Метод Ньютона-Фокса

[DialeR7]

Уважаемые участники сообщества, помогите, пожалуйста, разобраться с вопросом по предмету "Методы вычислений".
Нужно разобраться в методе Ньютона-Фокса для решения нелинейной граничной задачи.
Выкладываю сам метод, который преподаватель прочел на лекции.


Вопрос в следующем: Как применить данный метод для ф-ции `f(x,y,y', y'')=0` - кот нельзя выразить через старшую производную.
Можно ли применить аналогичное разложение?

Помогите, пожалуйста

====================================
Здравствуйте! В продолжение вопроса о том, что делать с ф-цией вида `f(x,y,y',y'')=0`. Нужно использовать метод Ньютона-Канторовича.
Запишу ур-е в операторном виде:
`F(x,y,dy/dx,d^2y/dx^2)=0`
Производная Фреше - линейная часть оператора. Поэтому применив ее - линеаризуем ф-цию.

Нужно найти производную Фреше в общем виде для такой ф-ции.
И как пример, посчитать производную для `y''+sin(y'*y)+y^2=0`
Подскажите, пожалуйста, в каком направлении двигаться?

запись создана: 18.02.2014 в 20:14

@темы: Дифференциальные уравнения

Comments

[All_ex]

Ну, видимо, всё равно надо разложить по Тейлору... там слагаемое со вторыми производными и появится, только умноженное на `{partial f}/{partial y''}`...

[DialeR7]

All_ex, то есть также и раскладывать по Тейлору в окрестности `y_k` ? И там выражали `y''`, а здесь просто разложение приравнять к нулю получается?

[DialeR7]

All_ex, где бы про этот метод почитать, чтобы вникнуть получше.. Ничего в интернете не нашел по нему. Главная цель, я так понял, это линеаризовать ф-цию. А после этого можно решить методом Ньютона (касательных)..

[All_ex]

DialeR7, а здесь просто разложение приравнять к нулю получается? - Видимо, да... Точнее говоря, Вы пренебрегаете младшими членами разложения и решаете близкое уравнение...

где бы про этот метод почитать, чтобы вникнуть получше.. - ... насколько я помню, такого сорта методы последовательных приближений для решения ДУ вообще не в большом объёме в литературе...
Посмотрите книги на полке по численным методам eek.diary.ru/p178707231.htm ... может попадётся что-нибудь соответствующее...
Кстати, какой учебник у Вас является рекомендованным лектором?...

[DialeR7]

All_ex, преподаватель ничего не советовал особенно .Сказал, что методы не развивались в России. Так что только зарубежная литература. Назвал только 1 книгу - Ц.На Вычислительные методы решения прикладных граничных задач..

[All_ex]

Ц.На Вычислительные методы решения прикладных граничных задач.. - Я про такую даже не слышал... ... хотя, конечно, и численными методами сильно не занимался...

Подождите ещё... может кто более сведущий даст какой-нибудь совет...

[DialeR7]

Эх.. как бы был я рад. Обидно так, когда очень трудно разобраться в непростом вопросе из-за недостатка информации и не очень хорошего изложения предмета в вузе((

[All_ex]

Ц.На Вычислительные методы решения прикладных граничных задач - Книга есть на twirpx.com ... скачал ... посмотрел...
Квазилинеаризация там рассмотрена кратко с парой примеров... (со страницы 81) ... Там же есть ссылка на три работы с более подробным описанием метода...
Одна из них переводная Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. - Пер. с англ. М.: Мир. 1968. 186с. - тоже есть на twirpx.com ... тут уравнения второго порядка рассматриваются весьма подробно...

....

Обе книги качаются на twirpx'e без регистрации и бесплатно по ссылке на fileswat.com ... там только капчу ввести надо...

[DialeR7]

All_ex, да, я уже тоже скачал и посмотрел. Но подобного уравнения второго порядка, для которого ф-ция, не выражена через старшую производную - не нашел.

[All_ex]

DialeR7, в учебнике Ц.На идёт запись `phi(x, y, y', y'') = y'' - f(x, y, y'') = 0`... и первое разложение в формуле (4.5) идёт в общем виде...
А дальше я не вижу существенных отличий в решении уравнений разрешённых или неразрешённых относительно второй производной...

[DialeR7]

All_ex, там при преобразованиях автор ссылается на правую часть уравнения, которое вы указали. А это значит, что оно разрешено относительно `y''`. А `fi` здесь просто для удобства записано. Вот так считаю.

[DialeR7]

All_ex, Есть идея продифференцировать ур-е - получить 3-ю производную. Т.к. будет искаться произв сложной ф-ции, то 3-я произв выскочит линейно. И потом уже применим Фокса к ур-ю 3-го порядка..

[All_ex]

DialeR7, там при преобразованиях автор ссылается на правую часть уравнения, которое вы указали. - Думаю, что нет разницы какой вид уравнения рассматривать... просто разрешённое проще (и чаще встречается), поэтому дальше его и используют...

Есть идея продифференцировать ур-е - получить 3-ю производную. - Зачем?... и как Вы собрались получать третье граничное условие?...
то 3-я произв выскочит линейно. - При разложении по Тейлору вторая производная тоже выскочит линейно...

[DialeR7]

All_ex, в общем, есть небольшие сдвиги в поисках ответа. Сегодня пробовал отвечать, но к результату не пришел. До каких рассуждений дошел - завтра опишу

[DialeR7]

All_ex, мысль такая, что если ф-ция не выражается через старшую производную, то применяем метод Ньютона-Контаровича. А именно: представляем ур-е в операторном виде. Используя производную Фреше - линеаризуем. А потом уже известными методами дорешиваем.
Вся загвоздка в производной Фреше..
Сейчас новый пост создам

[All_ex]

Сейчас новый пост создам - Перенёс в этот топик... и поднял его в списке...

[DialeR7]

All_ex, ага, спасибо

[DialeR7]

All_ex, можете помочь посчитать эту производную, пож-та? Здесь можно же по кускам. Производная суммы же равна сумме производных.
Производная Фреше для `F=(dy/dt)^2` - в операторном виде `f=y''` . То есть первый кусочек от необходимой мне производной.

[All_ex]

DialeR7, честно говоря, я уже запутался в Ваших уравнениях и методах... какое-то метание из стороны в сторону сбило меня с толку...
Поэтому попробую ответить на последний вопрос...

Производная Фреше для `F=(dy/dt)^2` - в операторном виде `f=y''` - Нет... Ведь `F` у Вас квадрат первой производной...
Первое слагаемое в уравнении у Вас линейное... а от линейного оператора производная Фреше равна этому же оператору... то есть `y'' -> Ah = h''`...
Для последнего слагаемого тоже всё понятно `(y + h)^2 = y^2 + 2*y*h + h^2 \ => \ y^2 -> Ah = 2*y*h`...
А вот со средним слагаемым пока туплю... думаю...

[DialeR7]

All_ex, было 2 идеи, как разобраться с ф-цией `f(x,y,y',y'')=0`
1) Продифференцировать и решить Фоксом для 3-го порядка
2) Ньютоном-Контраровичем через линеаризацию с пом-ю произв Фреше.

Насчет первого слагаемого. Как записать все в операторной форме? Линейный оператор `F=d^2/(dx^2)`, примененный к точке `y` , которая явл-ся функцией.
Он совпадает с произв-ой Фреше, т.е. `A=d^2/(dx^2)` . Так?
Не совсем понял вашу запись.

[All_ex]

было 2 идеи, - а чем Вас не устроил вариант с разложением по Тейлору из учебника Ц.На?... там, вроде, без третьей производной обойдётесь..

.Он совпадает с произв-ой Фреше, т.е. `A=d^2/(dx^2)` . Так? - так...

[DialeR7]

All_ex, ну в итоге преподаватель хочет чтобы я разобрался с произв-ой Фреше и уже отсюда сделал бы выводы

[All_ex]

ну в итоге преподаватель хочет чтобы я разобрался с произв-ой Фреше и уже отсюда сделал бы выводы - понятно...

[DialeR7]

All_ex, у вас ничего с нелинейной второй частью не получилось?

[All_ex]

Мои раздумья и всякие ковыряния привели к следующему выводу...
Вычисление производной Фреше аналогично вычислению дифференциала... правда надо ещё доказать стремление остатка к нулю... а здесь надо определять рассматриваемые пространства и нормы в них...
`d(sin(y*y')) = cos(y*y')*(y*dy' + y'*dy)`... откуда `sin(y*y') -> Ah = cos(y*y')*(y*h' + y'*h)`...

Вроде, так...

[DialeR7]

All_ex, не понял, как вы последний член `y^2` расписали. По определению пр Фреше: `F(x+h)-F(x)=A*h`
То есть `(y+h)^2-y^2=A*h`
`y^2+2*y*h+h^2-y^2=A*h`
`A*h=2*y*h`
Производная фреше это лин оператор `A`, без h или нет?
И как теперь можно сумму трех операторов записать?
`y^2+cos(y*y')(y*h'+y'*h)+2*A*h` ? Или нет?

[All_ex]

По определению пр Фреше: `F(x+h)-F(x)=A*h`
Не совсем так... `A` не умножается на `h`, он на неё действует... это же оператор...
Во-вторых, ещё стоят младшие члены `+ o(h)`...

Производная фреше это лин оператор A, без h или нет? - это оператор и он действует на `h`... без неё запись оператора достаточно бессмыслена...

И как теперь можно сумму трех операторов записать? - как сумму трёх операторов...

Я так полагаю, что `y` - это будет значение решения с предыдущей итерации, а `h` - искомое решение данной итерации...

[DialeR7]

All_ex, да, понял. Произведение с потолка почему-то взял.
То есть конечная форма пр. Фреше для моей ф-ции будет выглядеть
`y^2+cos(y*y')(y*h'+y'*h)+2*Ah` ?
Осталось разобраться, как применить произв Фреше к исходной задаче..
То есть нелинейную ф-цию заменяем линейной `y^2+cos(y*y')(y*h'+y'*h)+2*Ah=f(x,y,y',y'')`

Надо ли рассматривать вариации для метода Ньютона-Контаровича?
По лекциям так:
Используем метод Ньютона в операторной форме `F'(y_k)delta(y_k)=-F(y_k)`, где `delta(y_k)=y_(k+1)-y_k`

[All_ex]

DialeR7, То есть конечная форма пр. Фреше для моей ф-ции будет выглядеть
`y^2+cos(y*y')(y*h'+y'*h)+2*Ah` ?
Что-то я не понял... откуда у Вас взялось первое слагаемое`y^2`?... и что такое `A` в последнем?...

[DialeR7]

All_ex, ошибся . Первое слагаемое `h''` - совпадает с линейный оператором. В последнем `Ah=2yh`
Получили: `h'' + cos (y*y')(y*h'+y'*h)+2*y*h`
Теперь все так?