Бриллиант

[wpoms.]

Цена бриллианта пропорциональна квадрату его массы. Покажите, что если из одного бриллианта сделать два, произойдет их обесценивание. Когда обесценивание будет максимальным?

@темы: Задачи на экстремум

Comments

[Гость]

a+b=M

a>=0, b>=0, M>0, M - const --- b=M-a

f(x)=x^2

1? --- (a+b)^2>=a^2+b^2

2? --- Max(((a+b)^2)/(a^2+b^2)) --- a>=0, b>=0, M>0

1! --- (a+b)^2>=a^2+b^2 --- (a+b)^2-(a^2+b^2)=2ab>=0 !!!

2! --- g(x)=M^2/(a^2+(M-a)^2) --- g'(x)=-M^2*(4x-2M)/((2x^2+M^2-2mx)^2) --- x=M/2 - g'(M/2)=0 --- g(M/2)=Max(((a+b)^2)/(a^2+b^2))=2

[All_ex]

Как вариант, можно рассматривать задачу максимизации/минимизации функции `F = x^2 + y^2` при условии `x + y = 1, \ x >= 0, \ y >= 0`... и решать чисто геометрически без производных...

[Гость]

да, люблю задачи со многими решениями...
а как конкретно решать поставленную вами задачу без производных?

[All_ex]

Гость, а как конкретно решать поставленную вами задачу без производных?
Если аналитически из ограничения выразить одну переменную и подставить в функцию, то получим задачу о нахождении квадратичной функциюина отрезке... парабола ветвями вверх - минимум в вершине (она принадлежит отрезку), а максимум на концах...

Если про геометрию... то ограничения описывают отрезок, а значение функции - это квадрат радиуса окружности с центром в начале координат.... минимум когда отрезок является касательной. а максимум - когда хордой...

[Гость]

обесценивание=нач.цена - новая цена = (a^2+b^2)-(a^+b^2)=2ab -> max
2ab=2a(1-a)=2a-2a^2
это парабола с максимумом=1/2 при a=1/2.
Т.е. если разрезать пополам, цена упадет вдвое. В остальных случаях цена будет составлять от 0.5 до 1

[All_ex]

Гость, что-то у Вас старая и новая цена подозрительно одинаковы... )))

[Гость]

All_ex Ну да, описался.
имелось ввиду (a+b)^2 - (a^2+b^2)