13:25 

Математическая олимпиада в Грузии

wpoms.
Step by step ...
Математическая олимпиада в Грузии


Республиканская олимпиада школьников по математике

Олимпиада проводится ежегодно в три этапа: школьный, региональный и национальный.

Республиканская олимпиада: задачи


@темы: Олимпиадные задачи

Комментарии
2018-03-20 в 06:08 

wpoms.
Step by step ...
Национальная олимпиада, 3 этап, 2016-2017 у.г.

10 класс

1. Найдите все целые $p$ и $q$ такие, что корнями уравнения $x^2 - \frac{q^2+2}{3}x + \frac{3}{5}(p+q) + \frac{22}{5} = 0$ являются $p$ и $q.$
обсуждение

2. Про последовательность $a_1,$ $a_2,$ \ldots известно, что сумма её $n$ первых членов равна $2a_n-\dfrac{1}{2},$ для $n=1, 2, \ldots .$
Последовательность $b_1,$ $b_2,$ \ldots определяется следующим образом: $b_1 = \dfrac{5}{2}$ и $b_{k+1} = a_k+b_k,$ для $k=1, 2, \ldots .$
Найдите сумму $n$ первых членов последовательности $b_1,$ $b_2,$ \ldots.
обсуждение

3. Найдите наименьшее возможное значение выражения $|a|+|b|+|c|,$ если числа $a,$ $b$ и $c$ удовлетворяют условиям: $2abc = 3$ и $a+b+c=\sqrt[3]{3}.$
обсуждение

4. Дан треугольник $ABC$ такой, что $AB>AC.$ Угол $BAM$ --- внешний угол треугольника $ABC.$ Точка $N$, отличная от точки $A,$ лежит на биссектрисе угла $BAM$ и на описанной окружности треугольника $ABC.$ Точка $P$ --- основание перпендикуляра, опущенного из точки $N$ на сторону $AB.$ Докажите, что $AP = \dfrac{AB-AC}{2}.$
обсуждение

5. В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ выбраны точки $E$ и $F$ так, что $\angle BAE = \angle FAC.$ Точка $E$ расположена ближе к точке $B,$ чем точка $F.$ Из точки $F$ на стороны $AB$ и $AC$ опущены перпендикуляры с основаниями $M$ и $N$ соответственно. Прямая $AE$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $Q$ ($A\neq Q$). Докажите, что площадь треугольника $ABC$ равна площади четырёхугольника $MANQ.$
обсуждение

11-12 классы

1. Найдите все простые $p$ такие, что $p^3-4p+9$ является квадратом натурального числа.
обсуждение

2. Провели 92 теста. В каждом тесте высшую оценку получили ровно 10 проверяемых, и в любых двух тестах ровно один проверяемый получил две высшие оценки. Можно ли утверждать, что есть проверяемый, который получил высшую оценку в 92 тестах?
обсуждение

3. Пусть `a_1, \ a_2, \ ldots, \ a_{2017}` - неотрицательные действительные числа такие, что `a_1 + a_2 + ldots + a_{2017} = 1`. Какое наибольшее значение может принимать выражение
`( a_1 + \frac{a_2}{2} + \frac{a_3}{3} + \ldots + \frac{a_{2017}}{2017} )^2 * (a_1 + 2*a_2 + 3*a_3 + \ldots + 2017*a_{2017})`?
обсуждение

4. В треугольнике $ABC$ точки $D$ и $E$ --- основания высот треугольника, опущенных из вершин $B$ и $C$ соответственно. Точка $M$ симметрична точке $E$ относительно прямой $AC,$ точка $N$ симметрична точке $E$ относительно прямой $BC.$ Описанная окружность треугольника $CMN$, с центром $O,$ пересекает прямую $AC$ в точке $Q$ ($Q \neq C$). Докажите, что $QO \perp DE.$
опубликовать

5. Треугольник $ABC$ ($AB < AC$) вписан в окружность $\omega.$ Пусть $I$ --- центр вписанной окружности треугольника $ABC,$ точка $M$ окружности $\omega$ выбрана на меньшей дуге $AB$ так, что $\angle AMI = 90^\circ.$ Пусть $D$ --- точка касания вписанной окружности треугольника $ABC$ с отрезком $BC,$ точка $N$ --- середина меньшей дуги $BC$ окружности $\omega.$ Докажите, что точки $M,$ $D$ и $N$ лежат на одной прямой.
обсуждение

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная