Математическая олимпиада в Литве

[wpoms.]

Математическая олимпиада в Литве

Республиканская олимпиада школьников по математике Олимпиада проводится ежегодно в три этапа: школьный, региональный и национальный. Школьникам предлагаются разные комплекты заданий для каждого класса. Школьники 9-12 классов принимают участи во всех этапах, школьники 5-8 классов только в первых двух. Республиканская олимпиада: задачи

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[wpoms.]

66-я олимпиада, 3 этап, 2017 год

9-10 класс

1. Докажите, что `x^2 + xy^2 + xyz^2 + 4 \geq 4xyz` при `x,\ y,\ z \geq 0`.
обсуждение

2. Вокруг равностороннего треугольника ABC описана окружность. На меньшей дуге BC взята точка M, такая, что MB = 21, MC = 28. Отрезки AM и BC пересекаются в точке D. Найдите длину отрезка MD.
обсуждение

3. В таблице $7 \times 7$ ячеек записаны действительные числа, причём в каждом квадрате $3 \times 3$ и в каждом квадрате $4 \times 4$ ячейки произведение всех чисел равно одному и тому же числу $S.$ Может ли (при каком-то значении $S$) произведение всех чисел таблицы быть равно 2017?
обсуждение

4. Пусть четверка натуральных чисел $(a; b; c; d)$ удовлетворяет системе
`{(a*b - a - b = c + d - 3), (c*d - c - d = a + b - 3):}`
a) Найдите хотя бы две такие четверки.
b) Найдите все такие четверки.
обсуждение

11-12 класс

1. Найдите все действительные числа `x`, удовлетворяющие условию: если для действительных чисел выполняется неравенство `0 < a \leq b \leq c < a + b`, то выполняется и `x + c \leq (x + a)(x + b)`.
обсуждение

2. Дан треугольник $ABC,$ в котором $\angle A - \angle B = 90^\circ.$ Точка $D$ --- основание перпендикуляра, опущенного из вершины $C$ на прямую $AB,$ а $M$ --- середина стороны $AB.$ Докажите, что длина отрезка $MD$ равна длине радиуса описанной окружности треугольника $ABC.$
обсуждение

3. Бизнесмен подарил детям в детском саду 2000 воздушных шариков. Шарики были 20 разных цветов, по 100 каждого цвета. Директор детского сада раздала каждому из 100 детей, посещающих сад, по 20 шариков, при этом она не обращала внимание на их цвет. Дети захотели поменяться шариками так, чтобы у каждого из них были шарики всех 20 цветов. Директор разрешила любой паре детей меняться парой шариков (когда каждый из них получает шарик другого), но только при условии, что каждый из пары при обмене получает шарик того цвета, которого у него не было до обмена.
Определите, всегда ли, вне зависимости от начального распределения шариков, дети смогут, после конечного количества обменов, добиться желаемого?
обсуждение

4. Натуральное число $m$ называется подходящим, если для любых натуральных чисел $a$ и $b$ число $a^{2m} + b^{2m} + a^mb^m$ делится на $a^2 + b^2 + ab.$
a) Докажите, что число 2 является подходящим.
b) Является подходящим число 100?
c) Является подходящим число 101?
d) Найдите все подходящие числа.
обсуждение