Вероятность

[wpoms.]

$a_1, a_2, \ldots, a_n$ произвольная последовательность целых положительных чисел. Случайным образом выбрали элемент последовательности - пусть его значение равно $a$. Затем, независимо от первого, выбираем другой элемент последовательности - пусть его значение равно $b$. Затем выбираем третий элемент последовательности - $c$. Покажите, что вероятность того, что $a + b +c$ делится на $3$ не меньше, чем $\frac{1}{4}$.

@темы: Теория вероятностей, Доказательство неравенств

Comments

[CD_Eater]

очевидно, что сумма трёх вытащенных из посл-сти a чисел делится на 3 тогда и только тогда когда либо все остатки этих чисел по модулю 3 совпадают, либо когда все остатки - разные
пусть остаток случайно вытащенного числа равен 1, -1, 0 с вероятностями x, y, z соответственно
находим условный минимум (напр, множителями лагранжа) вероятности делимости (x^3+y^3+z^3)+6xyz на "треугольнике вероятностей" (x,y,z>=0, x+y+z=1)
внутри треугольника 1/3, на периметре 1/4, ну значит итоговый минимум = 1/4

выглядит как обычная задачка из первого курса матана
в чём подвох?

[wpoms.]

CD_Eater, выглядит как обычная задачка из первого курса матана
подвоха нет. просто это задача из американской олимпиады школьников.
картинка в теле топика кликабельна

[CD_Eater]

картинку кликал, про школьников там ни слова (или само слово "олимпиада" означает "для школьников"???)
я подумал, что это какая-то олимпиада, проводимая в индейской резервации )))
я не знаю как доказать без производных (x^3+y^3+z^3)+6xyz >= 1/4

[All_ex]

CD_Eater, я не знаю как доказать без производных
да тут и с производными не всё так гладко...
может там какие-то неравенства о средних поприменять... или симметрические многочлены... ...

[CD_Eater]

а какие есть известные школьникам неравенства с симметрическими многочленами?

[All_ex]

CD_Eater, а какие есть известные школьникам неравенства с симметрическими многочленами?
ну, может они не совсем школьные, но олимпионики вполне могут знать материал, изложенный в книге Болтянского, Виленкина "Симметрия в алгебре"...
хотя насколько этот материал тут применим, я не знаю...