[Паломник Оптимизма!]

Помогите пожалуйста с диффурами. Пропустил последние две пары. Некоторые задания понять не могу как они теоретически решаются, даже с помощью учебников.
Решать не надо, просто скажите каким образом. И проверьте пожалуйста ответы мои.

Уже проверены

1) Решить линейные однородные уравнения:
a) y" + 3y' + 2y=0
Ответ: y=Ce^(-2x) + Be^(-x)

b) y" + 2y' + 5y=0
Ответ: y=Ce^((-1-2i)х) + Be^((-1+2i)х) = ... ? Нужно избавится от i. В синус или косинус перевести как-нить.

c) y" - 6y' + 9y=0
Ответ: y=(C+Bx)e^(3x)

d) y"' + 3y" - 4y=0
Ответ: y=Ce^x + (B+Dx)e^(-2x)

e) y"" + 6y"' + 12y" + 8y'=0
Ответ: y=C + (B+Dx+Ax^2)e^(-2x)

f) y"" + 18y" + 81y=0
Ответ: y=(C+Bx)e^(3ix) + (D+Ax)e^(-3ix) = ... ? Нужно избавится от i. В синус или косинус перевести как-нить.



2) Решить линейные неоднородные уравнения:
а) y" - y=(e^x)*cosx
Решение получается дюже страшным. Нашел общее решение y=Ce^x + Be^(-x). Затем частное нашел: у=x(Acosx+Bsinx)e^x. От частного брать вторую производную конечно можно, но шописец долго. Мне проще поверить, что я где-то ошибся. Ведь ошибся, правда?

Проверены не до конца

b) y" + 2y' - 3y=2cosx - 8xe^(-3x)
Ответ получился: y=Ce^((-1+2*SQRT(2)i)x) + Be^((-1-2*SQRT(2)i)x) + cosx + sinx + (8x/9 +2/9)e^(-3x) ... (О_о)

c) y" + 4y=4xe(-2x) - sin2x
Ответ получился: y=Ce^(2ix) + Be^(-2ix) + (4x-2)e^(-2x) + 2cos(2x) - sin(2x) = ... ? Нужно избавится от i. В синус или косинус перевести как-нить.

d) y" + 6y' + 9y=36xe^(3x)
Ответ получился: y=(C+Bx)e^(-3x) + (4x+4/9)e^(3x)

Уравнения, которые не знаю как решить
3) Методом вариации постоянных решить уравнения:
a) y" - 3y' + 2y=1/(1+e^x)

b) y" - 2y'=5(3-4x)SQRT(x)

c) y" - 4y' + 4y=2e^(2x) / (1+x^2)
Метод вариации я вроде припоминаю, что это значит найти общее решение и его подставив в уравнение найти частное. Только во всех трех случаях у меня константы сокращаются и получается что-нибудь вроде х=х в извращенных варициях.

4) Решить при х>0 уравнения Эйлера:
a) y"x^2 - 2y=-2x^3

b) y"x^2 - 6y=-16x^3

c) y"(x-2)^2 - 3(2x+3)y' + 4y=x

4) Построить линейные однородные диффиринциальные уравнения с постоянными коэффициентами (возможно более низкого порядка) имеющие данные частные решения:
a) y1=x*sinx

5) При каких а и b уравнение y" + ay' + by=0 имеет хотя бы одно решение y(x) не тождевственное нулю стремящееся к нулю при х стремящееся к положительной бесконечности?

6) При каких k и w уравнение y" + y*k^2=sin(wt) имеет хотя б одно переодическое решение?

Срок - ближайшие двенадцать часов.


Примечание Robot: Может есть спецы по дифурам?

@темы: Дифференциальные уравнения

Comments

[Гость]

Метод вариации я вроде припоминаю, что это значит найти общее решение и его подставив в уравнение найти частное. Только во всех трех случаях у меня константы сокращаются и получается что-нибудь вроде х=х в извращенных варициях.


Да, надо найти общее решение однородного уравнения, но потом считать что произвольные постоянные - не константы, а неизвестные функции. Подставить это решение в неоднородное уравнение и найти эти функции.

[Паломник Оптимизма!]

Значит теоретически я все правильно делаю. Но вот к примеру после всех манипуляций в первом примере у меня получается -e^x-e^(2x) = 1/(1+e^x)

[Robot]

1) Решить линейные однородные уравнения:
a) y" + 3y' + 2y=0
Ответ: y=Ce^(-2x) + Be^(-x) -правильно

b) y" + 2y' + 5y=0
Ответ: y=Ce^((-1-2i)х) + Be^((-1+2i)х) = ... ? Нужно избавится от i. В синус или косинус перевести как-нить.
См. формулы ниже y=e^(-x)(Ccos2x+Bsin2x)

c) y" - 6y' + 9y=0
Ответ: y=(C+Bx)e^(3x) правильно

[Паломник Оптимизма!]

Хм. А мне сказали, что формула такая:
y = C*a*e^(-ixb) + D*a*e^(ixb)
И она переходит в:
y = C*e^(ax)cos(bx) + D*e^(ax)sin(bx)

[Robot]

За что купила, за то и продаю. Видишь в книжке как...
d) y"' + 3y" - 4y=0
Ответ: y=Ce^x + (B+Dx)e^(-2x) правильно

e) y"" + 6y"' + 12y" + 8y'=0
Ответ: y=C + (B+Dx+Ax^2)e^(-2x) правильно

f) y"" + 18y" + 81y=0
Ответ: y=(C+Bx)e^(3ix) + (D+Ax)e^(-3ix) = ... ? Нужно избавится от i. В синус или косинус перевести как-нить.

Здесь характеристическое уравнение имеет двукратный корень 3i и двукратный корень -3i

y=Acos3x+Bsin3x+Cxcos3x+Dхsin3x

[Robot]

Вот переход от твоей формуле к данной

[Паломник Оптимизма!]

Вот мне тута подсказали, что не надо было в 2) а) в частном домнажать на х.
Тогда у меня ответ получился y = C*e^x + B*e^(-x) + (sinx*e^x)/2

[Robot]

Паломник Оптимизма
Да, не надо было

[Паломник Оптимизма!]

Robot а ответ верный?

[Robot]

Паломник Оптимизма
Вообще у меня как то- не так
Напиши основные вехи своего решения

[Паломник Оптимизма!]

Корни уравнения -1 и +1
Yобщее = C*e^x + B*e^(-x)
Yчастное = (Acosx + Bsinx)e^x
y''= {(Acosx + Bsinx)e^x + (-Asinx + Bcosx)e^x}' = (2B*cosx-2A*sinx)e^x
подставим, получим:
(2B-A)cosx + (-2A-B)sinx = cosx
получим систему
2B-A=1
-2A-B=0

A = -1/5
B = 2/5

Оппа. Ошибку нашел.
Ну теперь так?

[Паломник Оптимизма!]

Кстати, решал заново второе из второго получил странную вещь

Общее уравнение получилось y = e^(-x)(C*cos(2SQRT(2)x + B*sin(2SQRT(2)x))
Частное решение относительно косинуса решил и подставил получил:
y = -cosx/4 + sinx/2

А вот частное относительно -8хe^(-3x) у меня недополучилось.
y = A*e^(-3x)
y'' = {-3A*e^(-3x)}'= 9A*e^(-3x)

При подстановке все сокрашается и получается 0 = -8x*e^(-3x)
И что делать дальше?

[Robot]

Паломник Оптимизма

A = -1/5
B = 2/5

Да у меня так))

[Robot]

y" + 2y' - 3y=2cosx - 8xe^(-3x)
Ответ получился: y=Ce^((-1+2*SQRT(2)i)x) + Be^((-1-2*SQRT(2)i)x) + cosx + sinx + (8x/9 +2/9)e^(-3x) ... (О_о)

y" + 2y' - 3y=0
Корни характеристического уравнения 1 и -3
???

[Паломник Оптимизма!]

Robot невнимательность значит. Туплю над этими примерами уже 9 часов О_о с перерывами.

Перерешал третий из второго.
Опять какой-то лаг.
Общее решение у меня:
y = C*cos(2x)+B*(sin2x)

Частное решение относительно 4хе^(-2x):
y = A*e^(-2x)
y"= {-2A*e^(-2x)}' = 4A*e^(-2x)
Подставляю получаю А = x/2
Константа не может зависеть от х. Значит надо было исходное частное уравнение домнажать на х, Но только почему?

И второе частное, тоже надо домнажать. Но там оно и понятно - так как корни совпадают.

[Паломник Оптимизма!]

Robot ээ точно. Ну хорошо, общее исправил, а что делать то с частным со вторым?

[Robot]

Второе второе

y = -cosx/4 + sinx/2

Что-то у меня опять не так.
Общий вид частного решения у тебя какой?

[Паломник Оптимизма!]

y'' = {Acosx + Bsinx}" = {-Asinx + Bcosx}' = -Acosx - Bsinx
-Acosx - Bsinx -2Asinx + 2Bcosx - 3Acosx - 3Bsinx = 2cosx
cosx*(-4A+2B) + sinx*(-4B-2A) = 2cosx
-4A+2B=2
-4B-2A=0

A=-1/4
B=1/2

Вроде все правильно ?

[Robot]

[Паломник Оптимизма!]

Мм.. А на пальцах можно? В конкретных примерах?

[Robot]

-4A+2B=2
-4B-2A=0

А=-2В, 8В+2В=2 В=1/5, А=-2/5

[Паломник Оптимизма!]

Robot ага.
Что делать со вторым частным? Все сокращается у меня.

[Robot]

Я дифуравнения знаю не лучше тебя - вот сижу, по книгам разбираюсь.
2/2
y" + 2y' - 3y=2cosx - 8xe^(-3x)
Один из корней характеристического уравнения равен -3
Ищем частное решение относительно -8xe^(-3x)
Оно имеет вид 11.50: многочлен степени 1, а=-3, b=0
И видишь там фигурирует число z =а+bi=-3 в нашем случае
Так как у нас один из корней характеристического уравнения с этим числом совпадает, то есть к=1, то частное решение должно иметь вид
у*=x*e^(-3x)(Ax+B)
Вроде так

[Паломник Оптимизма!]

А=1, B = 1/2 ?

[Robot]

В 2c) общее ты нашел правильно (корни характеристического уравнения +-2i)
Я не понимаю, почему ты частное для 4хе^(-2x) ищешь в таком виде (Здесь z не совпадает с корнями характеристического уравнения)
Искать надо по формуле e^(-2x)P1(x), где Р1 - многочлен первой степени
то есть y*=(Ax+B)e^(-2x)
А вот для - sin2x - это функция вида 11. 53 a=0,b=2,z=2i
Значит, один из корней совпадает с z, поэтому к=1 и частное решение имеет вид
y*=x(Acos2x+Bsin2x)
~~~
Но это подход, взятый в данной книжке
У вас может все по-другому

[Паломник Оптимизма!]

Я решал по Романко. А ты по какому учебнику?
А на счет Ах+В - это я все время забываю что многочлен первой степени не А.

[Robot]

А=1, B = 1/2 ?
Это ты к чему???
По Рябушко смотрю

[Паломник Оптимизма!]

Robot Это я к предыдущему посту с у*=x*e^(-3x)(Ax+B)
Ну т.е. я решил и подставил и теперь вот вопрошаю - правильно я решил или опять где-нить очепятался.

[Robot]

У тебя в 2d опечатки нет?

[Паломник Оптимизма!]

Нет в 2d опечатки не нашел.

Ответ на 2с - частное решение для 4ху^(-2x) А=1/2 B = 1/4
частное решение для -sin2x A=1/4 B = 0 ?