Аналитическая геометрия

[linux_user]

У меня такая задача:
"Составить уравнение эллипса, для которого прямые x+y-1=0 и x-y+1=0 соответственно большая и малая оси, и длины полуосей которого a=2, b=1."

Вроде бы всё должно быть просто, но я никак не могу понять вот чего:
Вначале я нахожу новый центр эллипса. Это точка (0;1). После этого шага я получаю такое уравнение: (x^2) / (a^2) + ((y + 1)^2) / (b^2) = 1.
Дальше я понимаю, что оси эллипса повернуты на 45 градусов по отношению к оси ОХ. Мне, по сути дела, остается найти новые координаты центра через формулы поворота, но как это сделать напрочь не могу понять..

Скажите, пожалуйста, правильно ли я мыслю, и если да, то как же всё-таки мне доделать эту задачу?

З.Ы. на сколько я понял я должен прийти к немного изменённому каноническому уравнению.

@темы: Аналитическая геометрия, Линии второго порядка

Comments

[Alidoro]

ИИзвините, но я не разобрался в том, что вы пытались сделать, поэтому предложу такой путь:

Вам надо построить новую систему координат, в которой уравнение эллипса будет иметь канонический вид, написать это уравнение, причем координаты будут относиться к новой системе и будут обозначены другими буквами, скажем ξ и η, потом найти, как ξ и &eta выражаются через координаты старой системы x, y, подставить эти выражения в уравнение и получить уравнение в переменных x, y.

[linux_user]

Alidoro, я попытался сделать то же самое, что Вы написали выше, только немного по-другому. Я решил сделать всё последовательно: 1. Найти координаты центра после параллельного переноса. 2. Из полученных координат с помощью формул поворота осей найти новые, которые затем собирался подставить в каноническое уравнение. Разве так нельзя?

[Гость]

А если сначала повернуть, а потом переносить?

[Alidoro]

Наверно можно. Но я не понимаю. Читаю: "Вначале я нахожу новый центр эллипса." Это как? Эллипс у вас уже определен, центр у него может быть один. Что значит новый? далее "я получаю такое уравнение: (x^2) / (a^2) + ((y + 1)^2) / (b^2) = 1." Откуда такое уравнение? Это не уравнение вашего эллипса, потому что ваш эллипс повернут, тогда что это? Такие вопросы можно задавать и дальше.

[linux_user]

В общем, у меня такой результат получился:
(((x + sqrt(2)/2)^2) / a^2 + (((y + sqrt(2)/2 -1)^2) / b^2 = 1

Так должно быть? По идее, должно быть правильно. Я сначала нашёл координаты после поворота, а затем параллельным переносом нашёл новые. В итоге центр эллипса такой: (sqrt(2)/2;sqrt(2)/2 -1).

P.s. уравнение немножко съехало..

[Robot]

Alidoro
Вы правы. Здесь как бы уже считается канонической система координат с осями и центром (0,1)

прямые x+y-1=0 и x-y+1=0

То есть для чистоты счета мы или должны начинать с переменных х и у и заканчивать x'',y'' или наоборот.
linux_user
Вы лучше обозначьте систему с осями

прямые x+y-1=0 и x-y+1=0

и центром (0,1) через X''O'Y" в этой системе у вас будет уравнение эллипса
(x''^2) / (a^2) + (y''^2) / (b^2) = 1
затем поверните систему на 45 градусов - получите систему X'O'Y'
x''=x'cosa-y'sina
y''=x'sina=y'cosa

затем перенесите систему координат - получите Вашу исходную ХОУ и уравнение отн. х и у

[Robot]

Для проверки

здесь
ndpar.by.ru/doc/geo/java/Canon2.html

[linux_user]

Так у меня правильно получилось? Подскажите пожалуйста..

[Robot]

Я не знаю, раскройте скобки и посмотрите.
я думаю, что нет, потому что формулы поворота не такие
Я вам их написала. (они связывают координаты до поворота (левый столбец) с координатами после поворота (справа) Обычно они записываются в других обозначениях - но главное знать где в старой, где новой)
а=2, b=1

[Alidoro]

> Так у меня правильно получилось? Подскажите пожалуйста.
Центр эллипса находится в точке (0,1), а у вас, как вы пишете, в точке (sqrt(2)/2;sqrt(2)/2 -1), кроме того из вашего уравнения следует, что центр эллипса находится еще в третьей точке. Само уравнение задает эллипс с осями параллельными осям координат, тогда как эллипс в задаче повернутый.

[Robot]

Alidoro
Я, кажется, поняла, что хочет linux_user
он хочет в каноническое уравнение эллипса
ξ^2/4+ η^2/1=1 подставить вместо ξ и η их выражения через х и у исходной системы координат
Если правильно записать преобразования координат (поворот, в частности), то, наверное получится.
только здесь именно ξ,η нужно правильно выразить через х и у

[linux_user]

Alidoro, так вот мне и хотелось бы толком понять как это - "Само уравнение задает эллипс с осями параллельными осям координат, тогда как эллипс в задаче повернутый." повлияет на запись канонического уравнения. В смысле как изменятся числители в формуле канонического уравнения.
Получается, что я в формулы не те числа подставляю? Я пытаюсь найти координаты центра эллипса в новой системе координат отталкиваясь от того, что координаты центра эллипса в старой системе координат такие: (0;0). Т.е. я беру вот такое уравнение: (x^2) / (a^2) + (y^2) / (b^2) = 1, из которого следует, что центр эллипс располагается в точке (0;0), и точку (0;1), которая является центром искомого эллипса в старой системе координат.
Затем по формулам поворота:
x'=x*cosa+y*sina
y'=-x*sina+y*cosa
Нахожу новые координаты ("повернутые"). Получаю такие: (sqrt(2)/2;sqrt(2)/2).
После этого, по формулам параллельного переноса:
x'=x-x0
y'=y-y0
Получаю конечные координаты: (sqrt(2)/2;(sqrt(2)/2)-1), которые затем подставляю в само каноническое уравнение.

Ну неужели задача настолько сложная, что я её понять не могу..

[linux_user]

Robot, вы совершенно правы.

[Robot]

Но не так вы делаете

Здесь (хо,уо) - координаты нового центра в старой системе координат (вроде так)
У нас старая - это нормальная с х и у, а новая - это, в которой уравнение эллипса ξ^2/4+ η^2/1=1
Так вот вы из формулы скана наоборот должны новые выразить через старые
типа
ξ=(1/√2)(x+y) и т.д.
(по-видимому так -очень сложно в обратном направлении идти).

Вот нормальным способом решается в пять минут
А из-за этого способа столько сложностей

[Alidoro]

Не пойму вас, что такое старая система, что такое новая? Почему вы ничего не описываете? Я знаю одну систему - это исходная система с координатами x y и один эллипс, который в задаче описан с использованием этой единственной системы координат. Далее вы вводите новые системы координат. Опишите их, где находится начало координат, как направлены оси, какими буквами обозначены координаты в этой системе. Потому что непонятна же фраза "отталкиваясь от того, что координаты центра эллипса в старой системе координат такие: (0;0)" если старая система это исходная, то координаты центра эллипса в ней вовсе не такие.

Объясняю теперь моё "Само уравнение задает эллипс с осями параллельными осям координат, тогда как эллипс в задаче повернутый." Вы в посте выше в качестве ответа привели уравнение эллипса в переменных x y, т. е. в исходной системе координат. Из вашего уравнения (((x + sqrt(2)/2)^2) / a^2 + (((y + sqrt(2)/2 -1)^2) / b^2 = 1 следует, что оси эллипса расположены параллельно осям исходной системы координат. А в задаче вам был описан эллипс с повернутыми осями. Вот я вам и намекнул, что ответ неправильный. Кроме того по этому уравнению можно определить центр эллипса. Он отличен от того, который указан в задаче (0,1) и от того, который вы немного ниже приводите в том же посте "В итоге центр эллипса такой: (sqrt(2)/2;sqrt(2)/2 -1)." Ниже в другом посте вы спросили "Так у меня правильно получилось? Подскажите пожалуйста." Вот на этот вопрос я и попытался ответить.

Напоследок обращаю ваше внимание на то, что я отвечаю на ваши вопросы, а вы на мои вопросы не отвечаете, а приводите еще более непонятные тексты.

[linux_user]

Robot, большое спасибо за уделённое мне время Сейчас попробую Вашим способом. Я так понимаю, что вот этим:

"linux_user
Вы лучше обозначьте систему с осями прямые x+y-1=0 и x-y+1=0 и центром (0,1) через X''O'Y" в этой системе у вас будет уравнение эллипса
(x''^2) / (a^2) + (y''^2) / (b^2) = 1
затем поверните систему на 45 градусов - получите систему X'O'Y'
x''=x'cosa-y'sina
y''=x'sina=y'cosa

затем перенесите систему координат - получите Вашу исходную ХОУ и уравнение отн. х и у"

[linux_user]

Alidoro, т.е. насколько я понимаю, каноническое уравнение подходит только для случая когда оси эллипса либо совпадают с осями координат, либо параллельны им. Так?
Просто нам в универе вообще не объясняли ничего..

[Alidoro]

Уравнение эллипса принимает канонический вид если система координат выбрана специальным образом: Ось х проходит по большой оси эллипса, т.е. через оба фокуса, а ось y перпендикулярно оси x по малой оси эллипса, то есть через середину отрезка соединяющего фокусы.

[Robot]

Каноническим считается уравнение эллипса в системе координат, начало которой совпадает с центром эллипса, а оси направлены по большой и малой оси эллипса.
(у вас сейчас как бы обратная задача стоит: всегда дают уравнение эллипса не в канонической системе координат и нужно так повернуть систему и перенести, чтобы стало канонической
А у вас наоборот.
Но если пользоваться стандартным подходом, то те же самые преобразования делаете, только в других обозначениях..
Если же вашим способом, то вы должны подставить в ξ^2/4+ η^2/1=1
ξ=(1/√2)(x+y-1)
η=(1/√2)(-x+y-1)
(по-видимому , тут нужно думать - могу ошибаться)

[Robot]

Для нашего эллипса каноническая Х"O'Y" O'(0,1) в ней уравнение известно
Затем систему поворачиваем на 45 против часовой X'O'Y'
пишем уравнение в ней
Затем переносим - пишем уравнение в ней.
(можно и сразу, как советовал Алидоро использовать связь между x",y" и х и у
Но там счет похуже.

[linux_user]

Robot, огромнейшее спасибо! Сейчас попробуем.

[linux_user]

Robot
Я правильно Вас понимаю, что после поворота должны получиться такие координаты:
x' = ((корень из двух) /2 ) * (x'' - y'')
y' = ((корень из двух) /2 ) * (x'' + y'')
Или тут чего то не хватает?

После переноса:
x = ((корень из двух) /2 ) * (x'' - y'') + 0
y = ((корень из двух) /2 ) * (x'' + y'') + 1

[Robot]

linux_user
При способе Алидоро и моем
Х"O'Y" старая система координат (x",y" - старые координаты) - в этой системе уравнение известно)
X'O'Y' новая система координат (x',y' - новые координаты)
Старые координаты в формуле преобразований пишутся слева, новые справа
угол поворота 45 против часовой стрелки - то есть положительный cos45=sin45=(корень из двух)/2=1/√2
поэтому
x''=x'cosa-y'sina
y''=x'sina+y'cosa
и
x''=1/√2(x'-y')
y''=1/√2(x'+y')

[Robot]

Потом у вас будет уже X'O'Y' старая система координат (x',y' - старые координаты)
XOY новая
x'=x
y'=y-1 (потому что в системе Х'О'У' точка О имеет координаты (0,-1)
==
и вот у вас было уравнение
(x''^2) /4 + (y''^2) /1 = 1
и вы сначала подставляете и получаете уравнение относительно x',y'
А затем подставляете вместо x',y' их выражения отн. х и у и получате уравнение в нашей системе координат ХОУ

[Robot]

Можно и сразу.только считать, наверное похуже)
x''=1/√2(x-y+1)
y''=1/√2(x+y-1)

[Robot]

Дело в том, что в системе координат X"O'Y" - точка О имеет координаты не (0,1)

[linux_user]

В общем, я посчитал и думаю, что это, наконец, будет правильное уравнение:
0,5*(x-y+1)^2 / 4 + 0,5*(x+y-1)^2 / 1 = 1

[Robot]

я думаю, что лучше бы раскрыть скобки.
А так, да.
лучше бы только (x-y+1)^2 /8 + (x+y-1)^2 /2 = 1

[Alidoro]

У меня ответ такой же. Наверно нет нужды сохранять свободный член единицей, поскольку знаменатели под квадратами все равно потеряли свой физический смысл квадратов полуосей. Домножить все на 8 да и дело с концом.

[linux_user]

Robot, спасибо вам огромнейшее даже не верится, что ещё есть такие люди, которые вот так запросто могут помочь другим.