Равнобедренные треугольники

[wpoms.]

Точка `F` является серединой стороны `BC` треугольника `ABC`. Равнобедренные прямоугольные треугольники `ABD` и `ACE` построены внешним образом на сторонах `AB` и `AC` с прямыми углами `D` и `E`, соответственно. Докажите, что `DEF` является равнобедренным прямоугольным треугольником.

@темы: Планиметрия

Comments

[vyv2]

Пусть стороны треугольника a,b,c, которые связаны с углами по теореме синусов. Выражаем по теореме косинусов `DF^2` . `FE^2`и `DE^2` и доказываем тождества `DF^2-FE^2=0`и `DE^2=2FE^2`.
Не лучший способ доказательства (в лоб), наверняка существует более красивое.

[Sticker_]

Вот ещё один способ решения.
Пусть `Z` – центр масс материальных точек `iA`, `-iA`, `1B`, `1C` с суммарной массой `i-i+1+1=2!=0`. Тогда, производя двумя способами группировку масс, получим
`Z=(iA-iA+1B+1C)/2=(1B+1C)/2=F`, т.е. центр масс `Z` совпадает с точкой `F`;
`F=((1B+iA)+(1C-iA))/2=((1+i)D+(1-i)E)/2`, т.е. `F` – центр масс двух материальных точек `(1+i)D` и `(1-i)E`.
Обозначим комплексные координаты точек `D`, `E`, `F` соответственно `d`, `e`, `f`, тогда по правилу рычага имеем: `(1+i)(d-f)+(1-i)(e-f)=0`. Отсюда `d-f=i(e-f)`.
Следовательно, вектор `vec(FD)` можно получить из вектора `vec(FE)` поворотом на `90^0`, а это означает, что `DEF` – прямоугольный равнобедренный треугольник.
Утверждение доказано.

[Sticker_]

А вот другой способ решения задачи.
Пусть `M`, `N` – середины сторон `AB` и `AC` соответственно. Используя свойство линейности оператора поворота множества геометрических векторов плоскости, повернём вектор `vec(FE)` на `90^0`:
`R^{90^0}(vec(FE))= R^{90^0}(vec(FN)+vec(NE)))= R^{90^0}(vec(MA)+vec(NE))= R^{90^0}(vec(MA))+ R^{90^0}(vec(NE))=vec(MD)+ vec(FM)=vec(FM)+vec(MD)=vec(FD)`, т.е. при повороте вектора `vec(FE)` на `90^0` получается вектор `vec(FD)`. Следовательно, треугольник `DEF` – прямоугольный и равнобедренный.

[vyv2]

Спасибо. Очень красиво!

[All_ex]

Sticker_ - Красивые решения...

[Sticker_]

Пожалуйста!