Всем привет. Помогите пожалуйста разобраться с остаточным членом в форме Шлемильха и Роша.
Читаю я тут Фихтенгольца и смотрю как там остаточные члены выводятся. Не в форме Пеано.
Будет возможно долго, но пожалуйста прочтите краткий экскурс, кто не в курсе как оно по Фихтенгольцу)) Вопрос у меня довольно простой.
Ну значит там говорится...
1) рассматривается какой-то отрезок `[x_0, x_0 + H]`, ну и на нем существуют
и непрерывны первые n производных функции `f(x)` (`f'(x), f''(x), ... , f^(n)(x)`), а также существует и конечна `n+1` производная.
2) Дальше в силу `r_n(x) = f(x) - p(x)` вытекает:
`r_n(x) = f(x) - f(x_0) - ((f'(x_0))/(1!)) * (x - x_0) - ((f''(x_0))/(2!)) * (x - x_0) - dots - ((f^(n)(x_0))/(n!)) * (x - x_0)`
3) Потом, фиксируя определенное значение на данном промежутке, вводится вспомогательная функция:
`varphi(z) = f(x) - f(z) - ((f'(z))/(1!)) * (x - z) - ((f''(z))/(2!)) * (x - z) - dots - ((f^(n)(z))/(n!)) * (x - z)`, где `z in [x_0, x]`
Также на `(x_0, x)` существует `varphi'(z) = -((f^(n)(z))/(n!)) * (x - z)`
4) Вводится произвольная функция `psi(z)`, которая никак не определяется, только со свойствами: непрерывна на промежутке `[x_0, x]` и
имеет ненулевую производную на `(x_0, x)`.
Почти приехали))
5) Применяем формулу Коши к `varphi(z)` и `psi(z)` получаем:
`(varphi(x) - varphi(x_0))/(psi(x) - psi(x_0)) = (varphi'(c))/(psi'(c))`, где `x_0 < c < x` или `c = x_0 + theta(x - x_0)`, где `0 < theta < 1`
6) В силу того, что `varphi(x) = 0, varphi(x_0) = r_n(x), varphi'(c) = -(f^(n+1)(c))/(n!) * (x - c)^n` мы получаем
`r_n(x) = (psi(x) - psi(x_0))/(psi'(c)) * (f^(n+1)(c))/(n!) * (x - c)^n`
И вот теперь получается так, что подставляя вместо `psi(z)` любые, удовлетворяющие условиям функции, мы получаем различные формы дополнителного члена.
Внимание вопрос.
Пусть `psi(z) = (x - z)^p,p>0` => `psi'(z) = -p(x - z)^(p-1), x_0 < z < x`
Тогда `r_n(x) = (-(x-x_0)^p)/(-p(x-c)^(p-1)) * (f^(n+1)(c))/(n!) * (x - c)^n`
Это как так получилось-то? Ну я про последние строчки. Как мы так подставляем, что получается множитель `(-(x-x_0)^p)/(-p(x-c)^(p-1))`?
Причем понятно как получился знаменатель примерно. Он как производная выглятит. А вот как числитель? Такое ощущение складывается, что `psi(x) = 0`.
Читаю я тут Фихтенгольца и смотрю как там остаточные члены выводятся. Не в форме Пеано.
Будет возможно долго, но пожалуйста прочтите краткий экскурс, кто не в курсе как оно по Фихтенгольцу)) Вопрос у меня довольно простой.
Ну значит там говорится...
1) рассматривается какой-то отрезок `[x_0, x_0 + H]`, ну и на нем существуют
и непрерывны первые n производных функции `f(x)` (`f'(x), f''(x), ... , f^(n)(x)`), а также существует и конечна `n+1` производная.
2) Дальше в силу `r_n(x) = f(x) - p(x)` вытекает:
`r_n(x) = f(x) - f(x_0) - ((f'(x_0))/(1!)) * (x - x_0) - ((f''(x_0))/(2!)) * (x - x_0) - dots - ((f^(n)(x_0))/(n!)) * (x - x_0)`
3) Потом, фиксируя определенное значение на данном промежутке, вводится вспомогательная функция:
`varphi(z) = f(x) - f(z) - ((f'(z))/(1!)) * (x - z) - ((f''(z))/(2!)) * (x - z) - dots - ((f^(n)(z))/(n!)) * (x - z)`, где `z in [x_0, x]`
Также на `(x_0, x)` существует `varphi'(z) = -((f^(n)(z))/(n!)) * (x - z)`
4) Вводится произвольная функция `psi(z)`, которая никак не определяется, только со свойствами: непрерывна на промежутке `[x_0, x]` и
имеет ненулевую производную на `(x_0, x)`.
Почти приехали))
5) Применяем формулу Коши к `varphi(z)` и `psi(z)` получаем:
`(varphi(x) - varphi(x_0))/(psi(x) - psi(x_0)) = (varphi'(c))/(psi'(c))`, где `x_0 < c < x` или `c = x_0 + theta(x - x_0)`, где `0 < theta < 1`
6) В силу того, что `varphi(x) = 0, varphi(x_0) = r_n(x), varphi'(c) = -(f^(n+1)(c))/(n!) * (x - c)^n` мы получаем
`r_n(x) = (psi(x) - psi(x_0))/(psi'(c)) * (f^(n+1)(c))/(n!) * (x - c)^n`
И вот теперь получается так, что подставляя вместо `psi(z)` любые, удовлетворяющие условиям функции, мы получаем различные формы дополнителного члена.
Внимание вопрос.
Пусть `psi(z) = (x - z)^p,p>0` => `psi'(z) = -p(x - z)^(p-1), x_0 < z < x`
Тогда `r_n(x) = (-(x-x_0)^p)/(-p(x-c)^(p-1)) * (f^(n+1)(c))/(n!) * (x - c)^n`
Это как так получилось-то? Ну я про последние строчки. Как мы так подставляем, что получается множитель `(-(x-x_0)^p)/(-p(x-c)^(p-1))`?
Причем понятно как получился знаменатель примерно. Он как производная выглятит. А вот как числитель? Такое ощущение складывается, что `psi(x) = 0`.
