Аналитическая геометрия

[linux_user]

У меня такая задача:
"Составить уравнение эллипса, для которого прямые x+y-1=0 и x-y+1=0 соответственно большая и малая оси, и длины полуосей которого a=2, b=1."

Вроде бы всё должно быть просто, но я никак не могу понять вот чего:
Вначале я нахожу новый центр эллипса. Это точка (0;1). После этого шага я получаю такое уравнение: (x^2) / (a^2) + ((y + 1)^2) / (b^2) = 1.
Дальше я понимаю, что оси эллипса повернуты на 45 градусов по отношению к оси ОХ. Мне, по сути дела, остается найти новые координаты центра через формулы поворота, но как это сделать напрочь не могу понять..

Скажите, пожалуйста, правильно ли я мыслю, и если да, то как же всё-таки мне доделать эту задачу?

З.Ы. на сколько я понял я должен прийти к немного изменённому каноническому уравнению.

@темы: Аналитическая геометрия, Линии второго порядка

Comments

[Robot]

Пожалуйста

[Robot]

Alidoro
да. я согласна
И я бы вообще раскрыла скобки..
Спасибо Вам.
Вообще, тяжелая тема.
Пыталась формулы обратного преобразования сейчас получить. Формально получаются, а сердце не лежит))

[linux_user]

Извините, что опять поднимаю данную тему, но нашей преподавательнице не понравился этот способ решения задачи... вот так. Она сказала, что решать надо было по-другому.. Используя расстояние между фокусами(!) При чем оно здесь? Говорит надо переделывать. Подскажите, пожалуйста, есть ли другой метод?

[Robot]

В принципе можно и через фокусы. Точка пересечения прямых

x+y-1=0 и x-y+1=0

центр эллипса.
На первой прямой находим две точки , которые удалены от центра на расстояние с ( c^2=a^2-b^2) - это фокусы F1 и F2
Эллипс тогда будет множество точек, сумма расстояний от которых до точек F1 и F2 есть величина постоянная, равная 2а

[linux_user]

Robot
Это я понимаю. Я имел ввиду, каким образом от этих фокусов можно перейти к уравнению эллипса в общем виде?

[Robot]

Эллипс тогда будет множество точек, сумма расстояний от которых до точек F1 и F2 есть величина постоянная, равная 2а

Точки вам будут известны
Пусть М(х,у) - точка эллипса. Записываете расстояние до F1, расстояние до F2
Записываете уравнение
первое+второе=2а
возводите в квадрат (предварительно, наверное, уединив корень)
По кр. мере так делается при выводе уравнения эллипса в общем виде.
Но там каноническая система. Как здесь получится. я не знаю

[Robot]

А вообще трудно сказать, что она имела в виду.

[linux_user]

Вот, что она написала мне в тетради:
c=sqrt(3)
F1(x0,y0) и F2(x1,y1) - фокусы
sqrt((x1-x0)^2 + (y1-y0)^2)=2*sqrt(3)
(x1+x0)/2 = 0
(y1+y0)/2 = 1
x1=-x0

[Robot]

Ну, это она ищет фокусы.
Этого кстати, недостаточно, потому что они должны лежать на прямой у=-х+1
Фокусы найти не проблема - даже проще можно.
Пусть F(x,-x+1) - фокус. Тогда расстояние до центра эллписа - точки (0,1) - равно sqrt(3)
Тогда sqrt(x^2+(-x-2)^2)=sqrt(3)
Отсюда находим х, для них у. Значит, фокусы будут найдены.

[linux_user]

Robot, а подскажите, пожалуйста, что мне даёт тот факт, что x1=-x0 при нахождении фокусов? я никак не могу понять, как же их всё-таки найти?

[Robot]

linux_user
Господи, я уж все задание забыла
Вам каким способом - моим или ее?
И только не сегодня. сейчас я ухожу уже.

[linux_user]

Robot, её способом.

[Robot]

По ее решению:
c=sqrt(3)
F1(x0,y0) и F2(x1,y1) - фокусы
sqrt((x1-x0)^2 + (y1-y0)^2)=2*sqrt(3)
(x1+x0)/2 = 0
(y1+y0)/2 = 1
x1=-xо
у1=2-уо
Сначала находим один из фокусов
подставляем
sqrt((-2хо)^2 + (2-2уо)^2)=2*sqrt(3)
sqrt((хо)^2 + (1-уо)^2)=sqrt(3)
(хо)^2 + (1-уо)^2=3
Но вы все равно отсюда ничего не найдете, потому что надо еще использовать тот факт, что фокусы лежат на прямой

x+y-1=0

. В своем решении я сразу это и использовала (только я там неправильно вычла)
Так как F1(x0,y0) лежит на прямой

x+y-1=0

, то уо=-хо+1
Подставляем (хо)^2 + (хо)^2=3
хо^2=3/2

Фокусы тогда получаются
F1((√6)/2; 1-√6)/2)
F1((-√6)/2; 1+√6)/2)
если не ошиблась нигде

[linux_user]

Robot
Спасибо большое, я вчера сидел, считал - получились, по-моему, такие же координаты. Только они меня немного смутили и подумал, что что-то неправильно... Сейчас попробую все-таки рассчитать расстояния (r1 и r2) и получить уравнение эллипса.