13:32 

Ибероамериканская математическая олимпиада

wpoms.
Step by step ...
Ибероамериканская математическая олимпиада

С 1985 года проводится олимпиада стран Пиренейского полуострова и других испано- и португалоязычных стран (Olimpíada Iberoamericana de Matemática). На постоянной основе в олимпиаде принимают участи сборные Аргентины, Боливии, Бразилии, Чили, Колумбии, Коста-Рики, Кубы, Эквадора, Сальвадора, Гватемалы, Гондураса, Мексики, Мозамбика, Никарагуа, Панамы, Перу, Португалии, Пуэрто-Рико, Доминиканской республики, Испании, Уругвая и Венесуэлы. Страна-организатор может пригласить другие испано- и португалоязычные страны.
В состав сборной каждой страны входят не более четырёх участников и двух сопровождающих. Для решения предлагаются 6 задач, по три задачи в день.
В олимпиаде 2016 года приняли участие сборные Анголы, Аргентины, Боливии, Бразилии, Кабо-Верде, Чили, Колумбии, Коста-Рики, Кубы, Эквадора, Сальвадора, Испании, Гватемалы, Гондураса, Мексики, Мозамбика, Никарагуа, Панамы, Парагвая, Перу, Португалии, Пуэрто-Рико, Доминиканской Республика, Сант-Томе и Принсипи, Уругвая и Венесуэлы.


1. Сайт олимпиады 2016 года
2. Задачи олимпиады на портале artofproblemsolving.com

@темы: Олимпиадные задачи

Комментарии
2017-06-26 в 13:53 

wpoms.
Step by step ...


Задачи олимпиады-2016

1. Найдите все простые числа $p,q,r,k$ такие, что $pq+qr+rp = 12k+1.$

2. Дана функция $f(x)=\frac{1}{x^2+x-1}.$ Найдите все значения $x$ такие, что $f(f(f(x)))=x.$

3. Вокруг остроугольного треугольника $ABC$ описана окружность $\Gamma.$ Касательные к $\Gamma$ в точках $B$ и $C$ прямые пересекаются в точке $P.$ На дуге $AC,$ не содержащей $B,$ выбрана точка $M$ отличная от $A$ и $C$. Точка $K$ --- общая точка прямых $BC$ и $AM.$ Точка $R$ симметрична точке $P$ относительно прямой $AM$, а точка $Q$ --- точка пересечения прямых $RA$ и $PM$. $J$ --- середина $BC$, а $L$ --- точка пересечения прямой $PJ$ и прямой, проходящей через $A$ и параллельной $PR$. Докажите, что $L, J, A, Q$ и $K$ лежат на одной окружности.

4. Определите наибольшее количество слонов, которых можно разместить на шахматной доске $8 \times 8$ так, что в каждой клетке находится не более одного слона и каждому слону угрожает не более одного слона.

5. Окружности $C_1$ и $C_2$ пересекаются в точках $A$ и $K$. Их общая касательная, проходящая ближе к $K,$ пересекает $C_1$ в $B$ и $C_2$ в $C$. Точка $P$ - основание перпендикуляра, опущенного из $B$ на $AC$, а $Q$ - основание перпендикуляра, опущенного из $C$ на $AB$. Точки $E$ и $F$ симметричны точке $K$ относительно прямых $PQ$ и, соответственно, $BC.$ Докажите, что $A, E$ и $F$ лежат на одной прямой.

6. Пусть $k$ будет положительным целым числом, а $a_1, a_2, \ldots, a_k$ цифры его представления в десятичной системе счисления. Докажите, что существует положительное целое число $n$ такое, что последние $2k$ цифр числа $2^n$ равны, в указанном порядке, $a_1, a_2, \ldots, a_k, b_1, b_2, \ldots, b_k$, для некоторых цифр $b_1, b_2, \ldots, b_k.$



     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная