Аналитическая геометрия

[Forever dream]

Примечание Robot: поднимаю повыше, может у кого-то есть настроение вспомнить анал.геом.) (плюсиком отмечены задания, где указания уже даны)

Очень нужна помощь. до 20-25 ноября.
Условия (жутко извиняюсь за почерк):
№2+
Из начала координат направлен луч под углом п/4 к прямой L. Найти точку пересечения луча, отраженного от L, с Оy.
L: 5x-3
№3+
Найти координаты всех вершин тр-ка ABC, уравнения всех его сторон и высот, если заданы некоторые его параметры:
высоты: x+5y-3=0, 3x-y-1=0 и сторона, пересекающая их в вершинах: x+3y-1=0
№4+
Выяснить, лежат ли данные прямые в одной плоскости и если да, то написать уравнение этой плоскости, в противном случае написать уравнение плоскости, содержащей первую прямую и параллельную второй.
L1: (x-1)/2=(y-4)/3=(z+2)/-4 L2: (x+1)/2=(y-3)/4=z
№5 +
Найти точку, симметричную точке М(1,0,1) относительно плоскости: 2x-y+3z+1=0
№6+
Описать взаимное расположение прямых в пространстве.
L1: (x+2)/1=y/2=(z-2)/1 L2: 2x+y-4z-6=0
x-y+z+3=0
№7+
Найти все единичные векторы пространства, которые компланарны плоскости п и перпендикулярны данному вектору a:
п: 2x-5y+z-3=0; a(1;1;1; )
№8+

Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, построить новую и старую системы координат и саму кривую.
(ур-ие на скане указано)
№9 +
Привести к каноническому виду и построить поверхность:
(уравнение на скане)
Скан


в №6 L1: (x+2)/1=y/2=(z-2)/1


заранее благодарю!

запись создана: 08.11.2007 в 09:48

@темы: Аналитическая геометрия, Векторная алгебра

Comments

[Хранитель печати]

Forever dream пожалуйста, увеличьте разрешение скана минимум в два раза. И ... да, какие пункты вызывают у Вас затруднения? Спасибо

[Renaissance_Art]

Хранитель печати можно иначе)) пусть зальет в инет диктофонную запись с чтением вслух условий))

вообще, насколько понимаю, стандартные номера из курса аналитической геометрии. вроде проблем, кроме нечитабельности условий, нет

[Хранитель печати]

Renaissance_Art ну да, я буковки не все вижу

[Robot]

10. Поскольку коэффициенты при неизвестных в уравнениях плоскостей непропорциональны, то плоскости попарно пересекаются
Остается решить систему из трех уравнений, чтобы выяснить имеют ли они все три единств общую точку, пересекаются ли по прямой или общих точек нет


И я тоже ничего не могу разобрать в тексте

[Dieter Zerium]

Forever dream
Будь любезна, набери в математическом редакторе. Мы не обязаны разбирать твои каракули, тем более, уменьшенные.

[Forever dream]

Условия (жутко извиняюсь за почерк):
№2 Из начала координат направлен луч под углом п/4 к прямой L. Найти точку пересечения луча, отраженного от L, с Оy.
L: 5x-3
№3
Найти координаты всех вершин тр-ка ABC, уравнения всех его сторон и высот, если заданы некоторые его параметры:
высоты: x+5y-3=0, 3x-y-1=0 и сторона, пересекающая их в вершинах: x+3y-1=0
№4
Выяснить, лежат ли данные прямые в одной плоскости и если да, то написать уравнение этой плоскости, в противном случае написать уравнение плоскости, содержащей первую прямую и параллельную второй.
L1: (x-1)/2=(y-4)/3=(z+2)/-4 L2: (x+1)/2=(y-3)/4=z
+ №5
Найти точку, симметричную точке М(1,0,1) относительно плоскости: 2x-y+3z+1=0
+№6
Описать взаимное расположение прямых в пространстве.
L1: (x+2)/1=y/2=(z-2)/1 L2: 2x+y-4z-6=0
x-y+z+3=0
+№7
Найти все единичные векторы пространства, которые компланарны плоскости п и перпендикулярны данному вектору a:
п: 2x-5y+z-3=0; a(1;1;1; )
№8
Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, построить новую и старую системы координат и саму кривую.
(ур-ие на скане указано)
№9
Привести к каноническому виду и построить поверхность:
(уравнение на скане)

Ещё раз жутко изивиняюсь! стило сразу так сделать.

[Robot]

6.

[Robot]

Для первой прямой s1(1,2,1), M1(-2,0,2)
Встает задача записать каноническое уравнение второй прямой, которая пока задана как линия пересечения двух плоскостей
Это делается так:

[Robot]

Эти подсказки должны помочь. Попытайтесь сделать по указанному здесь плану и приведите свои ответы -я проверю

[Robot]

№7
Найти все единичные векторы пространства, которые компланарны плоскости п и перпендикулярны данному вектору a:
п: 2x-5y+z-3=0; a(1;1;1; )

Пусть искомые векторы с(x,y,z)
Так как они компланарны плоскости п, то они перпендикулярны (ортогональны) вектору нормали этой плоскости (вектор нормали n плоскости Ax+By+Cz+D=0 имеет координаты n (А,В, С))В нашем случае это вектор n(2, -5,1)
Условие перпендикулярности (скалярное произведение равно 0)
2x-5y+z=0
Аналогично с должен быть перпендикулярен вектору a(1;1;1; )
Условие перпениидкулярности
x+y+z=0
И последнее - длина вектора с должна равняться 0
sqrt(x^2+y^2+z^2)=1
Остается решить систему выделенных уравнений

[Robot]

№5
Найти точку, симметричную точке М(1,0,1) относительно плоскости: 2x-y+3z+1=0

Вот пример

из которых М2(8,-2,0)

[Robot]

В нашем случае искомая точка М2 лежит на прямой, проходящей через точку М и перпендикулярной данной плоскости, то есть ее направляющим вектором является вектор нормали к данной плоскости n(2,-1,3), то есть каноническое уравнение этой прямой
х-1/2=у/(-1)=z-1/3
Параметрические
х=1+2t
y=-t
z=1+3t
Найдем точку пересечения О этой прямой с данной плоскостью 2x-y+3z+1=0
для этого решаем их совместно с данным уравнением плоскости (то есть подставляем их в уравнение плоскости) находим t, а затем и значения х,у,z
О середина отрезка ММ2. Далее как в образце

[Robot]

В задании 9 поможет следующий пример и таблица



В Вашем случае плохо видно + или - стоит перед z^2, поэтому не рискую продолжать

[Forever dream]

Robot
огромное спасибо!

3. находим пересечение высот и известной стороны:
для одной из высот: 3x-y-1=0 и x+3y-1=0
3x - y - 1 = 3x + 9y - 3
y = 1/5
x = 2/5
для второй аналогично

далее, находим прямые, перпендикулярный высотам и проходящие через найденный вершины
для x + 5y - 3 = 0 это -x + 5y + c = 0, -2/5 + 5*1/5 + c = 0, c = -3/5

пересечение этих сторон - третья вершина.
третья высота - перпендикулярна исходной стороне и проходит через третью вершину

2. для угла пересечения двух прямых на плоскости есть соотношение
для прямых вида y = kx + b
tgfi = (k1 - k2)/(1 + k1k2)
fi = pi/4
k1 = 5
получается k2 = 2/3, (в числах могу напутать... засыпаю =))
точка пересечения этого луча с прямой y = 5x - 3:
x = 9/13
y = 6/13
отраженный луч y = -2/3x + c и проходит через точку (9/13, 6/13)
6/13 = -6/13 + c
c = 12/13

все формулы из учебника Дмитрия Владимировича Беклимишева... хоть рекламу родному учебнику сделаю...
lib.mipt.ru/?logic=AND&find_text=%E1%E5%EA%EB%E...
2. с. 60

4. с 59...
направляющие векторы этих прямых, если я ничего не путаю
а1 = (2, 3, -4)
а2 = (2, 4, 1)
возьмем по точке на каждой прямой
r1 = (1, 4, -2)
r2 = (-1, 3, 0)
прямые не параллельны и пересекаются, если
|r2-r1, a1, a2| = 0 - это смешанное произведение трех векторов
в данном случае это не выполняется, значит, прямые компланарны

осталось нарисовать уравнение плоскости, параллельной этим двум прямым и проходящую через точку (1, 4, -2)
плоскость Ax + By + Cz + D = 0
2A + 3B - 4C = 0
2A + 4B + C = 0
A + 4B - 2C + D = 0
поидее, еще одно уравнение надо....

в четвертой можно получить уравнение плоскости, посчитав определитель
|x-x0 y-y0 z-z0|
| a1 a2 a3 |
| b1 b2 b3 |
где (x0, y0, z0) - точка на плоскости, можно взять любую точку первой прямой
a1 a2 a3 - направляющие первой прямой (ессно, индекс здесь по координатам, 1,2,3 = x,y,z)
b1 b2 b3 - направляющие второй прямой

[Robot]

yaru
Я бы так и делала (через определитель)

Литература, которую ты советуешь, доступна только физтеховцам(((
Книги доступны только из внутренней сети Физтеха, сетям базовых институтов Физтеха и зарегистрированным студентам Физтеха.

Я тебя запишу в списки модераторов, ладно? ты так много здесь решаешь, что у тебя должна быть возможность редактировать

ок... ну а с книжками.... жа-алко... могу разве что интересующимся на почту раскидывать... траффика вроде должно хватить (просто некоторые книги в других местах очень тяжело найти)

8. x^2 - 4xy + 4y^2 + 2x - 2y + 1 = 0
(x - 2y)^2 + 2(x - 2y) + 2y + 1 = 0
(x' + 1)^2 + 2y = 0, x' = x - 2y
x''^2 + 2y = 0, x'' = x - 2y + 1
то есть мы получили каноническую параболу в осях
x'' = x - 2y + 1
y'' = y

[Robot]

yaru
Лично я зарегилась на ifolder и сливаю книги туда, потому что рассылать каждому желающему хлопотно. Потом только остается продлевать срок хранения
Но у меня безлимитка (медленная, правда)

Название: beklemishev.djvu
Размер: 4.58 Мб
Описание: Беклемишев Курс аналитической геометриии и линейной алгебры. М., Высш. шк., 1998 320 с.
Ссылка для скачивания файла: mathhelp.ifolder.ru/4102670
~~
А я в 8 думала найти угол поворота, но все это так муторно(((

[Dieter Zerium]

yaru
все формулы из учебника Дмитрия Владимировича Беклимишева... хоть рекламу родному учебнику сделаю...
Молодец! И имя указал, и отчество правильно написал, а вот фамилию... )))

блин =)))))
не получится из меня... хотя нет, очень даже получится... вот так =)

[Dieter Zerium]

yaru
ты о ком?)

Dieter Zerium
да я так... вообще, не обращай внимания

[Dieter Zerium]

yaru
Немецкая поговорка гласит: "Кто сказал А, тот должен сказать В"

Dieter Zerium
ну уж нет =D
я за развитие телепатии... а как еще можно подстегивать людей к тренировкам?

[Dieter Zerium]

yaru
Руководствуясь логикой, можно предположить, что ты имел в виду "Не получится из меня пиарщика")

[Forever dream]

Robot
у меня в №4 получилось 4x-y+z+19
№5 x=-5/7;y=-3/7;z=-13/7
№6 скрещиваются
№7 x=-8/sqrt114
y=1/sqrt114
z=7/sqrt114