Неравенство

[wpoms.]

Целое число `x` не меньше `3` и пусть `n = x^6 - 1`. Пусть `p` - простое число и `k` - натуральное число, такое что `p^k` является делителем `n`. Покажите, что `p^{3k} < 8n`.

@темы: Доказательство неравенств, Теория чисел

Comments

[bigant]

Блин, 10 раз пытаюсь отправить решение. Разобью его на 2 части:

Заметим, что нам достаточно доказать, что p^{k}<2x^2.

Разложим n на множители: x^6-1=(x-1)(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1). Посмотрим, какими могут быть общие делители у этих скобок:

(x-1, x+1)=(2, x-1)
(x-1, x^2-x+1)=1
(x-1, x^2+x+1)=(3, x-1)
(x+1, x^2-x+1)=(3, x+1)
(x+1, x^2+x+1)=1
(x^2-x+1, x^2+x+1)=1

Таким образом, если p отлично от 2 и 3, то задача решена (т.к. только одна из скобок может делиться на p^k и p^k<x^2+x+1<2x^2).
Если p=2, то тогда p^k<2(x+1)<2x^2. Остался случай p=3.

[bigant]

Разберем только ситуацию когда p^k | 3(x^2+x+1). Покажем, что у x^2+x+1 при x>1 есть простой делитель, больший 3 (вообще это известный в узких кругах факт, что (x^p-1)/(x-1) имеет простой делитель, отличный от p). Пусть x=3^s y+1, где y не делится на p. Подставляя в выражение x^3-1, получаем после раскрытия скобок, что x^3-1 делится на 3^(s+1) и не делится на 3^(s+2). Таким образом, единственная степень тройки, которой может быть равно выражение x^2+x+1 -- первая. Противоречие с тем, что x>=3.

[Гость]

bigant, не надо ругаться. Отделяйте знаки неравенств пробелами, тогда текст пропадать не будет

[bigant]

Спасибо, учту!

[Гость]

bigant, не за что. Можно ещё обратить внимание на выделение формул обратными апострофами (клавиша Ё). Тогда формулы в режиме скрипта (при его установке) будут отображаться красиво ( тут пункт 8 )