воскресенье, 25 октября 2015
22:14

Определить порядок малости

все записи пользователя в сообществе Груша Вильямс
Определить порядок малости `alpha(x)` относительно `beta(x)=x-x_0` при `x->x_0`.

`alpha(x)=e^x-cosx`, `x_0=0`
`beta(x)=x-x_0=x`
`lim_(x -> 0)=lim_(x -> 0) (alpha(x))/(beta(x))^k=lim_(x -> 0) (e^x-cos(x)) / (x^k) = lim_(x -> 0) (e^x-1+2sin^2(x/2)) / (x^k) = lim_(x -> 0) -(1+(-2sin^2(x/2)-e^x)) / (x^k) = `

` = lim_(x -> 0) \ -e^(-2sin^2(x/2)-e^x) / (x^k) = lim_(x -> 0) \ (-1) / (e^(2sin^2(x/2))*e^(e^x)*x^k)`
Дальше не знаю что делать, может и в корне не так.
Также мне можно пользоваться результатами предыдущих заданий:
1) `lim_(x->0) (ln(1+x))/x=1`
2) `lim_(x->0) (log_a(1+x))/x=1/(lna)`
3) `lim_(x->0) (a^x-1)/x=lna`
4) `lim_(x->0) ((1+x)^alpha-1)/x=alpha`.

3 задачи на порядок малости осталось, вообще что-то никак не идет.

@темы: Пределы

URL
Комментарии
25.10.2015 в 22:30

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
"многие знания умножают печали" (с) ... :upset:
Зачем всё это было ... начиная с последнего равенства в первой строке преобразований... это не считая того, что переход ко второй строке вообще неверен...

`e^x - 1 sim x, \ 1 - cos x sim {x^2}/2` ... ну, вот и всё что Вам пригодится...
Если эквивалентными пользоваться нельзя, то напишите разность двух пределов...
URL
25.10.2015 в 22:33

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Груша Вильямс, ...
URL
25.10.2015 в 22:35

Груша Вильямс
All_ex, правы, я там криво отредактировал) Кажется, что нельзя ещё эквивалентами пользоваться. Думал мож что и получится) А без разбивания на разность пределов можно сделать? Просто ни разу на разность не разбивал...
URL
25.10.2015 в 22:41

Груша Вильямс
это не считая того, что переход ко второй строке вообще неверен... а почему, по второму замечательному вроде так и выходит же?
URL
25.10.2015 в 22:41

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Просто ни разу на разность не разбивал... - а в чём проблема?...
`{(e^x - 1) + (1 - cos x) }/{x^k} = { e^x - 1 }/{x^k} + { 1 - cos x }/{x^k}` ... и смотрите когда оба предела будут конечными ...
URL
25.10.2015 в 22:42

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
а почему, по второму замечательному вроде так и выходит же?
:upset: ... где Вы там увидели неопределённость `1^{oo}`?...
URL
25.10.2015 в 22:44

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Кажется, что нельзя ещё эквивалентами пользоваться.
Странно... обычно задачи на порядок малости - это задачи на разложение по Тейлору...
URL
25.10.2015 в 22:47

Груша Вильямс
All_ex, то есть `lim_(x->0) (a-b) = lim_(x->0) a - lim_(x->0) b` вот с такой разбивкой красиво уже, первое слагаемое по третьей задаче `k=1`, второе первый замечательный и `k=2` и какое мне `k` выбрать?
URL
25.10.2015 в 22:56

Груша Вильямс
почему, по второму замечательному вроде так и выходит же? ... где Вы там увидели неопределённость ?...All_ex, а да, что-то на автомате применил не вникая даже
URL
25.10.2015 в 23:02

Груша Вильямс
Не могу сделать, нас учили примерно так делать, к примеру возьмем первое слагаемое:
`lim_(x->x_0) (e^x-1)/(x^k) = [k=1] =lim_(x->x_0) (e^x-1)/x = lne=1=const`, следовательно наше предположение верно и функция `alpha(x)` является бесконечно малой порядка `k=1` относительно функции `beta(x)`.
URL
25.10.2015 в 23:19

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
и какое мне k выбрать? - очевидно, что наименьшее... чтобы оба предела существовали, а, следовательно, и предел разности существовал...
URL
26.10.2015 в 00:21

Груша Вильямс
All_ex, что-то совсем у меня туго с этим сравнением. Кстати действительно эквивалентами тут по логике изложения не разрешено. Сфоткал.






URL
26.10.2015 в 00:52

Груша Вильямс
`lim_(x->0)=lim_(x->x_0) (alpha(x))/(beta(x))^k=lim_(x->x_0) (e^x-cos(x)) / (x^k)=lim_(x->x_0) ((e^x-1)+(1-cos(x))) / (x^k) = lim_(x->x_0) (e^x-1) / (x^k) + lim_(x->x_0) (1-cos(x)) / (x^k)=`
а вот дальше не пойму как писать, вот так верно будет?
`= lim_(x->x_0) (e^x-1) / (x^(k_1)) + lim_(x->x_0) (1-cos(x)) / (x^(k_2)) = [(k_1=1), (k_2=2)] = lim_(x->x_0) (e^x-1) / x + lim_(x->x_0) 1/2(sin(x/2)/(x/2))^2 = 1+1/2=3/2`.
URL
26.10.2015 в 01:55

Груша Вильямс
А всё, понял. `= lim_(x->0) (e^x-1) / (x^k) + lim_(x->0) (1-cos(x)) / (x^k) = [k=1] = lim_(x->0) (e^x-1) / x + lim_(x->0) (2sin^2(x/2))/x = 1+lim_(x->0) (sin(x/2)/(x/2))*sin(x/2)=1`.
`k=2` не можем взять потому, что предел будет `lim_(x->0) (e^x-1)/(x^2)=lim_(x->0) 1/x = infty`, а следовательно и исходный предел бесконечность, а предел сравнимых функций скорее всего не может быть бесконечностью, осталось только понять почему.
URL
26.10.2015 в 02:06

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Кстати действительно эквивалентами тут по логике изложения не разрешено.
Почему?... :upset: ... в пункте 5 дано определение эквивалентных функция... на последнем скрине приведены простейшие эквивалентности... :nope:
Те пределы, которые приведены в топике тоже можно переписать в виде эквивалентностей... и вперёд... :bud:

А всё, понял. - логичнее заменить числители эквивалентными функциями и получить пределы от `x^{1 - k}` и `{x^{2-k}}/2` ... и дальше говорить, что максимально возможное значение `k`, при котором оба предела одновременно существуют, равняется 1 ...
Такое рассуждение более похоже на решение, а не на угадывание показателя `k`...
URL
26.10.2015 в 02:43

Груша Вильямс
All_ex, на последнем скрине приведены простейшие эквивалентности... как раз после этих задач, мне кажется не зачтут такое решение, на семинаре мы некоторые отсюда разбирали как раз через угадывание и показывание, что предел константа, 3.249 и 3.254 я на доске помню решал, там просто было, а вот с 3.258 - 3.265 были эквиваленты. читать дальше
А по 3.246 можете подсказать еще? Представил в виде произведения, один предел -1, другой `lim_(x->pi) (sin(x)2sin^2(x/2))/(x-pi)^k` что делать непонятно. Наверное `x^3` и по первому замечательному. Хотя нет, там `x->pi`, скорей всего заменой.:upset:
URL
26.10.2015 в 03:10

Груша Вильямс
Сделал.
`lim_(x->pi) (tg(x)-sin(x)) / (x-pi)^k = lim_(x->pi) (sin(x)(1-cos(x))) / (cos(x)(x-pi)^k) = lim_(x->pi) 1/(cos(x)) lim_(x->pi) (sin(x)2sin^2(x/2)) / (x-pi)^k = [(x-pi=t), (x=pi+t):} =`
`=-lim_(t->0) (-2sin(t)cos^2(t/2)) / (t^k) = [k=1] = -lim_(t->0) (-2cos^2(t/2)sin(t)) / t =-(-2*0*1)=0=const`. Получается, что `alpha(x)` бесконечно малая более высокого порядка, чем `beta(x)`. Правда не уверен, что правильно, 0 смущает. Хотя нет, неправильно, должна получиться константа не равная нулю.
URL
26.10.2015 в 03:36

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
А по 3.246 можете подсказать еще? ... Сделал. - Ну, сдвиговая замена естественна, поскольку приводит к более типовым рассуждениям в нуле... вот только почему у Вас косинус половинного угла в нуле стал равен нулю?... :upset:

мне кажется не зачтут такое решение,
Ну, тогда выделяйте следствия замечательных пределов в явном виде...
`{(e^x - 1) + (1 - cos x) }/{x^k} = { e^x - 1 }/{x^k} + { 1 - cos x }/{x^k} = x^{1 - k} * { e^x - 1 }/{x} + x^{2 - k}*{ 1 - cos x }/{x^2}` ... дальше говорим, что вторые множители имеют предел... а чтобы первые множители имели предел одновременно, то `k` должно быть не больше единицы ...
URL
26.10.2015 в 03:40

Груша Вильямс
`=-lim_(t->0) (-2sin(t)cos^2(t/2)) / (t^k) = -lim_(t->0) (-2sin(t)(1-sin^2(t/2))) / (t^k) = -(lim_(t->0) (-2sin(t)) / t^k + lim_(t->0) (2sin(t)sin^2(t/2)) / (t^k) ) = [k=1] =`
`=-(lim_(t->0) (-2sin(t)) / t + lim_(t->0) ((2sin(t)) / t) sin^2(t/2)) = -(-2+0)=2=const`. Почти как в предыдущей, но громоздко однако.
URL
26.10.2015 в 03:51

Груша Вильямс
All_ex, вот только почему у Вас косинус половинного угла в нуле стал равен нулю?... :bricks: походу спать пора идти, сам не знаю откуда ноль этот взял.
Спасибо! Даже и подумать не мог, что столькими способами можно решить (выделение следствий, угадывание, эквиваленты, Тейлор).
URL
26.10.2015 в 03:59

Груша Вильямс
На следующих выходных надо попробовать разобраться почему в выводе уравнения Мещерского отбрасывают один множитель, помню когда читал там написано было можно пренебречь каким-то слагаемым как бесконечно малой высшего порядка.
URL
26.10.2015 в 05:44

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Почти как в предыдущей, но громоздко однако.
Зачем так сложно?... ведь косинус же не обращается в нуль... для синуса выделяете замечательный предел ... и делаете вывод ...
`= lim_{t -> 0} {2*sin(t)*cos^2(t/2)}/{ t^k } = lim_{t -> 0} [t^{1 - k}]* lim_{t -> 0} [{sin(t)}/{ t }] * lim_{t -> 0} [2*cos^2(t/2)] = ... `
URL
26.10.2015 в 05:52

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Даже и подумать не мог, что столькими способами можно решить (выделение следствий, угадывание, эквиваленты, Тейлор).
Ну, в большинстве случаев это одно и тоже... просто разной степени проникновения в сущность метода краткости записи ... :)

Эквиваленты - это одно слагаемое Тейлора без остатка... Выделение замечательных пределов - это тоже эквиваленты, но более кратко записанные...
Угадывание - его вообще можно подтягивать к чему угодно.. :laugh:

Спасибо! - welcome ...
URL
28.10.2015 в 01:08

Груша Вильямс
All_ex, я так и написал в итоге) Все хорошо, плюсик поставили, сказали все верно, эквивалентами нельзя было пользоваться. Мы пока теорию пределов всё учим, Тейлора не было ещё. На последней лекции по матану точная верхняя, нижняя грань была и теорема Кантора с доказательством. Кстати на семинаре преподавательница сказала почему нас гоняла по определению предела, говорит двойную работу по сути делала для того, чтобы коллоквиум в понедельник хорошо написали, вопросы к которому составлял лектор.
URL