геометрический смысл

[A2kat]

Определить геометрический смысл следующих выражений: `Ree (z-z_1)/(z-z_2) =0` ; `|z-2|-|z+2|>3` ; `|2z|>|1+z^2|` . В первом я считаю, что это прямая, т.к. `Ree (z-z_1)/(z-z_2) =0 => z-z_1=k*i*(z-z_2) => z=z_1/(1-k*i)-(k*i*z_2)/(1-ki)` но более подробно о ней что - либо сказать не могу. Во втором неравенстве взяв вместо неравенства, равенствo получаю уравнение гиперболы, подскажите как мне теперь определить правую или левую часть гиперболы надо взять?

@темы: Аналитическая геометрия, Комплексные числа

---

Let it Base 2015

[webmath]

Сборник заданий базового уровня ЕГЭ 2015
webmath.exponenta.ru/ege_15/b.html



ЗНО 2015 освещать не планирую. Только если кто-то попросит.

@темы: ЕГЭ

---

уравнение

[KARMELITAMARONE]

Как решить такое уравнение?(аналитически) если нет, то численно.
подскажите,пожалуйста
Один корень равен нулю,а другой? Корня два
(3-f)*e^f=3

@темы: Функции, Показательные уравнения (неравенства)

---

Доказать равномерную сходимость интеграла

[oneinchman]

Добрый вечер. Требуется доказать равномерную сходимость данного интеграла на указанном множестве E.
$\int\limits_{0}^{\infty} \frac{\ln(1+x) \cdot \arctan(\alpha x)}{x^2} dx, E = [-a, a], a>0$
Первой мыслью было проверить признак Вейерштрасса, используя ограниченность арктангенса.
Т.е. $ \forall \alpha \in E, \forall x \in [0, +\infty], \arctan(\alpha x) $ `<=` $ \frac{\pi}{2} $, но тогда получается, что исходный интеграл оценивается сверху интегралом $ \frac{\pi}{2} \int\limits_{0}^{\infty} \frac{\ln(1+x)}{x^2} dx $, который расходится. Другие попытки ограничить интеграл сверху тоже привели к расходящимся интегралам. Под признаки Дирихле и Абеля подынтегральную функцию не удается разбить на две так, чтобы выполнялись все нужные условия.
Подскажите, в каком направлении здесь лучше думать?

@темы: Математический анализ, Несобственные интегралы

---

Помогите, плиз!

[.кхалиси]

Дан куб ABCDA1B1C1D1, O - точка пересечения диагоналей грани ABCD. Докажите, что прямые B1O и A1C1 перпендикулярны.

@темы: Стереометрия

---

[Amicus Plato]

Прошу — забудь все, чему ты учился в школе; потому что ты этому не научился. Прошу, однако, всюду вызывать в своем представлении соответствующие разделы школьного курса; потому что тебе все же не следует его забывать. Никакой таблицы умножения, даже теоремы 2*2 = 4 я не даю; однако, я рекомендую тебе, в качестве упражнения к главе 1, определить: 2 = 1 + 1, 4 = ((1 + 1) + 1) + 1 и доказать указанную теорему. Эдмунд Ландау. Основы анализа

Вчера, 14 февраля, исполнилось 138 лет со дня рождения выдающегося специалиста в теории чисел Эдмунда Ландау.

Википедия
Эдмунд Георг Герман (Иезекииль) Ландау (нем. Edmund Georg Hermann (Yehezkel) Landau, 14 февраля 1877, Берлин — 19 февраля 1938, Берлин) — немецкий математик, который внёс существенный вклад в теорию чисел (более 250 статей и 7 книг).

Биография
Родился в семье преуспевающего берлинского врача-еврея, профессора Леопольда Ландау (1848—1920), мать Йоханна Якоби происходила из известного банкирского дома Якоби. До 16 лет учился в берлинской Французской гимназии (Collège Français), который успешно закончил на 2 года раньше положенного.
В 1899 году под руководством Фробениуса подготовил и защитил диссертацию по теории чисел, после чего принят доцентом в Берлинский университет. В эти же годы выпустил 2 сборника математических головоломок, связанных с шахматами.
В 1901 году защитил докторскую (habilitation thesis) о рядах Дирихле в аналитической теории чисел. В 1905 году женился на Марианне Эрлих, дочери нобелевского лауреата Пауля Эрлиха.
В 1909 году, после смерти Минковского, занимает его кафедру и становится профессором математики Гёттингенского университета. Здесь он трудился до 1934 года, когда нацисты начали кампанию чистки университета от «неарийских элементов».
В конце 1920-х годов посетил Палестину. Был избран профессором Еврейского университета в Иерусалиме, участвовал в основании там Института математики, прочитал там первый курс лекций на иврите.
В 1934 году, под давлением нацистов, Ландау был вынужден уйти в отставку. Он не захотел покинуть Германию и продолжал жить в Берлине. С 1935 преподавал в Кембриджском, в 1937—1938 — в Брюссельском университетах.
Скончался в 1938 году от сердечного приступа.

Научная деятельность
Основные открытия Ландау относятся к аналитической теории чисел и комплексному анализу. Часть работ касается оснований математики.
Он исследовал распределение простых чисел и в 1909 году выпустил двухтомную монографию с первым систематическим изложением этой теории. Ландау сумел связать закон распределения простых чисел и распределение простых идеалов алгебраического числового тела. В 1912 году Ландау выступил в Кембридже на Пятом Международном конгрессе математиков (на котором был избран председателем). Он перечислил четыре важные нерешённые проблемы теории чисел, ни одна из которых не решена и по сей день.
Ландау внёс существенный вклад в исследование ζ-функции Римана. В 1930 году опубликовал книгу «Основания анализа» (Grundlagen der Analysis), которая считается классическим изложением предмета и в наши дни.
Имя Ландау носит доказанная им теорема об особых точках целых функций. В теории рядов Дирихле Ландау показал, что точка `s=sigma_0` является особой для функции `f(s) = sum_{n=1}^{\infty} {a_n}/{n^s}`, если `sigma_0` является абсциссой сходимости `f(s)`.
Независимо от аналогичного результата Рамануджана, доказал теорему о плотности сумм двух квадратов целых чисел.
В честь Эдмунда Ландау названа также функция Ландау.
Наиболее известными учениками Ландау были:

• Пауль Бернайс.
• Харальд Бор.
• Карл Людвиг Зигель.

Отличия и звания
В 1924 году Ландау был избран почётным членом Лондонского математического общества. Избран иностранным членом многих европейских Академий, в том числе иностранным членом-корреспондентом Российской академии наук (1924) и иностранным почётным членом АН СССР (1932).

Эдмунд Ландау и ферматисты
Ландау очень докучали «ферматисты» — дилетанты, пытающиеся доказать Великую теорему Ферма и получить назначенную за это доказательство крупную премию. Чтобы не отвлекаться от основной работы, Ландау заказал несколько сот бланков со следующим текстом:

« Уважаемый …! Благодарю Вас за присланную Вами рукопись с доказательством Великой теоремы Ферма. Первая ошибка находится на стр. … в строке … »

Находить ошибку и заполнять пробелы в бланке он поручал своим аспирантам.

Открытые вопросы в теории чисел (относительно простых чисел)
До сих пор существует много открытых вопросов относительно простых чисел, наиболее известные из которых были перечислены Эдмундом Ландау на Пятом Международном математическом конгрессе:

1. Проблема Гольдбаха (первая проблема Ландау): верно ли, что каждое чётное число, большее двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел, а каждое нечётное число, большее 5, может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел?
2. Вторая проблема Ландау: бесконечно ли множество «простых близнецов» — простых чисел, разность между которыми равна 2? (в 2013 году математик Чжан Итан (Yitang Zhang) из университета Нью-Гэмпшира доказал, что существует бесконечно большое количество простых чисел, расстояние между которыми не превышает 70 миллионов.)
   (Об этом в нашем сообществе писал  Alidoro: eek.diary.ru/p188414456.htm)
3. Гипотеза Лежандра (третья проблема Ландау): верно ли, что для всякого натурального числа n между n^2 и (n + 1)^2 всегда найдётся простое число?
4. Четвёртая проблема Ландау: бесконечно ли множество простых чисел вида n^2 + 1, где n — натуральное число?

Открытой проблемой является также существование бесконечного количества простых чисел во многих целочисленных последовательностях, включая числа Фибоначчи, числа Ферма и т. д.

Распределение простых чисел pn = f (Δsn); Δsn = pn+1² — pn². Δpn = pn+1 — pn; Δpn = 2, 4, 6, … .
«Dp txt2» участника Alexander Fedyainov (Александр Федяинов), [email protected] - собственная работа. Под лицензией CC BY-SA 3.0 с сайта Викисклада

«O» большое и «o» малое
С обеими о-нотациями можно разбираться достаточно долго.
Если кто-то совсем о них ничего не знает, рекомендую прочесть пару топиков в моем сообществе:
organon.diary.ru/p44753547.htm
organon.diary.ru/p44781216.htm
Если кто-то знает хоть что-то, то не читайте

Здесь я только приведу небольшую выдержку из Википедии, чтобы было понятно, какое отношение это имеет к Эдмунду Ландау.
***
Обозначение «„O“ большое» введено немецким математиком Паулем Бахманом (англ.) во втором томе его книги «Analytische Zahlentheorie» (Аналитическая теория чисел), вышедшем в 1894 году. Обозначение «„о“ малое» впервые использовано другим немецким математиком, Эдмундом Ландау в 1909 году; с работами последнего связана и популяризация обоих обозначений, в связи с чем их также называют символами Ландау. Обозначение пошло от немецкого слова «Ordnung» (порядок).

Пара ссылок
1. Эдмунд Ландау. Основы анализа
Эта книга есть у нас и на книжных полках: eek.diary.ru/p181572597.htm
2. Об Эдмунде Ландау я узнала из прекрасной книжки Джона Дербишира «Простая одержимость». Рекламировала ее уже многократно, но еще один раз не будет лишним. И не лишним будет сослаться на пост  Robot
eek.diary.ru/p145744595.htm

@темы: История математики, Люди

---

Сколько раз выполнится цикл

[consigned]

void f (int n)
{ for(int i = 1, int j = n; j > i; i <<= 1, j--); }

Я пришел к тому, что нужно искать наибольшее целое решение неравенства `2^i < n - i`, при котором цикл еще выполняется. Подскажите, как следует решать такие неравенства.

@темы: Программирование (тема закрыта

---

Тригонометрия, помогите решить уравнение

[annaizotova]

Помогите решить уравнение
`cos^4x+sin^4x-sin^2x+3/4sin^2 2x=0`
^-это степень

@темы: Тригонометрия, ЕГЭ

---

[Just Dumb]

`((8asqrta+bsqrtb)/(4sqrta+2sqrtb)-sqrt(ab))((4sqrta+2sqrtb)/(4a-b))^2;`
Не знаю даже, с какой стороны к этому подобраться... Слева ничего не раскладывается, cправа после возведения в квадрат тоже кошмар сплошной, и ничего не сокращается..

@темы: Тождественные преобразования

---

Гильбертово пространство?

[Команданте Роха]

Проверить, что при p != 2 L^p (X) - не гильбертово, где X - область в R^m
Единственная идея - что норма не порождается скалярным произведением. Но ведь это не доказательство.
Пример какой-то простой, мне так чуется, наверняка описан в литературе, подскажите, где искать, пожалуйста.
И вообще, как проверять гильбертовость пространства? Гипотетически, скалярное произведение можно подбирать среди большого диапазон функций, лишь бы условиям удовлетворяла. Значит, если я не могу подобрать нужное, это не доказательство принципиальной невозможности подобрать. А как быть?

@темы: Функциональный анализ

---

Додекаэдр

[wpoms.]

Правильный додекаэдр является правильным многогранником, образованным 12 равными пятиугольниками, 3 стороны которых сходятся в каждой вершине додекаэдра. Вычислите наиболее просто а) число вершин, б) число ребер, в) количество диагоналей всех сторон, г) число отрезков, определяемых всеми парами вершин, е) число диагоналей додекаэдра.

@темы: Стереометрия

---

Проблема с лёгеньким примером

[Scooma]

Доброго времени суток! Надеюсь, я пишу куда надо и оформила всё правильно, пока не освоилась в сервисе.

Задание из контрольной:
`int_(pi/4)^(pi/2) 4cos2xdx=`
Вот что получается у меня:
`int_(pi/4)^(pi/2) 4cos2xdx=2sin2*pi/2-2sin2*pi/4=2sinpi-2sin(pi/2)=0-2=-2`
Но в разборе приводится другое решение (смотрите на прикреплённой картинке), и мне непонятно, почему после вычисления первообразной пределы интегрирования меняются местами? В онлайн-сервисах по вычислению определённого интеграла так же получается 2, а не -2.
Знаю свойство, по которому при `b<a` нижний и верхний пределы интегрирования меняются местами вместе со сменой знака перед интегралом, но здесь ведь это свойство не идёт? Да и к тому же в разборе, поменяв пределы местами, знак не меняют.

Пожалуйста, помогите разобраться, что я делаю неверно

@темы: Интегралы

---

интеграл

[Thorax2014]

Привет всем! Хотел спросить, может ли кто найти нули первообразной (допустим, численно), если известна сама функция и пределы интегрирования (не вычисляя сам интеграл)?

@темы: Интегралы, Приближенные методы вычисления корней уравнений

---

[Just smile and wave, boys]

Алфутова Н. Б. Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. 3-е изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО, 2009. — 336 с.
rusfolder.com/42945501

@темы: Литература

---

Теория вероятности. Очень нужна помощь.

[charlotte21]

помогите решить. если знаете, напишите с какого это задачника.
спасибо заранее.=)


Плотность вероятности случайной величины Х равна
0, If x<0
P(X)= 1-x/2, if 0=2
Найти:
1) F(x)=?
2) Вероятность попадания случайной величины Х на участок (1;2).
3) Математическое ожидание.


p.s. как решать, даже приблизительно, не знаю.=(((

@темы: Теория вероятностей

---

Как найти угол треугольника зная координаты вершин?

[Znatok]

Помогите пожалуйста найти угол А в треугольнике с вершинами А(1;2√3), В(-1;0), С(1;0)

@темы: Аналитическая геометрия

---

Подскажите, пожалуйста

[julija-198027]

Найти уравнение перпендикуляра, проходящего через точку А(-3,-2,1) к прямой x+2\2=y-2\3=z-3\1. По какой формуле?

@темы: Аналитическая геометрия

---

Задача про биссектрисы треугольника

[alligator76]

Биссектрисы треугольника `ABC` `A A_1`, `B B_1` и `C C_1` пересекаются в точке `O`. Известно, что `(AO) / (OA_1)=5/1`, `(CO) / (OC_1)=5/4`. Точка `H` – пересечение отрезков `A_1 C_1` и `B B_1`. Найти `(C_1H) / (HA_1)`
(ответ: 3/2).

static.diary.ru/userdir/2/3/3/7/2337580/8250828...

Не могу понять, с чего начать решать. По свойству биссектрисы треугольника,
`(BA_1)/(CA_1)=(AB)/(AC)`.
Аналогично для остальных двух биссектрис.
Но в задаче даны именно "внутренние отношения", т.е., как мне кажется, нужно работать с треугольниками `AOC` и `A_1 O C_1`. Мне кажется, что эти треугольники подобны, но доказать это я не могу.

Прошу помощи.

@темы: Планиметрия, Олимпиадные задачи

---

Связь геометрических преобразований плоскости с комплексными числами

[Rogis]

Здравствуйте! Нужна информация о том, как связаны между собой геометрические преобразования плоскости (параллельный перенос на вектор, поворот вокруг точки на данный угол, гомотетия) с комплексной плоскостью. Мне объясняли так: если есть точка `z` на комплексной плоскости, то, например, перенос на вектор этой точки можно записать в виде функции как `f(z)=z+c`. То есть если точка `z=0+0i`, то отображение `f(z)=z+(5+4i)` переводит эту точку параллельным переносом в точку `z1=5+4i`. Если нужно повернуть на угол, то добавляется мнимая единица `i` (так мне сказали, но не понимаю почему). Где об этом можно подробно прочитать? И связано ли это как-то с уравнениями параллельного переноса, поворота, гомотетии на плоскости?

@темы: Планиметрия, Комплексные числа

---

[polinapolin]

Добрый вечер!
Такое задание:
Доказать, что `A=(sum_(i = 1)^(n)((x_i - bar(x))*y_i))/(sum_(i = 1)^n(x_i - bar(x))^2)` имеет асимптотически нормальное распределение.
Причем
`E(y_i) = 0` (1)
`var(y_i) = sigma^2` (2)
`E(y_i,y_j) = 0` при `i != j` (3)
Распределение `y_i` не зависит от `x_1^(j), ldots, x_n^(j)` для всех `j = 1, ldots, k` (4)
Также про `x` известно, что их значения извлечены случайным образом из некоторой генеральной совокупности и что они линейно независимы.

Думаю свести данное выражение к центральной предельной теореме. Но возникает вопросы:
Следует ли из условий (1) и (2), что случайные величины `y_i` одинаково распределены?
Следует ли из того, что `x_i` извлечены из одной генеральной совокупности, что они одинаково распределены?
Нужно ли преобразовывать выражение?

Заранее спасибо за помощь)

@темы: Теория вероятностей, Математическая статистика