна всегда больше другой...

Согласен... Может быть так:
a) Разность между `1/n` и `1/(n+1)` равна `1/(n(n+1))` - скорость убывания квадратичная.
б) Разность между `1/n` и `sin(1/n)` убывает по кубическому закону (следует из разложения синуса в ряд)
в) `1/n > 1/(n+1)`
Исходя из а-б можно утверждать, что начиная с некоторого `n=k` синус будет находиться к `1/n` ближе, чем `1/(n+1)`. А используя пункт в можно утверждать, что синус будет выше, начиная с некоторого `n=k`. Остальные мои утверждения, описанные в предыдущих постах, нужно начинать с фразы "рассматриваем ряд с k-го слагаемого"

[All_ex]

MestnyBomzh, что же всё на пальцах-то?...
ужель строгие выкладки так тяжелы?...

б) Разность между `1/n` и `sin(1/n)` убывает по кубическому закону (следует из разложения синуса в ряд)
ну, можно же написать, что sin(1/n) > 1/n - 1/{6*n^3}` ... и сравнить эту величину, с `1/{n + 1}`...

[MestnyBomzh]

Да, можно и строго, просто мне по-прежнему не нравится это решение. А дело всё в том, что этот ряд расходится слишком быстро. Наша оценка снизу была слишком хорошей. Что я имею в виду, например, если вы 7 раз возьмете синус от 1, то получите `0.52`, в то же время `1/7` это `0.14`. Если 10 раз взять синус, то поулучим `0.46`, в то же время `1/10 = 0.1`. У меня есть предчувствие, что можно оценить этот ряд более грубо, но зато более просто