Ибероамериканская математическая олимпиада

[wpoms.]

Ибероамериканская математическая олимпиада

С 1985 года проводится олимпиада стран Пиренейского полуострова и других испано- и португалоязычных стран (Olimpíada Iberoamericana de Matemática). На постоянной основе в олимпиаде принимают участи сборные Аргентины, Боливии, Бразилии, Чили, Колумбии, Коста-Рики, Кубы, Эквадора, Сальвадора, Гватемалы, Гондураса, Мексики, Мозамбика, Никарагуа, Панамы, Перу, Португалии, Пуэрто-Рико, Доминиканской республики, Испании, Уругвая и Венесуэлы. Страна-организатор может пригласить другие испано- и португалоязычные страны.
В состав сборной каждой страны входят не более четырёх участников и двух сопровождающих. Для решения предлагаются 6 задач, по три задачи в день.
В олимпиаде 2016 года приняли участие сборные Анголы, Аргентины, Боливии, Бразилии, Кабо-Верде, Чили, Колумбии, Коста-Рики, Кубы, Эквадора, Сальвадора, Испании, Гватемалы, Гондураса, Мексики, Мозамбика, Никарагуа, Панамы, Парагвая, Перу, Португалии, Пуэрто-Рико, Доминиканской Республика, Сант-Томе и Принсипи, Уругвая и Венесуэлы.


1. Сайт олимпиады 2016 года
2. Задачи олимпиады на портале artofproblemsolving.com

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[wpoms.]

Задачи олимпиады-2016 1. Найдите все простые числа $p,q,r,k$ такие, что $pq+qr+rp = 12k+1.$ 2. Дана функция $f(x)=\frac{1}{x^2+x-1}.$ Найдите все значения $x$ такие, что $f(f(f(x)))=x.$ 3. Вокруг остроугольного треугольника $ABC$ описана окружность $\Gamma.$ Касательные к $\Gamma$ в точках $B$ и $C$ прямые пересекаются в точке $P.$ На дуге $AC,$ не содержащей $B,$ выбрана точка $M$ отличная от $A$ и $C$. Точка $K$ --- общая точка прямых $BC$ и $AM.$ Точка $R$ симметрична точке $P$ относительно прямой $AM$, а точка $Q$ --- точка пересечения прямых $RA$ и $PM$. $J$ --- середина $BC$, а $L$ --- точка пересечения прямой $PJ$ и прямой, проходящей через $A$ и параллельной $PR$. Докажите, что $L, J, A, Q$ и $K$ лежат на одной окружности. 4. Определите наибольшее количество слонов, которых можно разместить на шахматной доске $8 \times 8$ так, что в каждой клетке находится не более одного слона и каждому слону угрожает не более одного слона. 5. Окружности $C_1$ и $C_2$ пересекаются в точках $A$ и $K$. Их общая касательная, проходящая ближе к $K,$ пересекает $C_1$ в $B$ и $C_2$ в $C$. Точка $P$ - основание перпендикуляра, опущенного из $B$ на $AC$, а $Q$ - основание перпендикуляра, опущенного из $C$ на $AB$. Точки $E$ и $F$ симметричны точке $K$ относительно прямых $PQ$ и, соответственно, $BC.$ Докажите, что $A, E$ и $F$ лежат на одной прямой. 6. Пусть $k$ будет положительным целым числом, а $a_1, a_2, \ldots, a_k$ цифры его представления в десятичной системе счисления. Докажите, что существует положительное целое число $n$ такое, что последние $2k$ цифр числа $2^n$ равны, в указанном порядке, $a_1, a_2, \ldots, a_k, b_1, b_2, \ldots, b_k$, для некоторых цифр $b_1, b_2, \ldots, b_k.$

[Гость]

Юбилейная 35 олимпиада прошла в виртуальном режиме.
oimperu2020.com/la-olimpiada/



Problema 1
Дан остроугольный разносторонний треугольник $ABC$ такой, что $AB < AC$. Середины сторон $AB$ и $AC$ обозначены буквами $M$ и $N$, соответственно. Пусть $P$ и $Q$ --- точки на прямой $MN$ такие, что $\angle CBP = \angle ACB$ и $\angle QCB=\angle CBA$. Описанная окружность треугольника $ABP$ пересекает прямую $AC$ в точке $D$ ($D\neq A$), а описанная окружность треугольника $AQC$ пересекает прямую $AB$ в точке $E$ ($E\neq A$). Докажите, что прямые $BC$, $DP$ и $EQ$ пересекаются в одной точке.
Обсуждение

Problema 2
Для каждого положительного целого числа $n$ определим $T_n$ как наименьшее положительное целое число такое, что сумма $1 + 2 + ... + T_n$ кратна $n$. Например, $T_5=4$ поскольку значения выражений $1$, $1+2$ и $1+2+3$ не кратны $5$, а сумма $1+2+3+4$ кратна $5$. Найдите все целые положительные числа $m$ такие, что $T_m\geqslant m$.

Примечание. Любое целое положительное число кратно самому себе.
Обсуждение

Problema 3
Sea $n\geqslant 2$ un entero. Una sucesión $\alpha =(a_1,a_2,\ldots ,a_n)$ de $n$ números enteros se dice limeña si$$\text{mcd}\{a_i-a_j\quad \text{tal que}\quad a_i > a_j\quad \text{y}\quad 1\leqslant i,j\leqslant n\}=1$$es decir, si el máximo común divisor de todas las diferencias $a_i-a_j$, con $a_i > a_j$, es $1$.
Una operación consiste en escoger dos elementos $a_k$ y $a_\ell$ de una sucesión, con $k\neq \ell$, y reemplazar $a_\ell$ por $a_\ell '=2a_k-a_\ell$.
Demuestre que, dada una colección de $2^n-1$ sucesiones limeñas, cada una formada por $n$ números enteros, existen dos de ellas, digamos $\beta$ y $\gamma$, tales que es posible transformar $\beta$ en $\gamma$ mediante un número finito de operaciones.

Notas.
Las sucesiones $(1,2,2,7)$ y $(2,7,2,1)$ tienen los mismos elementos pero son diferentes.
Si todos los elementos de una sucesión son iguales, entonces esa sucesión no es limeña.


Problema 4
Demuestre que existe un conjunto $\mathcal{C}$ de $2020$ enteros positivos y distintos que cumple simultáneamente las siguientes propiedades:
Cuando se calcula el máximo común divisor de cada dos elementos de $\mathcal{C}$, se obtiene una lista de números todos distintos.
Cuando se calcula el mínimo común múltiplo de cada dos elementos de $\mathcal{C}$, se obtiene una lista de números todos distintos.


Problema 5
Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tales que$$f(xf(x-y))+yf(x)=x+y+f\left (x^2\right )$$para cualesquiera números reales $x,y$.

Problema 6
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y escaleno. Sean $H$ el otrocentro y $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$, y sea $P$ un punto interior del segmento $HO$. La circunferencia de centro $P$ y radio $PA$ intersecta nuevamente a las rectas $AB$ y $AC$ en los puntos $R$ y $S$, respectivamente. Denotamos por $Q$ el punto simétrico al punto $P$ con respecto a la mediatriz de $BC$. Demuestre que los puntos $P$, $Q$, $R$ y $S$ pertenecen a una misma circunferencia.

P.S. Представляется, что публикация условий на языке оригинала не повлияет на решаемость задач.