Проверьте,пожалуйста

[Tanawww]

Примечание Robot:
Поднимаю. Проверьте, пожалуйста, кто в том смыслит...



Уважаемые эксперты,добрый вечер!
Проверьте,пожалуйста мое решение, я кое в чем плохо разбираюсь))
Надо до понедельника.

(В коментариях еще одна страничка)

запись создана: 05.04.2008 в 22:14

@темы: Кратные и криволинейные интегралы, Интегралы, Дифференциальные уравнения

Comments

[Tanawww]

вот еще

[Trotil]

Мелковато.
Сделайте покрупнее.

[Robot]

Trotil
Я укрупнила
Как теперь?

[Хранитель печати]

первое по виду решено верно. Буковки таки маловаты, чтобы проверить числа, но все шаги выполнены.
1. Составлено характеристическое уравнение матрицы системы
2. Раскрыт определитель
3. Определены собственные векторы матрицы для каждого значения константы.
4. Получена фундаментальная система решений

[Хранитель печати]

2. На участке CA: y=1-x

[Tanawww]

Хранитель печати
В первом я более-менее уверена)

. На участке CA: y=1-x

Тогда все равно dy=dx? А само решение верно? Ноль может быть?

[Хранитель печати]

Tanawww
Тогда dy = - dx
Ход решения верный. Ноль там не получится. Вместо y вы будете подставлять (1-dx). Вот единичка не сократится ни с чем :-)

[Tanawww]

Хранитель печати

Вместо y вы будете подставлять (1-dx).

Точно)))
Последние две задачки наверное вообще не видно. Я их получше сделала. Посмотрите пожалуйста))

[Trotil]

А сроки какие?

[Tanawww]

Trotil

А сроки какие?

До вторника))

[Tanawww]

Вообще конечно желательно до понедельника, но еще день допускается)

[Tanawww]

Хранитель печати

Тогда dy = - dx
Ход решения верный. Ноль там не получится. Вместо y вы будете подставлять (1-dx). Вот единичка не сократится ни с чем :-)

Что-то не поняла. Почему вместо у надо подставлять (1-dх), а не (1-х)?

[Хранитель печати]

Tanawww опечатка у меня. (1-x), конечно.
В течение дня посмотрю остальные. Спасибо за более крупные сканы.

[Trotil]

Последний:

после подстановки и упрощения у меня получилось r^2 = 3*a^2 * cos^2(t)*(1+cos^2(t))

Это два эллипса по разную сторону оси Оу (общая точка - центр координат)

Площадь подсчитывается по формуле

Неопределенный интеграл равен



Но что-то мне это не нравится, если честно, в решении...

[Tanawww]

Хранитель печати
Это вам спасбо!!!))))

[Tanawww]

Trotil

Неопределенный интеграл равен

То есть это ответ? Что-то длинный)

[Trotil]

То есть это ответ? Что-то длинный)

Ну его нужно подсчитать при нужных альфа и вета - ответ - это число, площадь.
Еще мне не нравится, что я считал через обычный интеграл, а не через двойной.

Короче, нужно проверить.
Эту тему я плохо помню...

[Tanawww]

Хранитель печати
Я все про криволинейный интеграл)))
Если подставлять с отрезке СА, то получеется ИНТЕГРАЛ dx/x^2 + (1-x)^2) => I=-arctg (1-2x)
Если о 0 до 1 , то -arctg(1)+ arctg(-1) = -2. Так?

[Trotil]

Занимаюсь задачкой 383. Где-то через час напишу, что получилось. Задача несложная.

[Tanawww]

Trotil

Занимаюсь задачкой 383. Где-то через час напишу, что получилось. Задача несложная.

СПАСИБО!!!

[Trotil]

383, часть первая. Рисунок.

z = 0 - это плоскость x0y
x^2 +y^2 = 4 - это цилиндр радиуса 2
z = 4 - x - y - это плоскость, ограничивающая тело сверху

Линия пересечения x^2 +y^2 = 4 и z=0 - окружность в плоскости x0y
Линия пересечения цилиндра и z = 4 - x - y - это эллипс.

В результате нам нужно подсчитать объем вот такого тела:
mathworld.wolfram.com/CylindricalSegment.html
(первый рисунок)

Найдем для построения точки вершин этого эллипса.

Здесь нужно понять, как проходит плоскость z = 4 - x - y

Заметим, что при z=0 плоскость превращается в прямую 0 = 4 - x - y (или y = 4 - x) - линия уровня z=0
Эта линия не пересекается с окружностью.

Если мы будем делать такие срезы на z=1, z = 2 и т.д., можно увидеть, что прямая будет постепенно приближаться к окружности, на некотором уровне ее коснется, далее будет иметь пересечение в двух точках, и наконец выйдет из нее.

Можно определить, что на уровне z0 = 4 - 2sqrt(2) плоскость коснется цилиндра в точке (sqrt(2), sqrt(2), 4 - 2sqrt(2)), прямая y = -x на уровне z0=4 будет малой осью эллипса, а в точке (-sqrt(2), -sqrt(2), 4 + 2sqrt(2)) плоскость выйдет из цилиндра.

Этих данных вполне достаточно для рисунка, если нужно будет - я напишу, как найти эти точки.

И кстати, по этим данным можно заранее узнать объем.

mathworld.wolfram.com/CylindricalSegment.html

По формуле (1), зная высоты, получается, что объем будет равен (1/2) * Pi * 2^2 * ( 4 - 2sqrt(2) + 4 + 2sqrt(2)) = 16 Pi.

Теперь это самое значение нужно получить через интегралы.

[Trotil]

У вас ошибка номер 1:

интегралы от нуля, а нужно от противоположной координаты

Ошибка номер 2: интеграл по dy будет равен (4-x)y - y^2/2

вот этот кусок: y^2/2 уничтожится, когда мы будем подставлять пределы интегрирования sqrt(4-x^2) и -sqrt(4-x^2)

А первый - останется:

sqrt(4-x^2) * (4-x) - (-sqrt(4-x^2)) * (4-x) = 2 sqrt(4-x^2) ( x - 4).

В результате нужно будет найти интеграл от x:



(сразу с ответом, подсчитал в мат. программе)

Действительно, получилось 16 Pi.

Если что-то непонятно, могу расписать подробнее.

[Tanawww]

Trotil

Этих данных вполне достаточно для рисунка, если нужно будет - я напишу, как найти эти точки.

Да,напишите, пожалуйста, не помешает=)))

[Tanawww]

Trotil
А еще,если не сложно, можно весь интеграл, он же тройной?

[Trotil]

А еще,если не сложно, можно весь интеграл, он же тройной?

А тоже самое, что и у вас, только пределы интегрирования другие.

от -2 до 2
от - sqrt(4-x^2) до sqrt(4-x^2)
от 0 до 4 - x - y

[Trotil]

Да,напишите, пожалуйста, не помешает=)))

Прямая, параллельная y = 4 - x должная быть касательной окружности, а значит перпендикулярна ее радиусу.
Из этого утверждения и геометрических соображений вытекает, что это точка, где x=y, т.е. x^2 + x^2 = 4 => x = sqrt(2) и точка касания - это (sqrt(2),sqrt(2),z)

z = 4 - x - y = 4 - sqrt(2) - sqrt(2) = 4 - 2sqrt(2)
Нашли z-координату точки касания.

Аналогично с другими точками.
Противоположная граничная точка (-sqrt(2),-sqrt(2),z)
z = 4 - x - y = 4 + 2sqrt(2)

Малая ось - это когда сечение проходит через диаметр окружности. Это будет y=-x (ну и при этом z = 4)

[Tanawww]

Trotil
Спасибо! Сейчас буду разбираться))

[Tanawww]

Trotil
Разобралась=))

[Trotil]

Кстати, для последнего интеграла можно и не искать неопределенный вид.

Мысли:

1) 2*(4-x)sqrt(4-x^2) распадается на два: 8*sqrt(4-x^2) и -2x*sqrt(4-x^2)
2) Определенный интеграл -2x*sqrt(4-x^2) будет равен 0 (ф-ция нечетна)
3) 8*sqrt(4-x^2) - это будет 8 * половинку площади окружности радиуса 2 = 8 * (1/2) * Pi * 2^2 -= 16 Pi.

[Tanawww]

Trotil
Спасибо=)
PS:Эх, мне бы так шарить в математике, и в интегралах в частности))))