Определить порядок малости

[Груша Вильямс]

Определить порядок бесконечно малой функции относительно `x` при `x->0`.
Собственно задача анлогична этому посту eek.diary.ru/p206482513.htm , т.е. надо решить без эквивалентов по следствиям второго замечательного предела:
1) `lim_(x->0) (ln(1+x))/x=1`
2) `lim_(x->0) (log_a(1+x))/x=1/(lna)`
3) `lim_(x->0) (a^x-1)/x=lna`
4) `lim_(x->0) ((1+x)^alpha-1)/x=alpha`.

Прошу проверить решение.
`lim_(x->0) (sqrt(1+2x)-1-sqrt(x)) / x^k = lim_(x->0) ((1+2x)^(1/2)-1) / x^k - lim_(x->0) x^(1/2) / x^k = [k=1/2]=lim_(x->0) (2x^(1/2)((1+2x)^(1/2)-1)) / (2x) - lim_(x->0) x^(1/2) / x^(1/2) =`
`=lim_(x->0) x^(1/2) - 1 = -1 !=0, !=infty`, следовательно функция `sqrt(1+2x)-1-sqrt(x)` бесконечно малая порядка `k=1/2` относительно функции `x`.

@темы: Пределы

Comments

[All_ex]

можно и так...
а можно было домножить на сопряжённое - `sqrt{1 + 2*x} + (1 + sqrt{x})` ... тогда выражение в числителе станет суммой степенных слагаемых, младшая степень которых определяет нужный порядок...

[Груша Вильямс]

All_ex, вначале домножил на сопряженное, но с числителем непонятно что делать `x-2sqrtx=x+(-2)x^(1/2)` младшая степень которых определяет нужный порядок... а вот это не знал. А что собственно показывает порядок малости функции? Кажется насколько быстро приближаются, например, к нулю при соответствующих `x`. Но в учебнике написано если существует предел `lim_(x->x_0) (alpha(x))/(beta(x))=C!=0`, то `alpha(x)` и `beta(x)` называют бесконечно малыми одного порядка. Но, вот в этом примере порядок `beta(x)=x` равен одному (правда непонятно относительно чего), а `alpha(x)` одной второй. Порядок разный, хотя отношение константа не равная нулю.

[All_ex]

но с числителем непонятно что делать `x-2sqrtx=x+(-2)x^(1/2)`
Вынесли корень за скобку... останется ненулевой множитель, который имеет нулевой порядок... и всех делов-то..