13:25 

Математическая олимпиада в Грузии

wpoms.
Step by step ...
Математическая олимпиада в Грузии


Республиканская олимпиада школьников по математике

Олимпиада проводится ежегодно в три этапа: школьный, региональный и национальный.

Республиканская олимпиада: задачи


@темы: Олимпиадные задачи

Комментарии
2018-03-20 в 06:08 

wpoms.
Step by step ...
Национальная олимпиада, 3 этап, 2016-2017 у.г.

10 класс

1. Найдите все целые $p$ и $q$ такие, что корнями уравнения $x^2 - \frac{q^2+2}{3}x + \frac{3}{5}(p+q) + \frac{22}{5} = 0$ являются $p$ и $q.$
обсуждение

2. Про последовательность $a_1,$ $a_2,$ \ldots известно, что сумма её $n$ первых членов равна $2a_n-\dfrac{1}{2},$ для $n=1, 2, \ldots .$
Последовательность $b_1,$ $b_2,$ \ldots определяется следующим образом: $b_1 = \dfrac{5}{2}$ и $b_{k+1} = a_k+b_k,$ для $k=1, 2, \ldots .$
Найдите сумму $n$ первых членов последовательности $b_1,$ $b_2,$ \ldots.
обсуждение

3. Найдите наименьшее возможное значение выражения $|a|+|b|+|c|,$ если числа $a,$ $b$ и $c$ удовлетворяют условиям: $2abc = 3$ и $a+b+c=\sqrt[3]{3}.$
обсуждение

4. Дан треугольник $ABC$ такой, что $AB>AC.$ Угол $BAM$ --- внешний угол треугольника $ABC.$ Точка $N$, отличная от точки $A,$ лежит на биссектрисе угла $BAM$ и на описанной окружности треугольника $ABC.$ Точка $P$ --- основание перпендикуляра, опущенного из точки $N$ на сторону $AB.$ Докажите, что $AP = \dfrac{AB-AC}{2}.$
обсуждение

5. В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ выбраны точки $E$ и $F$ так, что $\angle BAE = \angle FAC.$ Точка $E$ расположена ближе к точке $B,$ чем точка $F.$ Из точки $F$ на стороны $AB$ и $AC$ опущены перпендикуляры с основаниями $M$ и $N$ соответственно. Прямая $AE$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $Q$ ($A\neq Q$). Докажите, что площадь треугольника $ABC$ равна площади четырёхугольника $MANQ.$
обсуждение

11-12 классы

1. Найдите все простые $p$ такие, что $p^3-4p+9$ является квадратом натурального числа.
обсуждение

2.

3.

4.

5.

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная