Литература по численным методам

[l Shift->stop->end l]

Литература по численным методам

Если смогу, то сделаю и раздел Численные методы

 Robot

Учебники и пособия

Старые издания, рассчитанные, в основном, на безмашинные вычисления.

• Березин, Жидков Численные методы в 2 томах.
  
• Демидович Б.П., Марон И.А., Основы вычислительной математики. (3-е изд.). М.: Наука, 1966.
  
• Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. М.: Наука, 1967.
  
• Копченова Н.В., Марон И.А., Вычислительная математика в примерах и задачах. М. Наука, 1972.

Более новые издания

• Бахвалов Н. С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения) - М.: «Наука», 1975. – 632 с.
  
• Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. Бином. Лаборатория знаний. 2003. – 640 с.
  
• Самарский А. А. Введение в численные методы. Учебное пособие для вузов. 3-е изд., стер. — СПб.: Издательство «Лань», 2005. — 288 с
  
• Калиткин Н.Н. Численные методы - Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1978, 512 с.
  
• Марчук Г. И., Методы вычислительной математики. М., Наука, 1977, 456 с.
  
• Волков Е.А. Численные методы. Учеб. пособие для вузов. - 2-е изд., испр. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 248 с.
  
• Крылов В.И., Бобков В.В., Mонастырный П.И. Вычислительные методы, том II. - Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1977
  
• Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах — М.: Высш. шк. , 2008, 480 с.
  
• Поттер Д. Вычислительные методы в физике - М.: Мир, 1975. -392 с.
  
• Хемминг Р. В. Численные методы для научных работников и инженеров - Изд.: Наука, 1972, 399 c.
  
• Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика - Пер. с нем. - М.: Мир, 1969. - 448 с.
  
• Коллатц Л., Альбрехт Ю. Задачи по прикладной математике: Пер. с нем. - М:Мир,1978. 168 с.
  
• Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина: Пер. с англ. - М:Мир, 1988, 352 с.
  
• Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления: Пер. с англ. - М:Мир, 1987, 360 с.
  
• Буслов В.А., Яковлев С.Л. Введение в численный анализ - СПб: 1999. 99 с.
  
• Буслов, Яковлев, Численные методы, в 2 -х ч. - СПб, 2001
  
• George W. Collins, II. Fundamental Numerical Methods and Data Analysis - 2003
  
• Формалев В. Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 400 с.
  
• Амосов АЛ, Дубинекнй ЮЛ., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. — М.: Высш. шк., 1994. — 544 с: ил.
  
• Петров И.Б., Лобанов А.И. Лекции по вычислительной математике: Учебное пособие - М: Интернет-Университет Информационных Технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006, 523 с: ил.
  
• Пирумов У. Г. Численные методы. МАИ, 1998. 188 стр.
  
• Данилина Н. И., Дубровская Н. С. Численные методы для техникумов - Высшая школа, 1976. 368 стр.

Теория приближений

• Альберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория слайнов и её приложения: Пер. с англ. - М.:Мир, 1972, 318 с.
  
• Медведев Н.В. Применение сплайнов в теории приближений: учебное пособие - Чебоксары: Чувашский государственный университет, 1977. - 68 с.

Линейные системы алгебраических уравнений

• Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры - Наука, 1977, 304 с.
  
• Икрамов Х.Д. Несимметричная проблема собственных значений. Численные методы - Наука, 1991, 240 с.
  
• Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения - М.: Мир, 2001. -435с.
  
• Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений: Пер. с англ. - М:Мир, 1984, 336 с.
  
• Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы: Пер. с англ. - М.:Мир, 1983, 384 с.
  
• Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений: Пер.с анг. - М.:Мир,1969, 168 с.
  
• Уилкинсон Дж.X. Алгебраическая проблема собственныx значений - Изд-во "Наука", 1970. -565 с.
  
• Уилкинсон Дж.Х., Райнш С. Справочник алгоритмов на языке Алгол. Линейная алгебра - М.: Машиностроение, 1976. 390 с.

Нелинейные уравнения



Дифференциальные уравнения

• Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений: Пер. с англ. - М.:Мир, 1969, 368 с.
  
• Штеттер Х. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. Пер. с англ. - М.:Мир, 1978, 464 с.
  
• Хайрер Э., Нёрсет С. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений: Нежесткие задачи. - М.:Мир, 1990, 512 с.
  
• Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге—Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений: Пер. с англ. - М.Мир, 1988, 334 с

Разностные схемы

• Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. Введение в теорию. Изд.2, перераб. и доп. - Наука, 1977, 440 с
  
• Ворожцов Е.В. Сборник задач по теории разностных схем: Учеб. пособие. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000. — 41 с.
  
• Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем - Наука, 1971, 552 с.
  
• Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений - Наука, 1978, 592 с.
  
• Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач: Пер. с англ. - М.:Мир, 1972, 420 с.

Методы конечных и граничных элементов

• Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. Пер. с англ. - М.:Мир, 1976, 464 с.
  
• Сегерлинд П. Применение метода конечных элементов: Пер. с англ. - М.:Мир, 1979, 392 с.
  
• Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. Пер. с англ. - М.:Мир, 1977, 352 с.
  
• Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975, 541 с.
  
• Деклу Ж. Метод конечных элементов - М.: Мир, 1976, 96 c.

Численные методы оптимизации

• Дэннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений: Пер. с англ. - М.:Мир, 1988, 440 с
  
• Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация. Пер. с франц. - М.:Мир, 1975, 496 с.

Вычислительная геометрия

• Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение: Пер. с англ. - М.:Мир, 1989, 480 с.

Шаблон

<table width="100%;" cellpadding="5"> <tbody><tr>
<td width="1%;" valign="top"><img src="ОБЛОЖКА" width="130px;" /></td>
<td width="98%;" valign="top"><p><b>НАИМЕНОВАНИЕ</b>
АННОТАЦИЯ 
Скачать (ФОРМАТ, РАЗМЕР Мб) <a href="ССЫЛКА" target="_blank">ОБМЕННИК</a></p></td></tr> </tbody></table>
[MORE=Содержание]
Содержание
[/MORE]

@темы: Литература

Comments

[mpl]

Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений (в 2-х томах) - Изд: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959/1962, 464 + 620 c. Книга предназначена в качестве учебного пособия для студентов механико-математических и физико-математических факультетов, специализирующихся по вычислительной математике, и лиц, интересующихся теорией и практикой численных методов. Скачать eqworld

В первом томе книги рассмотрены действия с приближенными числами, теория интерполирования, численное дифференцирование и интегрирование, равномерные и среднеквадратичные приближения функций.

Содержание

Содержание
Предисловие 7
Введение 9
§ 1. Предмет вычислительной математики
§ 2. Метод вычислительной математики
§ 3. Средства вычислений 16
§ 4. Методы вычислений как раздел вычислительной математики.
Глава 1. Действия с приближенными величинами 38
§ 1. Классификация погрешностей 38
§ 2. Неустранимая погрешность 42
§ 3. Погрешности округления 53
§ 4. Полная погрешность 57
§ 5. Понятие о статистических методах оценки погрешностей ... 59
§ 6. Среднеквадратичные погрешности 64
Глава 2. Теория интерполирования и некоторые ее приложения 77
§ 1. Постановка задачи 77
§ 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа 34
§ 3. Погрешности интерполяционной формулы Лагранжа 90
§ 4. Остаточный член общей, интерполяционной формулы 98
§ 5. Интерполяционная формула Ньютона для неравных промежутков 102
§ 6. Интерполяционные формулы Ньютона для равных промежутков 112
§ 7. Интерполяционные формулы, использующие центральные разности 125
§ 8. Некоторые другие подходы к выводу формул интерполирования для равных промежутков 142
§ 9. Сходимость интерполяционного процесса 149
§ 10. Интерполирование периодических функций 152
§ 11. Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами
§ 12. Интерполирование функций многих независимых переменных 181
§ 13. Интерполирование функций комплексного переменного .... 195
§ 14. Применение интерполирования для составления таблиц .... 196
§ 15. Обратное интерполирование 202
Глава 3. Численное дифференцирование и интегрирование . . . 217
§ 1. Задача численного дифференцирования 217
§ 2. Формулы численного дифференцирования 220
§ 3. Задача численного интегрирования 237
§ 4. Формулы Ньютона — Котеса 240
§ 5. Формулы численного интегрирования Гаусса 254-
§ 6. Формулы численного интегрирования Чебышева 269
§ 7. Сходимость квадратурных процессов 279
§ 8. Формула Эйлера 284
§ 9. Формулы численного интегрирования, содержащие разности подынтегральной функции 297
§ 10. Некоторые замечания по поводу формул численного интегрирования 305
§ 11. Вычисление несобственных интегралов 308
§ 12. Приближенное вычисление кратных интегралов 315
Глава 4. Равномерные приближения 331
§ 1. Наддучшее приближение в линейных нормированных пространствах 333
§ 2. Наилучшее равномерное приближение непрерывных функций обобщенными многочленами • 337
§ 3. Алгебраические многочлены наилучшего равномерного приближения 347
§ 4. Тригонометрические многочлены наилучшего приближения . . 355
§ 5, Некоторые теоремы о порядке наилучшего равномерного приближения непрерывных функций 358
§ 6. Приближенное построение алгебраических многочленов наилучшего приближения 364
Глава 5. Среднеквадратичные приближения 386
§ 1. Гильбертовы пространства 387
§ 2. Ортонормированные системы в гильбертовом пространстве. Ряды Фурье 390
§ 3, Приближения в гильбертовом пространстве 395
§ 4, Среднеквадратичные приближения функций алгебраическими многочленами 398
§ 5. Некоторые частные случаи ортогональных систем многочленов 406
§ 6. Сходимость рядов по ортогональным системам многочленов . 423
§ 7. Среднеквадратичные приближения функций тригонометрическими многочленами 433
§ 8, Приближение функций, заданных таблицей, по методу наименьших квадратов 434
§ 9, Приближения по методу наименьших квадратов алгебраическими многочленами 436
§ 10, Применение метода наименьших квадратов для сглаживания результатов наблюдения 444
§ 11. Применение метода наименьших квадратов к построению эмпирических формул. Решение систем линейных алгебраических
уравнений по методу наименьших квадратов 446
§ 12. Приближение функций, заданных таблицей, тригонометрическими многочленами по методу наименьших квадратов .... 451
§ 13. Схема Рунге вычисления коэффициентов а_0, а_k, b_k в случае N = 4p 455


Во втором томе книги рассмотрены численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, уравнений высших степеней и трансцендентных уравнений, численные методы отыскания собственных значений, приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных и интегральных уравнений.

Содержание

Содержание
Предисловие
Глава 6. Решение систем линейных алгебраических уравнений
§ 1. Классификация методов 9
§ 2. Метод исключения 10
§ 3. Метод квадратного корня 23
§ 4. Метод ортогонализации 25
§ 5. Метод сопряженных градиентов 30
§ 6. Метод разбиения на клетки 41
§ 7. Линейные операторы. Нормы операторов 44
§ 8. Разновидности методов последовательных приближений ... 54
§ 9. Линейные полношаговые методы первого порядка 56
§ 10. Линейные одношаговые методы первого порядка 61
§ 11. Метод скорейшего, спуска , . . ". 67
Глава 7. Численные методы решения алгебраических уравнений
высших степеней и трансцендентных уравнений .... 76
§ 1. Введение 76
§ 2. Отделение корней 76
§ 3. Метод Лобачевского решения алгебраических уравнений . . . 103
§ 4. Итерационные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений 128
§ 5. Решение систем уравнений 150
§ 6. Отыскание корней алгебраических уравнений методом выделения множителей 162
Глава 8. Вычисление собственных значений и собственных векторов матриц 177
§ 1. Введение 177
§ 2. Метод А. Н. Крылова 178
§ 3. Метод Ланцоша 188
§ 4. Метод Данилевского 198
§ 5. Обзор других способов получения характеристического многочлена 208
§ 6. Определение границ собственных значений 214
§ 7. Итерационные методы отыскания собственных значений и собственных векторов матриц 228
§ 8. Ускорение сходимости итерационных процессов при решении задач линейной алгебры 244
§ 9. Неустранимая погрешность при численном решении систем линейных алгебраических уравнений 251
Глава 9. Приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений 259
§ 1. Введение 259
§ 2. Метод С. А. Чаплыгина 260
§ 3. Метод малого параметра 277
§ 4 Метод Рунге — Кутта 286
§ 5. Разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка 327
§ 6. Разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков 345
§ 7. Оценка погрешности, сходимость и устойчивость разностных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений . 354
§ 8. Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений методом конечных разностей 372
§ 9. Метод прогонки 387
§ 10. Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений вариационными методами 391
Глава 10. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных и интегральных уравнений 410
§ 1. Введение 410
§ 2. Метод сеток решения краевых задач для дифференциальных уравнений эллиптического типа 412
§ 3. Метод сеток решения линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа 443
§ 4. Метод характеристик численного решения гиперболических систем квазилинейных дифференциальных уравнений в частных
производных 161
§ 5. Метод сеток решения линейных дифференциальных уравнений параболического типа 490
§ 6. Метод прогонки решения краевых задач для уравнений в частных произзодных 506
§ 7. Сходимость и устойчивость разностных схем 516
§ 8. Метод прямых решения граничных задач для дифференциальных уравнений в частных производных 537
§ 9. Вариационные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений математической физики 561
§ 10. Приближенные методы решения интегральных уравнений . . . 590

[mpl]

Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики - М.: Наука, 1966 г., 664 стр. Книга посвящена изложению важнейших методов и приемов вычислительной математики на базе общего втузовского курса высшей математики. Основная часть книги является учебным пособием по курсу приближенных вычислений для втузов. Книга может быть полезна также для лиц, работающих в области прикладной математики. Скачать eqworld

Содержание, Главы I-XI

Содержание
В ведение. Общие правила вычислительной работы
Глава I. Приближенные числа
§ 1. Абсолютная и относительная погрешности
§ 2. Основные источники погрешностей
§ 3. Десятичная запись приближенных чисел. Значащая цифра. Число верных знаков
§ 4. Округление чисел
§ 5. Связь относительной погрешности приближенного числа с количеством верных знаков этого числа
§ 6. Таблицы для определения предельной относительной погрешности по числу верных знаков и наоборот
§ 7. Погрешность суммы
§ 8. Погрешность разности
§ 9. Погрешность произведения
§ 10. Число верных знаков произведения
§ 11. Погрешность частного
§ 12. Число верных знаков частного
§ 13. Относительная погрешность степени 39
§ 14. Относительная погрешность корня 39
§ 15. Вычисления без точного учета погрешностей 40
§ 16. Общая формула для погрешности 41
§ 17. Обратная задача теории погрешностей 43
§ 18. Точность определения аргумента для функции, заданной таблицей 46
§ 19. Способ границ 48
§ 20*. Понятие о вероятностной оценке погрешности 51
Литература к первой главе 52
Глава П. Некоторые сведения из теории цепных дробей 53
§ 1. Определение цепной дроби 53
§ 2. Обращение цепной дроби в обыкновенную и обратно 54
§ 3. Подходящие дроби 56
§ 4. Бесконечные цепные дроби 64
§ 5. Разложение функций в цепные дроби 70
Литература ко второй главе 73
Глава 111. Вычисление значений функций 74
§ 1. Вычисление значений полинома. Схема Горнера 74
§ 2. Обобщенная схема Горнера 77
§ 3. Вычисление значений рациональных дробей 79
1*
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4. Приближенное нахождение сумм числовых рядов 80
§ 5. Вычисление значений аналитической функции 86
§ 6. Вычисление значений показательной функции 88
§ 7. Вычисление значений логарифмической функции 92
§ 8. Вычисление значений тригонометрических функций 95
§ 9. Вычисление значений гиперболических функций 98
§ 10. Применение метода итерации для приближенного вычисления
значений функции • . . . 100
§11. Вычисление обратной величины 101
§ 12. Вычисление квадратного корня 104
§ 13. Вычисление обратной величины квадратного корня 108
§ 14. Вычисление кубического корня 108
Литература к третьей главе 111
Глава IV. Приближенное решение алгебраических и
трансцендентных уравнений 112
§ 1. Отделение корней 112
§ 2. Графическое решение уравнений 116
§ 3. Метод половинного деления 118
§ 4. Способ пропорциональных частей (метод хорд) 119
§ 5. Метод Ньютона (метод касательных) 123
§ 6. Видоизмененный метод Ньютона 131
§ 7. Комбинированный метод 132
§ 8. Метод итерации 135
§ 9. Метод итерации для системы двух уравнений 148
§ 10. Метод Ньютона для системы двух уравнений 152
§ 11. Метод Ньютона для случая комплексных корней 153
Литература к четвертой главе 157
Глава V. Специальные приемы для приближенного решения
алгебраических уравнений 158
§ 1. Общие свойства алгебраических уравнений 158
§ 2. Границы действительных корней алгебраических уравнений . 163
§ 3. Метод знакопеременных сумм 165
§ 4. Метод Ньютона 167
§ 5. Число действительных корней полинома 169
§ 6. Теорема Бюдана — Фурье 171
§ 7. Идея метода Лобачевского—Греффе 176
§ 8. Процесс квадрирования корней 178
§ 9. Метод Лобачевского — Греффе для случая действительных
различных корней 180
§ 10. Метод Лобачевского — Греффе для случая комплексных корней 183
§ 11. Случай пары комплексных корней 186
§ 12. Случай двух пар комплексных корней 190
§ 13. Метод Бернулли 195
Литература к пятой главе 198
Глава VI. Улучшение сходимости рядов 199
§ 1. Улучшение сходимости числовых рядов 199
§ 2. Улучшение сходимости степенных рядов методом Эйлера —
Абеля .. 205
§ 3. Оценки коэффициентов Фурье 210
§ 4. Улучшение сходимости тригонометрических рядов Фурье
методом А. Н. Крылова 213
§ 5. Приближенное суммирование тригонометрических рядов . . . 222
Литература к шестой главе 224
ОГЛАВЛЕНИЕ 5
Глава VII. Алгебра матриц * . . 225
§ 1. Основные определения 225
§ 2. Действия с матрицами 226
§ 3. Транспонированная матрица 230
§ 4. Обратная матрица 231
§ 5. Степени матрицы „ 236
§ 6. Рациональные функции матрицы 237
§ 7. Абсолютная величина и норма матрицы 238
§ 8. Ранг матрицы 244
§ 9. Предел матрицы 245
§ 10. Матричные ряды ¦ 247
§11. Клеточные матрицы 252
§ 12. Обращение матриц при помощи разбиения на клетки . . . . 255
§ 13. Треугольные матрицы 260
§ 14. Элементарные преобразования матриц 263
§ 15. Вычисление определителей 264
Литература к седьмой главе 267
Глава VIII. Решение систем линейных уравнений 268
§ 1. Общая характеристика методов решения систем линейных
уравнений 268
§ 2. Решение систем с помощью обратной матрицы. Формулы
Крамера . . . . 268
§ 3. Метод Гаусса 272
§ 4. Уточнение корней 279
§ 5. Метод главных элементов 281
§ 6. Применение метода Гаусса для вычисления определителей . . 283
§ 7. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса 285
§ 8. Метод квадратных корней 287
§ 9. Схема Халецкого 290
§ 10. Метод итерации 294
§11. Приведение линейной системы к виду, удобному для итерации 301
§ 12. Метод Зейделя 303
§ 13. Случай нормальной системы 305
§ 14. Метод релаксации 307
§ 15. Исправление элементов приближенной обратной матрицы ... 310
Литература к восьмой главе 314
Глава IX*. Сходимость итерационных процессов для систем
линейных уравнений 315
§ 1. Достаточные условия сходимости процесса итерации 315
§ 2. Оценка погрешности приближений процесса итерации .... 317
§ 3. Первое достаточное условие сходимости процесса Зейделя . . 320
§ 4. Оценка погрешности приближений процесса Зейделя по
m-норме 322
§ 5. Второе достаточное условие сходимости процесса Зейделя . . 323
§ 6. Оценка погрешности приближений процесса Зейделя по
/-норме 325
§ 7. Третье достаточное условие сходимости процесса Зейделя . . 326
Литература к девятой главе 328
Глава X. Основные сведения из теории линейных векторных пространств 329
§ 1. Понятие линейного векторного пространства 329
§ 2. Линейная зависимость векторов 330
§ 3. Скалярное произведение векторов 335
§ 4. Ортогональные системы векторов 338
§ 5. Преобразования координат вектора при изменениях базиса . . 340
§ 6. Ортогональные матрицы 342
§ 7. Ортогонализация матриц 343
§ 8. Применение методов ортогонализации к решению систем
линейных уравнений 351
§ 9. Пространство решений однородной системы 356
§ 10. Линейные преобразования переменных 359
§ 11. Обратное преобразование 365
§ 12. Собственные векторы и собственные значения матрицы .... 367
§ 13. Подобные матрицы 372
§ 14. Билинейная форма матрицы 375
§ 15. Свойства симметрических матриц 376
§ 16*. Свойства матриц с действительными элементами 381
Литература к десятой главе 385
Глава XI*. Дополнительные сведения о сходимости итерационных
процессов для систем линейных уравнений 386
§ 1. Сходимость матричных степенных рядов 386
§ 2. Тождество Гамильтона — Кели 389
§ 3. Необходимые и достаточные условия сходимости процесса
итерации для системы линейных уравнений 390
§ 4. Необходимые и достаточные условия сходимости процесса Зей-
деля для системы линейных уравнений 392
§ 5. Сходимость процесса Зейделя для нормальной системы . . , 395
§ 6. Способы эффективной проверки условий сходимости ..... 397
Литература к одиннадцатой главе 401

[mpl]

Содержание, Главы XII-XVII

Глава XII. Нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы 402
§ 1. Вводные замечания , • • . 402
§ 2. Развертывание вековых определителей 402
§ 3. Метод А. М. Данилевского 404
§ 4. Исключительные случаи в методе А. М. Данилевского . . . 410
§ 5. Вычисление собственных векторов по методу А. М.
Данилевского 411
§ 6. Метод А. Н. Крылова 412
§ 7. Вычисление собственных векторов по методу А. Н. Крылова 416
§ 8. Метод Леверрье 417
§ 9. Понятие о методе неопределенных коэффицентов 419
§ 10. Сравнение различных методов развертывания векового
определителя ; 421
§11. Нахождение наибольшего по модулю собственного значения
матрицы и соответствующего собственного вектора 421
§ 12. Метод скалярных произведений для нахождения первого
собственного значения действительной матрицы 428
§ 13. Нахождение второго собственного значения матрицы и
второго собственного вектора 431
§ 14. Метод исчерпывания 434
§ 15. Нахождение собственных элементов положительно
определенной симметрической матрицы 437
§ 16. Использование коэффициентов характеристического полинома
матрицы для ее обращения 442
§ 17. Метод Л. А. Люстерника улучшения сходимости процесса
итерации для решения системы линейных уравнений 444
Литература к двенадцатой главе , 449
ОГЛАВЛЕНИЕ 7
Глава XIII. Приближенное решение систем нелинейных
уравнений 450
§ 1. Метод Ньютона 450
§ 2. Общие замечания о сходимости процесса Ньютона 456
§ 3*. Существование корней системы и сходимость процесса
Ньютона 460
§ 4*. Быстрота сходимости процесса Ньютона 465
§ 5*. Единственность решения 466
§ 6*. Устойчивость сходимости процесса Ньютона при
варьировании начального приближения 469
§ 7. Модифицированный метод Ньютона ...••.. 471
§ 8. Метод итерации 474
§ 9*. Понятие о сжимающем отображении 477
§ 10*. Первое достаточное условие сходимости процесса
итерации 481
§ 31*. Второе достаточное условие сходимости процесса итерации 483
§ 12. Метод скорейшего спуска (метод градиента) 485
§ 13. Метод скорейшего спуска для случая системы линейных
уравнений 490
§ 14*. Метод степенных рядов 494
Литература к тринадцатой главе 496
Глава XIV. Интерполирование функций 497
§ 1. Конечные разности различных порядков 497
§ 2. Таблица разностей 500
§ 3. Обобщенная степень 505
§ 4. Постановка задачи интерполирования 507
§ 5. Первая интерполяционная формула Ньютона 508
§ 6. Вторая интерполяционная формула Ньютона 514
§ 7. Таблица центральных разностей 518
§ 8. Интерполяционные формулы Гаусса 539
§ 9. Интерполяционная формула Стирлинга 521
§ 10. Интерполяционная формула Бесселя 521
§ 11. Общая характеристика интерполяционных формул с
постоянным шагом 524
§ 12. Интерполяционная формула Лагранжа 527
§ 13*. Вычисление лагранжевых коэффициентов 531
§ 14. Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа 535
§ 15. Оценки погрешностей интерполяционных формул Ньютона 537
§ 16. Оценки погрешностей центральных интерполяционных формул 539
§ 17. О наилучшем выборе узлов интерполирования 540
§ 18. Разделенные разности 542
§ 19. Интерполяционная формула Ньютона для неравноотстоящих
значений аргумента 544
§ 20. Обратное интерполирование для случая равноотстоящих узлов 547
§ 21. Обратное интерполирование для случая неравноотстоящих
узлов , . . 550
§ 22. Нахождение корней уравнения методом обратного
интерполирования 551
§ 23. Метод интерполяции для развертывания векового
определителя . . 553
§ 24*. Интерполирование функций двух переменных 555
§ 25*. Двойные разности высших порядков 557
§ 26*. Интерполяционная формула Ньютона для функции двух
переменных 558
Литература к четырнадцатой главе 661
О ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава XV. Приближенное дифференцирование 562
§ 1. Постановка вопроса .... 562
§ 2. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на
первой интерполяционной формуле Ньютона 563
§ 3. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на
формуле Стирлинга 567
§ 4. Формулы численного дифференцирования для равноотстоящих
точек, выраженные через значения функции в этих точках . . 571
§ 5. Графическое дифференцирование 574
§ 6*. Понятие о приближенном вычислении частных производных 575
Литература к пятнадцатой главе • 576
Глава XVI. Приближенное интегрирование функций 577
§ 1. Общие замечания 577
§ 2. Квадратурные формулы Ньютона — Котеса 580
§ 3. Формула трапеций и ее остаточный член 582
§ 4. Формула Симпсона и ее остаточный член 583
§ 5. Формулы Ньютона — Котеса высших порядков 586
§ 6. Общая формула трапеций (правило трапеций) 588
§ 7. Общая формула Симпсона (параболическая формула) .... 589
§ 8. Понятие о квадратурной формуле Чебышева 593
§ 9. Квадратурная формула Гаусса 597
§ 10. Некоторые замечания о точности квадратурных формул . . . 604
§11*. Экстраполяция по Ричардсону 607
§ 12*. Числа Бернулли 611
§ 13*. Формула Эйлера—Маклорена 613
§ 14. Приближенное вычисление несобственных интегралов .... 618
§ 15. Метод Л. В. Канторовича выделения особенностей 621
§ 16. Графическое интегрирование 624
§ 17*. Понятие о кубатурных формулах 627
§ 18*. Кубатурная формула типа Симпсона 629
Литература к шестнадцатой главе 633
Глава XVII. Метод Монте-Карло 634
§ 1. Идея метода Монте-Карло 634
§ 2. Случайные числа 635
§ 3, Способы получения случайных чисел 638
§ 4. Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло .... 641
§ 5*. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом
Монте-Карло 650
Литература к семнадцатой главе 658
Предметный указатель 659

[mpl]

Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа: приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения - 3-е изд. - М.: Наука, Гл. ред. физ-мат литературы, 1967. - 368 с. В книге излагаются избранные вопросы вычислительной математики, и по содержанию она является продолжением учебного пособия Б. П. Демидовича и И. А. Марона "Основы вычислительной математики". Рассчитана на студентов технических, экономических и педагогических институтов. Может быть использована также инженерами, вычислителями и лицами, работающими в области прикладной математики. Скачать (djvu, 3 Мб) rghost

Содержание

Содержание
Из предисловия к первому изданию
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к третьему изданию
Введение
Литература к введению
Глава I. Приближение функций
1. Постановка задачи о приближении функций
2. Интерполирование функций
3. Интерполирование периодических функций с помощью тригонометрических полиномов
4. Точечное квадратичное аппроксимирование функций
5. Функции, ортогональные на точечном множестве
6. Полиномы Чебышева, ортогональные на системе равноотстоящих точек
7. Интегральное квадратичное аппроксимирование функций на отрезке
8. Ортогональные на промежутке системы функций
9. Понятие о гармоническом анализе
10. Полиномы Лсжандра
11. Ортогональность с весом
12. Полиномы Чебышева
13. Понятие о равномерном приближении функций
Литература к главе I
Глава II. Эмпирические формулы
1. Вводные замечания
2. Линейная зависимость
3. Метод выравнивания
4. Квадратичная (параболическая) зависимость
5. Определение параметров эмпирическом формулы
6. Метод выбранных точек
7. Метод средних
8. Метод наименьших квадратов
9. Некоторые соображения о выборе вида эмпирической формулы с двумя параметрами
10. Эмпирические формулы, содержащие три параметра
11. Уточнение полученной эмпирической формулы
12. Общий метод определения параметров эмпирической формулы
Литература к главе II
Глава III. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
1. Общие замечания
2. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов
3. Метод последовательных приближении
4. Метод численного интегрирования
5. Метод Эйлера
6. Модификации метода Эйлера
7. Метод Рунге—Кутта
8. 8. Метод Адамса
9. Метод А.Н. Крылова последовательных сближений
10. Метод Милна
11. Методы, основанные на применении производных высших порядков
12. Численное интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка
13. Метод Чаплыгина
14. Метод Ньютона—Канторовича
15. Некоторые замечания об оценке погрешносгей решений дифференциальных уравнений
Литература к главе III
Глава IV. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
1. Общая постановка краевой задачи
2. Линейная краевая задача
3. Редукция к задаче Кошн двухточечной краевой задачи для линейного уравнения второго порядка
4. Метод конечных разностей
5. Метод прогонки
6. Метод коллокации
7. Метод наименьших квадратов
8. Метод Галеркина
9. Понятие о приближенных методах решения общей краевой задачи
Литература к главе IV
Глава V. Приближенные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными
1. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными
2. Начальные и краевые условия. Задача Коши. Смешанная задача. Корректность постановки смешанной задачи
3. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
4. Некоторые сведения о гармонических функциях. Единственность решения задачи Дирихле
5. Уравнение Лапласа в конечных разностях
6. Решение задачи Дирихле методом сеток
7. Процесс Либмама
8. Понятие о решении задачи Дирихле методом моделирования
9. Понятие о решении задачи Дирихле методом Монте-Карло
10. Метод сеток для уравнения параболического типа
11. Устойчивость конечно-разностной схемы для решения уравнения теплопроводности
12. Метод прогонки для уравнения теплопроводности.
13. Метод сеток для уравнений гиперболического типа
14. Понятие о методе прямых
15. Метод прямых для уравнения Пуассона
Литература к главе V
Глава VI. Вариационные методы решения краевых задач
1. Понятие о функционале и операторе
2. Вариационная задача
3. Основные теоремы вариационного метода решения краевых задач
4. Сведение линейной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка к вариационной задаче
5. Краевые задачи для уравнений Пуассона и Лапласа
6. Идея метода Рнтца
7. Метод Рнтца для простейшей краевой задачи
8. Приложение метода Ритца к решению краевой задачи Штурма—Лиувилля
9. Метод Ритца для задачи Дирихле
Литература к главе VI
Глава VII. Интегральные уравнения
1. Основные виды линейных интегральных уравнений
2. Связь между дифференциальными уравнениями и уравнениями Вольтерра
3. Связь линейной краевой задачи с интегральным уравнением Фредгольма
4. Метод последовательных приближений
5. Решение интегрального уравнения методом конечных сумм
6. Метод вырожденных ядер
7. Метод коллокации
8. Метод наименьших квадратов
9. Метод моментов
Литература к главе VII
Приложение I. Ортогональные полиномы Чебышева для n+1 равноотстоящих точек
Приложение II. Первые 10 полиномов Лежандра
Приложение III. Первые 12 полиномов Чебышева
Предметный указатель

[mpl]

Копчёнова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах - М:Наука, 1972, 368 с Настоящее учебное пособие представляет собой руководство к решению задач по вычислительной математике. Краткое содержание книги: правила приближенных вычислений, вычисление значений функций, приближенное решение систем линейных и нелинейных уравнений, интерполирование, приближенное дифференцирование и интегрирование, приближенное решение дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными), приближенное решение интегральных уравнений. Все параграфы содержат краткие теоретические сведения, подробное решение типовых примеров и задачи для самостоятельного решения. Большинство таких задач снабжены ответами. Книга предназначена для студентов технических и экономических вузов. Она может оказаться полезной также инженерам, сотрудникам вычислительных центров и научным работникам в области технических и экономических наук. Скачать (djvu, 4 Мб) libgen

Копчёнова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах, 2-е изд - Лань, 2008, 368 с Настоящее учебное пособие представляет собой руководство к решению задач по вычислительной математике. Краткое содержание книги: правила приближенных вычислений, вычисление значений функций, приближенное решение систем линейных и нелинейных уравнений, интерполирование, приближенное дифференцирование и интегрирование, приближенное решение дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными), приближенное решение интегральных уравнений. Все параграфы содержат краткие теоретические сведения, подробное решение типовых примеров и задачи для самостоятельного решения. Большинство таких задач снабжены ответами. Книга предназначена для студентов технических и экономических вузов. Она может оказаться полезной также инженерам, сотрудникам вычислительных центров и научным работникам в области технических и экономических наук. Скачать (djvu, 7 Мб) libgen

Содержание

Содержание
Предисловие 7
ГЛАВА I
ПРАВИЛА ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
И ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИЯХ
§ 1. Приближенные числа, их абсолютные и относительные погрешности 9
§ 2. Сложение и вычитание приближенных чисел 12
§ 3. Умножение и деление приближенных чисел 15
§ 4. Погрешности вычисления значений функции 16
§ 5. Определение допустимой погрешности аргументов по допустимой
погрешности функции 21
ГЛАВА II
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ
§ 1. Вычисление значений многочлена. Схема Горнера 24
§ 2. Вычисление значений некоторых трансцендентных функций с помощью
степенных рядов 26
§ 3. Некоторые многочленные приближения 32
§ 4. Применение цепных дробей для вычисления значений трансцендентных
функций 35
§ 5. Применение метода итераций для приближенного вычисления значений
функций 36
ГЛАВА III
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ
ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Основные понятия 43
§ 2. Метод Гаусса 44
§ 3. Компактная схема Гаусса. Модификация Краута—Дулитла .... 48
§ 4. Схема Гаусса, с выбором главного элемента 55
§ 5. Схема Халецкого 60
§ 6. Метод квадратных корней 64
§ 7. Вычисление определителей 70
§ 8. Вычисление элементов обратной матрицы методом Гаусса 73
§ 9. Метод простой итерации 77
§ 10. Метод Зейделя 84
§ 11. Применение метода итераций для уточнения элементов обратной
матрицы 87
ГЛАВА IV
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ
НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Метод Ньютона для системы двух уравнений 90
§ 2. Метод простой итерации для системы двух уравнений 92
§ 3. Распространение метода Ньютона на системы п уравнений с п
неизвестными 95
§ 4. Распространение метода итераций на системы п уравнений с п
неизвестными 99
ГЛАВА V
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
§ 1 Постановка задачи интерполирования 100
§ 2. Интерполирование для случая равноотстоящих узлов. Первая и
вторая интерполяционные формулы Ньютона . 101
§ 3. Интерполяционные формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя 107
§ 4. Интерполяционная формула Лагранжа. Схема Эйткена .... 113
§ 5. Обратное интерполирование 118
§ 6. Нахождение корней уравнения методом обратного интерполирования 124
ГЛАВА VI
ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
§ 1. Формулы численного дифференцирования 127
§ 2. Погрешности, возникающие при численном дифференцировании ... 131
§ 3. Выбор оптимального шага численного дифференцирования 134
ГЛАВА VII
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
§ 1. Квадратурные формулы с равноотстоящими узлами 140
§ 2. Выбор шага интегрирования 147
§ 3. Квадратурные формулы Гаусса 153
§ 4. Интегрирование с помощью степенных рядов 157
§ 5. Интегралы от разрывных функций. Метод Канторовича выделения
особенностей 161
§ 6. Интегралы с бесконечными пределами 168
§ 7. Кратные интегралы. Метод повторного интегрирования, метод Люстер-
ника и Диткина, метод Монте-Карло 172
ГЛАВА VIII
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Задача Коши. Общие замечания 184
§ 2. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов . . 185
§ 3. Метод последовательных приближений 192
§ 4. Метод Эйлера 197
§ 5. Модификации метода Эйлера 202
§ 6. Метод Эйлера с последующей итерационной обработкой 205
§ 7. Метод Рунге — Кутта 206
§ 8. Метод Адамса * 215
§ 9. Метод Милна 223
§ 10. Метод Крылова отыскания «начального отрезка» 226
ГЛАВА IX
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Постановка задачи 238
§ 2. Метод конечных разностей для линейных дифференциальных
уравнений второго порядка . ^ 238
§ 3. Метод прогонки 240
§ 4. Метод конечных разностей для нелинейных дифференциальных
уравнений второго порядка 249
§ 5. Метод Галеркина 253
§ 6. Метод коллокации 257
ГЛАВА X
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ И ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Метод сеток 261
§ 2. Метод сеток для задачи Дирихле 262
§ 3. Итерационный метод решения системы конечно-разностных уравнений 266
§ 4. Решение краевых задач для криволинейных областей 275
§ 5. Метод сеток для уравнения параболического типа 278
§ 6. Метод прогонки для уравнения теплопроводности 284
§ 7. Метод сеток для уравнения гиперболического типа 286
§ 8. Решение уравнений Фредгольма методом конечных сумм 293
§ 9. Решение уравнения Вольтерра второго рода методом конечных сумм 298
§ 10. Метод замены ядра на вырожденное 301
Приложения 304
Ответы 307
Литература 365
Распределение литературы по главам , . . . 367

[mpl]

Н. С. Бахвалов Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения) - Главная редакция физико-математической литературы. – М.: «Наука», 1975. – 632 с. В книге рассматриваются основные положения численных методов, относящиеся к приближению функции, интегрированию, задачам алгебры и оптимизации, решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Значительное внимание уделяется вопросам выбора методов и организации вычисления при решении большого числа однотипных задач. Книга предназначена для студентов университетов и технических вузов с расширенной программой по математике, специализирующихся по прикладной и вычислительной математике, а также для лиц, интересующихся теорией и практикой численных методов. Скачать (djvu, 6 Мб) eqworld

Содержание

Содержание
Предисловие 7
Введение 9
ЧАСТЬ I. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Глава I. Погрешность результата численного решения задачи .... 15
§ 1. Источники и классификация погрешности ... .... 15
§ 2. Запись чисел в ЭВМ 18
§ 3. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных 19
§ 4. О вычислительной погрешности 21
§ 5. Погрешность функции . . ■ 23
Глава II. Интерполяция и смежные вопросы 30
§ 1. Постановка задачи приближения функций 31
§ 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа 35
§ 3. Оценка остаточного члена интерполяционного многочлена
Лагранжа 37
§ 4. Разделенные разности и их свойства . 37
§ 5. Интерполяциониая формула Ньютона с разделенными разностями 39
§ 6. Разделенные разности н интерполирование с кратными узлами 42
§ 7. Уравнения в конечных разностях 47
§ 8. Многочлены Чебышева 56
§ 9. Минимизация оценки остаточного члена интерполяционной
формулы 59
§ 10. Конечные разности 62
§ 11. Интерполяционные формулы Ньютона для равных промежутков 65
§ 12. Интерполяционные формулы Бесселя и Эверетта. Составление
таблиц -67
§ 13. О погрешности округления при интерполировании 75
§ 14. Применение аппарата интерполирования. Обратная интерполяция 77
§ 15. Ортогональные системы и их свойства 78
§ 16. Ортогональные многочлены 85
§ 17. Численное дифференцирование 88
§ 18. О вычислительной погрешности формул численного
дифференцирования 92
Глава III. Численное интегрирование 95
§ 1. Квадратурные формулы Ньютона — Котеса 95
§ 2. Оценка погрешности квадратурной формулы на классе функций 103
§ 3. Квадратурные формулы Гаусса - 107
§ 4. Практическая оценка погрешности элементарных квадратурных
формул 119
§ 5. Интегрирование сильно осциллирующих функций 125
§ 6 Повышение точности интегрирования за счет разбиения отрезка
на равные части . 128
§ 7 О постановках задач оптимизации 134
§ 8 Оптимальные квадратуры на классах функций с одной
производной . 139
§ 9 Оптимизация распределения узлов квадратурной формулы . .147
§ 10 Примеры оптимизации распределения узлов . 153
§ 11 Главный член погрешности 159
§ 12 Формулы Эйлера и Грегори . 163
§ 13 Правило Рунге практической оценки погрешности 167
§ 14 Формулы Ромберга . . . 174
§ 15 Эксперименты и их обсуждение . 178
§ 16 Вычисление интегралов в нерегулярном случае • 185
§ 17. Принципы построения стандартных программ с автоматическим
выбором шага . .193
§ 18 Стандартные программы численного интегрирования 201
Глава IV. Приближение функций и смежные вопросы 210
§ 1 Наилучшие приближения в линейном нормированном
пространстве . 210
§ 2 Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве и
вопросы, возникающие при его практическом построении . . 212
§ 3 Дискретное преобразование Фурье . . 218
§ 4 Быстрое преобразование Фурье . ... 222
§ 5 Наилучшее равномерное приближение 225
§ 6 Примеры наилучшего равномерного приближения . • 228
§ 7. Итерационный метод построения многочлена наилучшего
равномерного приближения . . 235
§ 8 О форме записи многочлена . 242
§ 9 О способах вычисления элементарных функций 249
§ 10 О скорости приближения функций различных классов . 253
§ 11 Интерполяция и приближение сплайнами . . 256
§ 12 Энтропия и е-энтропия . ... 262
Глава V Многомерные задачи ... . 270
§ 1 Метод неопределенных коэффициентов ... . . 271
§ 2 Метод наименьших квадратов . . ... 272
§ 3 Метод регуляризации . . . . . 274
§ 4 Пример регуляризации . . . 275
§ 5 Сведе71ие многомерных задач к одномерным . .... 281
§ 6 Оценка погрешности численного интегрирования по равномерной
сетке . .... 289
§ 7 Оценка снизу погрешности численного интегрирования . . • 292
§ 8 Об оптимизации оценки погрешности на более широких классах
способов интегрирования . . • . . 295
§ 9 Метод Монте-Карло . . . . ... 300
§ 10 Обсуждение правомерности использования недетерминированных
методов решения задач • • 305
§ 11 Ускорение сходимости метода Монте-Карло ... . 307
§ 12 Квадратурные формулы повышенной точности со случайными
узлами . 311
§ 13 О выборе метода решения задачи . . . .... 316
ЧАСТЬ II ЗАДАЧИ АЛГЕБРЫ И ОПТИМИЗАЦИИ
Глава VI Численные методы алгебры 323
§ 1 Методы последовательного исключения неизвестных .... 324
§ 2. Метод ортогонализации . . 333
§ 3 Метод простой итерации 335
§ 4 Исследование реального итерационного процесса . . . 340
§ 5 Спектр семейства матриц . 343
§ 6 б2-процесс практической оценки погрешности и ускорения
сходимости . • 349
§ 7 Оптимизация скорости сходимости итерационных процессов . 352
§ 8 Метод Зейделя . . . . 363
§ 9 Метод наискорейшего градиентного спуска . • 369
§ 10 Метод сопряженных градиентов . . • 372
§ П. Метод Монте-Карло решения систем линейных уравнений 378
§ 12. Итерационные методы с использованием спектрально
эквивалентных операторов 385
§ 13 Погрешность приближенного решения системы уравнений и
обусловленность матриц Регуляризация 388
§ 14 Проблема собственных значений 394
§ 15 Решение полной проблемы собственных значений для
симметричной матрицы методом вращений 400
лава VII Решение систем нелинейных уравнений и задач оптимизации 405
§ 1. Метод простой итерации и смежные вопросы . 4Э7
§ 2 Метод Ньютона решения нелинейных уравнений 411
§ 3 Другие методы решения одного уравнения . . . 416
§ 4 Методы спуска .... . 420
§ 5 Другие методы сведения многомерных задач к задачам меньшей
размерности . .... 425
§ 6 Решение стационарных задач путем установления 429
§ 7 Что оптимизировать' ... 436
§ 8 Как оптимизировать' 440
•ЧАСТЬ III. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
лава VIII. Численные методы решения задачи Коши 447
§ 1 Разложение решения в ряд Тейлора ... . 448
§ 2. Методы Рунге — Кутта . .... 450
§ 3 Методы с контролем погрешности на шаге . . . 459
§ 4 Оценка погрешности одношаговых методов . . 461
§ 5 Конечно-разностные методы ... . 466
§ 6 Метод неопределенных коэффициентов ... ■ . 471
§ 7. Исследование свойств конечно-разностных методов на
модельных задачах .... . 476
§ 8 Оценка погрешности конечно-разностных методов . . • 483
§ 9. Главный член погрешности 488
§ 10. Изучение свойств конечно-разностных методов па более точных
моделях . . . 493
§ 11 Интегрирование систем уравнений . .... 502
§ 12 Ряд общих вопросов 512
§ 13. Формулы численного интегрирования уравнений второго порядка 519
§ 14 Оценка погрешности численного решения задачи Коши для
уравнения второго порядка . . . • ... 523
§ 15. Двусторонние методы .... . . . . • 528
лава IX Численные методы решения краевых задач для
обыкновенных дифференциальных уравнений . 535
§ 1 Простейшие методы решения краевой задачи для уравнения
второго порядка . . ... .... 535
§ 2. Функция Грина сеточной краевой задачи .... ... 542
§ 3. Решение простейшей краевой сеточной задачи 548
§ 4. Замыкания вычислительных алгоритмов 557
§ 5. Обсуждение постановок краевых задач для линейных систем '
первого порядка ..... . 565
§ 6. Алгоритмы решения краевых задач для систем уравнений
первого порядка 571
§ 7. Методы дифференциальной ортогональной прогонки .... 577
§ 8. Нелинейные краевые задачи ... 58
§ 9. Аппроксимации специального типа 59&
§ 10. Конечно-разностные методы отыскания собственных значений . 601
§ 11. Оптимизация распределения узлов интегрирования 606
§ 12. Влияние вычислительной погрешности в зависимости от формы
записи конечно-разностного уравнения ... ... 612
§ 13. Оценка вычислительной погрешности при решении краевой
задачи методом прогонки 618
Список литературы 622
Предметный указатель 628

[mpl]

Самарский А. А. Введение в численные методы. Учебное пособие для вузов. 3-е изд., стер. — СПб.: Издательство «Лань», 2005. — 288 с: ил. — (Учебники для вузов. Специальная литература). ISBN 5-8114-0602-9 Книга написана на основе курса лекций, читавшихся автором на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ, и предназначена для ознакомления с началами численных методов. Теория численных методов излагается с использованием элементарных математических средств, а для иллюстрации качества методов используются простейшие математические модели. В книге рассматриваются разностные уравнения, численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, линейных и нелинейных алгебраических уравнений, разностные методы для уравнений в частных производных. Для студентов факультетов и отделений прикладной математики вузов. Скачать (pdf, 60 Мб) libgen

Содержание

Содержание
Предисловие
Введение

Глава I. Разностные уравнения
§ 1. Сеточные функции
§ 2. Разностные уравнения
§ 3. Решение разностных краевых задач для уравнений второго порядка
§ 4. Разностные уравнения как операторные уравнения
§ 5. Принцип максимума для разностных уравнений
Глава II. Интерполяция и численное интегрирование
§ 1. Интерполяция и приближение функций
§ 2. Численное интегрирование
Глава III. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений
§ 1. Системы линейных алгебраических уравнений
§ 2. Прямые методы
§ 3. Итерационные методы
§ 4. Двухслойная итерационная схема с чебышевскими параметрами
§ 5. Попеременно-треугольный метод
§ 6. Вариационно-итерационные методы
§ 7. Решение нелинейных уравнений
Глава IV. Разностные методы решения краевых задач для обыкновенных диф ференциальных уравнений
§ 1. Основные понятия теории разностных схем
§ 2. Однородные трехточечные разностные схемы
§ 3. Консервативные разностные схемы
§ 4. Однородные схемы на неравномерных сетках
§ 5. Методы построения разностных схем
Глава V. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
§ 1. Методы Рунге - Кутта
§ 2. Многошаговые схемы. Методы Адамса
§ 3. Аппроксимация задачи Коши для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
§ 4. Устойчивость двухслойной схемы
Глава VI. Разностные методы для эллиптических уравнений
§ 1. Разностные схемы для уравнения Пуассона
§ 2. Решение разностных уравнений
Глава VII. Разностные методы решения уравнения теплопроводности,
§ 1. Уравнение теплопроводности с постоянными коэффициентами
§ 2. Многомерные задачи теплопроводности
§ 3. Экономичные схемы
Дополнение
Список литературы
Список обозначений
Предметный указатель

[mpl]

Калиткин Н.Н. Численные методы - Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1978, 512 с. В книге излагаются основные численные методы решения широкого круга математических задач, возникающих при исследовании физических и технических проблем. Изложенные методы пригодны как для расчетов на ЭВМ, так и для «ручных» расчетов. Для каждого метода даны практические рекомендации по применению. Для лучшего понимания алгоритмов приведены примеры численных расчетов. Книга предназначена для студентов, аспирантов В преподавателей университетов и технических институтов, научных работников и инженеров-исследователей, а также для всех, имеющих дело с численными расчетами. Скачать (djvu, 6 Мб) eqworld

Содержание

Содержание
Предисловие редактора 8
Предисловие 10
Глава I Что такое численные методы?
§ 1. Математические модели и численные методы 13
1. Решение задачи A3). 2. Численные методы A5). 3. История
прикладной математики A6).
§ 2. Приближенный анализ 17
1. Понятие близости A7). 2. Структура погрешности B2). 3. Кор-
ректность B4).
Задачи 26
Глава II Аппроксимация функций
§ 1. Интерполирование 27
1. Приближенные формулы B7). 2. Линейная интерполяция B7).
3. Интерполяционный многочлен Ньютона B9). 4. Погрешность
многочлена Ньютона C1). 5. Применения интерполяции C4).
6. Интерполяционный многочлен Эрмита C6). 7. Сходимость интер-
поляции C9). 8. Нелинейная интерполяция D1). 9. Интерполя-
ция сплайнами D4). 10. Монотонная интерполяция D6). 11. Мно-
гомерная интерполяция D7).
§ 2. Среднеквадратичное приближение 51
1. Наилучшее приближение E1). 2. Линейная аппроксимация E3).
3. Суммирование рядов Фурье E6). 4. Метод наименьших квадра-
тов E9). 5. Нелинейная аппроксимация F2).
§ 3. Равномерное приближение 66
1. Наилучшие приближения F6). 2. Нахождение равномерного
приближения F8).
Задачи 69
Глава III Численное дифференцирование
1. Полиномиальные формулы G0). 2. Простейшие формулы G2).
3. Метод Рунге —Ромберга G4). 4. Квазиравномерные сетки G8).
5. Быстропеременные функции (80). 6. Регуляризация дифференци-
рования (81).
Задачи 84
Глава IV Численное интегрирование
§ 1. Полиномиальная аппроксимация 85
1. Постановка задачи (85). 2. Формула трапеций (86). 3. Формула
Симпсона (88). 4. Формула средних (89). 5. Формула Эйлера (91).
6. Процесс. Эйткена (92). 7. Формулы Гаусса —Кристоффеля (94).
8. Формулы Маркова (97). 9. Сходимость квадратурных формул (98).
§ 2. Нестандартные формулы 100
1. Разрывные функции A00). 2. Нелинейные формулы A00). 3. Ме-
тод Филона A03). 4. Переменный предел интегрирования A05).
5. Несобственные интегралы A05).
§ 3. Кратные; интегралы 108
1. Метод ячеек A08). 2. Последовательное интегрирование A11).
§ 4. Метод статистических испытаний 113
1. Случайные величины (ИЗ). 2. Разыгрывание случайной величи-
ны A14). 3. Вычисление интеграла A17). 4. Уменьшение дисперсии
A19). 5. Кратные интегралы A21). 6. Другие задачи A23).
Задачи ".' 124
Глава V Системы уравнений
§ 1. Линейные системы 126
1. Задачи линейной алгебры A26). 2. Метод исключения Гаусса
A28). 3. Определитель и обратная матрица A30). 4. О других пря-
мых методах A32). 5. Прогонка A32). 6. Метод квадратного корня
A35). 7. Плохо обусловленные системы A37).
§ 2. Уравнение с одним неизвестным 138
1. Исследование уравнения A38). 2. Дихотомия A39). 3. Удаление
корней A40). 4. Метод простых итераций A41). 5. Метод Ньютона
A43). 6. Процессы высоких порядков A45). 7. Метод секущих A45).
8. Метод парабол A46). 9. Метод квадрирования A48).
§ 3. Системы нелинейных уравнений 150
1. Метод простых итераций A50). 2. Метод Ньютона A52). 3. Ме-
тод спуска A53). 4. Итерационные методы решения линейных систем
A53).
Задачи 155
Глава VI Алгебраическая проблема собственных значений
§ 1. Проблема и простейшие методы 156
1. Элементы теории A56). 2. Устойчивость A59). 3. Метод интер-
поляции A62). 4. Трехдиагональные матрицы A64). 5. Почти тре-
угольные матрицы A65). 6. Обратные итерации A66).
§ 2. Эрмитовы матрицы 170
1. Метод отражения A70). 2. Прямой метод вращений A75). 3. Ите-
рационный метод вращений A77).
§ 3. Неэрмитовы матрицы 181
1. Метод элементарных преобразований A81). 2. Итерационные ме-
тоды A86). 3. Некоторые частные случаи A87).
§ 4. Частичная проблема собственных значений 189
1. Особенности проблемы A89). 2. Метод линеаризации A89). 3. Сте-
пенной метод A90). 4. Обратные итерации со сдвигом A91).
Задачи 193
Глава VII Поиск минимума
§ 1. Минимум функции одного переменного 194
1. Постановка задачи A94). 2. Золотое сечение A96). 3. Метод па-
рабол A98). 4. Стохастические задачи B00).
§ 2. Минимум функции многих переменных 201
1. Рельеф функции B01). 2. Спуск по координатам- B03). 3. Наиско-
рейший спуск B07). 4. Метод оврагов B09). 5. Сопряженные нап-
равления B10). 6. Случайный поиск B14).
§ 3. Минимум в ограниченной области 215
1. Формулировка задачи B15). 2. Метод штрафных функций B16).
3. Линейное программирование B17). 4. Симплекс-метод B20). 5. Ре-
гуляризация линейного программирования B21).
§ 4. Минимизация функционала 223
1. Задачи на минимум функционала B23). 2. Метод пробных фун-
кций B26). 3. Метод Ритца B30). 4. Сеточный метод B40).
Задачи 236
Глава VIII Обыкновенные дифференциальные уравнения
§ 1. Задача Коши 237
1. Постановка задачи B37). 2. Методы решения B38). 3. Метод
Пикара B40). 4. Метод малого параметра B42). 5. Метод ломаных
B43). 6. Метод Рунге —Кутта B46). 7. Метод Адамса B50). 8. Неяв-
ные схемы B52). 9. Специальные методы B53). 10. Особые точки
B57). 11. Сгущение сетки B58).
§ 2. Краевые задачи 261
1. Постановки задач B61). 2. Метод стрельбы B62). 3. Уравнения
высокого порядка B66). 4. Разностный метод; линейные задачи B68).
5. Разностный метод; нелинейные задачи B71). 6. Метод Галеркина
B76). 7. Разрывные коэффициенты B79).
§ 3. Задачи на собственные значения 280
1. Постановка задач B80). 2. Метод стрельбы B81). 3. Фазовый
метод B82). 4. Разностный метод B84). 5. Метод дополненного
вектора B86). 6. Метод Галеркина B88).
Задачи 289
Глава IX Уравнения в частных производных
§ 1. Введение 290
1. О постановках задач B90). 2. Точные методы решения B92).
3. Автомодельность и подобие B94). 4. Численные методы B96).
§ 2. Аппроксимация 299
1. Сетка и шаблон B99). 2. Явные и неявные схемы C01). 3. Не-
вязка C02). 4. Методы составления схем C03). 5. Аппроксимация
н ее порядок C07).
§ 3. Устойчивость 311
1. Неустойчивость C11). 2. Основные понятия C12). 3. Принцип
максимума C15). 4. Метод разделения переменных C18).5. Метод
энергетических неравенств C22). 6. Операторные неравенства C23).
§ 4. Сходимость 324
1. Основная теорема C24). 2. Оценки точности C27). 3. Сравнение
схем на тестах C31).
Задачи 333
Глава X Уравнение переноса
§ 1. Линейное уравнение 334
1. Задачи и решения C34). 2. Схемы бегущего счета C36). 3. Гео-
метрическая интерпретация устойчивости C41). 4. Многомерное
уравнение C44). 5. Перенос с поглощением C46). 6. Монотонность
схем C48). 7. Диссипативные схемы C51).
§ 2. Квазилинейное уравнение 354
1. Сильные и слабые разрывы C54). 2. Однородные схемы C57).
3. Псевдовязкость C59). 4. Ложная сходимость C62). 5. Консер-
вативные схемы C63).
Задачи 366
Глава XI Параболические уравнения
§ 1. Одномерные уравнения 36S
1. Постановки задач C68). 2. Семейство неявных схем C69). 3. Асимп-
тотическая устойчивость неявной схемы C74). 4. Монотонность C76).
5. Явные схемы C78). 6. Наилучшая схема C80)'. 7. Криволинейные
координаты C84). 8. Квазилинейное уравнение C86).
§ 2. Многомерное уравнение 389
1. Экономичные схемы C89). 2. Продольно-поперечная схема C91).
3. Локально-одномерный метод C94). 4. Метод Монте-Карло C99).
Задачи 399
Глава XII Эллиптические уравнения
§ 1. Счет на установление 401
1. Стационарные решения эволюционных задач D01). 2. Оптимальный
шаг D04). 3. Чебышевский набор шагов D09).
§ 2. Вариационные и вариационно-разностные методы 413
1. Метод Ритца D13). 2. Стационарные разностные схемы D14).
3. Прямые методы решения D15). 4. Итерационные методы D20).
Задачи 423
Глава XIII Гиперболические уравнения
§ 1. Волновое уравнение 424
1. Схема «крест» D24). 2. Неявная схема D27). 3. Двуслойная
акустическая схема. D29). 4. Инварианты D34). 5. Явная многомер-
ная схема D35). 6. Факторизованные схемы D36).
§ 2. Одномерные уравнения газодинамики 439
1. Лагранжева форма записи D39). 2. Псевдовязкость D42). 3. Схе-
ма «крест» D44). 4. Неявная консервативная схема D47). 5. О дру-
гих схемах D50).
Задачи 451
Глава XIV Интегральные уравнения
§ 1. Корректно поставленные задачи 452
1. Постановки задач D52). 2. Разностный метод D55). 3. Метод
последовательных приближений D58). 4. Замена ядра вырожденным
D60). 5. Метод Галеркина D61).
§ 2. Некорректные задачи 462
1. Регуляризация D62). 2. Вариационный метод регуляризации D65).
3. Уравнение Эйлера D69). 4. Некоторые приложения D73). 5. Раз-
ностные схемы D76).
Задачи 478
Глава XV Статистическая обработка эксперимента
1. Ошибки эксперимента D80). 2. Величина и доверительный интер-
вал D82). 3. Сравнение величин D90). 4. Нахождение стохастиче-
ской зависимости D94).
Задачи 500
Приложение. Ортогональные многочлены 501
Литература 505
Предметный указатель 509

[mpl]

Марчук Г. И., Методы вычислительной математики. М., Наука, 1977, 456 с. Книга посвящена изложению численных методов решения задач математической физики. При этом основное внимание уделяется сложным задачам математической физики, которые в процессе решения сводятся, как правило, к более простым, допускающим реализацию алгоритмов на ЭВМ. В книге изложены многие современные подходы к численным методам. Книга предназначается в качестве учебного пособия для студентов старших курсов и аспирантов по специальности Прикладная математика. Она может представлять интерес также для научных работников и других специалистов в области прикладной математики. Скачать (djvu, 3 Мб) libgen.info

Содержание

Содержание
Предисловие 7
Введение 9
Г Л А В А I
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
1.1. Основные и сопряженные операторы 17
1.1.1. Оценки норм некоторых матриц (21). 1.1 2. Вычисление границ
спектра положительной матрицы (22). 1.1.3. Собственные числа и
функции оператора Лапласа (31). 1.1.4. Собственные числа и векторы
конечно-разностного аналога оператора Лапласа (33).
1.2- Аппроксимация 36
1.3. Счетная устойчивость 44
1.4. Теорема сходимости 52
ГЛАВА 2
МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
ДЛЯ ДИФФЕ!-ЕНЦ11ЛЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
2.1. Метод построения разностных уравнепнн для задач с разрывными
коэффициентами иа основе интегрального тождества 56
2.2. Вариационные методы в математической физике 63
2.2.1. Метод Ритца (69). 2.2.2- Метод Галеркина (72). 2.2.3. Метод
наименьших квадратов (75).
2.3. Разностные схемы для уравнений с разрывными коэффициентами,
основанные на вариационных принципах 77
2.3.1. Построение простейших разностных уравнений диффузии с
помощью метода Ритца (77). 2.3.2. Построение простейших
разностных схем на основе метода Галеркина (конечных элементов) (81).
2.4. Некоторые принципы конструирования подпространств для решения
одномерных задач вариационными методами 83
2.4.1. Общий подход к построению вариационно-разностных схем
высокого порядка точности (84). 2.4-2 Построение базиса на
основе тригонометрических функций и его использование в
вариационных методах (88). 2.4.3. Вариационная форма интегрального
тождества (92).
2.5. Вариационно-разностные схемы для двумерного уравнения
эллиптического типа 9S
2.5.1. Метод Ритца (98). 2.5.2. Метод Галеркина (104). 2.5.3.
Способы построения подпространств (108).
2.6. Вариационные методы для многомерных задач Ill
2.6.1. Способы построения подпространств (III). 2.6.2.
Покоординатные методы построения вариационно-разностных схем (113).
2.7. Метод фиктивных областей 115
2.8. Экстремальные задачи с ограничениями и вариационные
неравенства 121
2.8.1. Элементы общей теории (122). 2.8.2. Примеры экстремальных задач
(124). 2.8.3. Численные методы для экстремальных задач (131).
ГЛАВА 3
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ СЕТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
3.1. Интерполяция функций одного переменного 138
3.1.1. Интерполяция функций одного* переменного с помощью
кубических сплайнов (138). 3.1.2. Кусочно-кубическая интерполяция со
сглаживанием (142). 3.1.3. Гладкие восполнения (144).
3.2. Интерполяция функций двух и многих переменных 146
3.3. /--гладкое приближение функций многих переменных 148
3.4. Элементы общей теории сплайнов 155
ГЛАВА 4
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
4.1. Общие понятия теории итерационных методов 162
4.2. Некоторые итерационные методы н их оптимизация 165
4.2.1. Простейший итерационный метод (165). 1.2.2. Сходимость и
оптимизация стационарных итерационных методов (167). 4.2-3.
Метод последовательной верхней релаксации (171). 4.2.4. Чебышевский
итерационный метод (176). 4.2.5. Сравнение скорости сходимости
итерационных методов для систем разностных уравнений (185).
4.3. Нестационарные итерационные методы 188
4.3.1. Теоремы сходимости (188). 4.3.2. Метод минимальных
невязок (191). 4.3.3. Метод сопряженных градиентов (192).
4.4. Метод расщепления 198
4.4 1. Коммутативный случай (201). 4.4-2. Некоммутативный
случай (206). 4.4.3. Вариационная и чебышевская оптимизация
методов расщепления (210).
4.5. Итерационные методы для систем с вырожденными матрицами . . . 212
4.5.1. Случай совместной системы (213). 4.5.2. Случай несовместной
системы (215). 4.5.3. Матричный аналог метода фиктивных областей
(217).
4.6. Итерационные методы при неточных входных данных 221
4.7. Прямые методы решения конечно-разностных уравнений 223
4.7.1. Быстрое преобразование Фурье (223). 4 7.2. Метод
циклической редукции (228). 4.7.3. Факторизация разностных
уравнений (231).
Г Л А В А 5
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ
5.1. Разностные схемы второго порядка аппроксимации с операторами,
зависящими от времени 243
5.2- Неоднородные уравнения эволюционного типа 246
5.3. Методы расщепления нестационарных задач 247
5.3.1. Метод стабилизации (248). 5.3.2. Метод
предиктор-корректор (252). 5.3.3. Метод покомпонентного расщепления (256). 5.3.4.
Некоторые общие замечания (261).
5.4. Многокомпонентное расщепление задач 262
5.4.1. Метод стабилизации (263). 5.4.2. Метод предиктор-корректор
. (264). 5.4.3. Метод покомпонентного расщепления на основе
элементарных схем (266). 5.4.4. Расщепление квазилинейных задач (272).
5.5. Общий подход к покомпонентному расщеплению 273
5.6. Методы решения уравнений гиперболического типа 278
5.6.1. Метод стабилизации (278). 5.6.2. Сведение уравнения
колебаний к эволюционной задаче (282).
г Л а в а б
ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ ПО РИЧАРДСОНУ
6.1. Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка .... 288
6.2. Одномерное уравнение диффузии 294
6.2.1. Метод Галеркнна (294). 6.2.2. Разностный метод (200).
6.3. Метод расщеп.1ения для эволюционной задачи 307
6.4. Экстраполяция Ричардсона для многомерных чадач 311
ГЛАВА 7
ПОСТАНОВКА И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
НЕКОТОРЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
7.1. Основные определения и примеры 317
7.2. Решение обратных эволюционных задач методом рядов Фурье . . . 322
7.3. Обратная эволюционная задача с оператором, зависящим от
времени 325
7.4. Постановка обратных задач на основе методов теории возмущений 331
7.4.1. Некоторые вопросы линейной теории измерении (332).
7.4.2. Сопряженные функции и понятие ценности (333). 7.4.3.
Теория возмущений для линейных функционалов (336). 7.4.4. Числен-
ные методы решения обратных задач и планирование эксперимента
(338).
7.5. Формулировка теории возмущений для сложных нелинейных моделей 344
7.5.1. Основные и сопряженные уравнения (345). 7.5.2. Сопряженные
уравнения и теория возмущений (347). 7.5.3. Теория возмущений для
нестационарных проблем (349). 7.5.4. Спектральный метод н теория
возмущений (350).
ГЛАВА в
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
8.1. Уравнение Пуассона 352
8.1.1. Задача Дирихле для одномерного уравнения Пуассона (352).
8.1.2. Одномерная задача Неймана (354). 8.1.3. Двумерное
уравнение Пуассона (357). 8.1.4. Проблема граничных условий (365).
8.2. Уравнение теплопроводности 367
8.2.1. Одномерная задача теплопроводности (367). 8.2.2. Двумерная
задача теплопроводности (372).
8.3. Уравнение колебаний 373
8.4. Уравнение движения 377
8.4.1. Одномерное уравнение движения (377). 8.4.2. Двумерное
уравнение движения с переменными коэффициентами (384). 8.4.3.
Многомерное уравнение движения (390).
8.5. Нестационарное уравнение переноса 395
ГЛАВА 9
ОБЗОР МЕТОДОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
9.1. Теория аппроксимации, устойчивости и сходимости разностных схем 410
9.2. Методы численного решения задач математической физики 413
9.3. Условно корректные задачи 419
9.4. Вычислительные методы в линейной алгебре 420
9.5. Вопросы оптимизации численных методов 424
9.6. Некоторые тенденции в развитии вычислительной математики . . . 426
Литература 429
Предметный указатель 453
Указатель обозначений 455

[mpl]

Волков Е.А. Численные методы. Учеб. пособие для вузов. - 2-е изд., испр. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 248 с. Соответствует разделу численных методов в программе по высшей математикедля инженерно-технических специальностей ВУЗов. Тесно примыкает к учебникам по высшей математике С.М. Никольского и Я.С. Бугрова. Книгу отличает сжатость и емкость изложения в сочетании с математической строгостью. Рассмотрены численные методы: линейной алгебры, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, а также основные понятия теории приближений. Первое издание вышло в 1982 г. Для студентов инженерно-технических специальностей вузов. Скачать (djvu, 8 Мб) libgen.info

Содержание

Содержание
Предисловие
Введение
Глава I. Приближение функции многочленами
§ 1. Приближенные числа и действия с ними
§ 2. Вычисление значении многочлена. Схема Горнера
§ 3. Многочлены Тейлора
§ 4. Интерполяционный многочлен Лагранжа
§ 5. Линейная интерполяция
§ 6. Минимизация оценки погрешности ннтерноляции. Многочлены Чебышева.
§ 7. Интерполяция с равноотстоящими узлами
§ 8. Конечные и разделенные разности
§ 9. Интерполяционный многочлен Ньютона
§ 10. Численное дифференцирование
II. Сплайны
§ 12. Равномерные приближения функции.
§ 13. Метод наименьших квадратов
§ 14. Исследование погрешностей среднеквадратичных приближений. Сглаживание наблюдений
Глава 2. Численное интегрирование
§ 15. Квадратурные формулы
§ 1G. Правило Рунге практической оценки погрсшности
§ 17. Метод Монте-Карло
§ 18. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
Глава 3. Численные методы линейной алгебры
§ 19. Метод Гаусса
§ 20. Нормы и обусловленность матриц
§ 21. Метод простых итераций и метод Зейделя
§ 22. Метод прогонки
§ 23. Частичные проблемы собственных значений
Глава 4. Методы решения нелинейных уравнений и систем
§ 24. Метод итераций
§ 25. Метод Ньютона
§ 26. Метод деления отрезка пополам
§ 27. Метод наискорейшего (градиентного) спуска
Глава 5. Методы решения краевой задачи для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка
§ 28. Методы минимизации невязки и метод Галеркина
§ 29. Разностный метод. Основные понятия теории разностных схем
Глава 6. Разностные схемы для уравнений с частными производными
§ 30. Линейное уравнение с частными производными первого порядка
§ 31. Смешанная задача для уравнения теплопроводности
§ 32. Волновое уравнение
§ 33. Уравнение теплопроводности с двумя пространственными переменными
§ 34. Згдача Дирихле для уравнения Пуассона
Список литературы
Предметный указатель

[mpl]

Крылов В.И., Бобков В.В., Mонастырный П.И. Вычислительные методы, том II. - Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1977 Книга является второй частью пособия, предназначенного для студентов высших технических учебных заведений, физических и механико-магематических факультетов университетов. Она может служить справочником для всех лиц, которым приходится иметь дело с научными и техническими расчетами. В книге содержится изложение методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными и интегральных уравнений. Приведены также наиболее часто применяемые методы ускорения сходимости рядов и последовательностей. Кроме того, дано краткое изложение некоторых вопросов общей теории вычислительных методов на основе функционального анализа. Скачать (djvu, 6 Мб) eqworld

Содержание

Содержание
Предисловие 7
Глава 6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
§ 1, Методы решения задачи Коти. Вводные замечания
§ 2. Построение одношаговых методов способом разложения решения в ряд Тейлора
1. Пошаговый вариант метода рядов, 2. Видоизменение метода рядов, не требующее вычисления
производных правой части уравнения.
§ 3. Способ Рунге — Кутта построения одношаговых методов
§ 4. Построение вычислительных правил на основе принципа последовательного повышения порядка точности результата
1. Случай уравнений первого порядка. 2. Случай уравнений высших порядков
§ 5. Сходимость одношаговых методов
§ 6. Главный член погрешности. Правило Рунге
§ 7. Методы типа двусторонних
§ 8. Многошаговые методы
1. Экстраполяционные методы Адамса. 2. Интерполяционные методы Адамса G9). 3. Методы с забеганием вперед (85).
§ 9. Решение линейных граничных задач 93
1. Постановка задачи. Понятие о многоточечных и граничных задачах (93). 2. Метод дифференциальной прогонки (95).
§ 10. Решение нелинейных граничных задач 100
1. Метод редукции к задачам Коши A01). 2. Метод линеаризации A04).
§ 11. Метод сеток для решения линейных граничных задач . . 107
1. Постановка задачи. Идея метода сеток A07). 2. Методы замены обыкновенных дифференциальных уравнений и граничных условий системой алгебраических уравнений A08). 3. О разрешимости систем разностных уравнений A11). 4. Метод ортогональной прогонки (ИЗ). 5. Оценка погрешности и сходимость метода сеток A17).
§ 12. Метод Галеркина и метод моментов 120
§ 13. Метод наименьших квадратов и метод Ритца 129
Литература 140
Глава 7. Решение дифференциальных уравнений в частных производных
§ 1. Разностные схемы, основные понятия 141
1. Сходимость и аппроксимация разностных схем A42). 2. Связь аппроксимации и устойчивости со сходимостью A45),
§ 2. Разностные схемы для уравнений параболического типа . . 146
1. Решение задачи Коши A46). 2. Об устойчивости двухслойных разностных схем A51). 3. О разностных схемах расщепления A55). 4. Решение смешанных граничных задач A59). 5. Необходимое спектральное условие устойчивости Неймана A62). 6. Экономичные разностные схемы A65).
§ 3. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа . . 175
1. Построение разностных аппроксимаций для уравнений A76). 2. Аппроксимация граничных условий A80). 3. Построение разностной схемы в случае задачи Дирихле для уравнения Пуассона A83). 4. Об устойчивости разностной схемы B0) A84). 5. Метод матричной прогонки A88). 6. Правило Рунге A91). 7. Метод итераций для разностной задачи Дирихле A92).
§ 4. Разностные схемы для уравнений гиперболического типа . . 201
1. Решение задачи Коши B03). 2. Решение смешанной задачи B08). 3. Об устойчивости явной трехслойной разностной схемы B10).
§ 5. Метод характеристик , 215
1. Характеристики дифференциального уравнения B15). 2. Построение сетки характеристик B21). 3. Нахождение характеристических полосок B24).
§ 6. Метод прямых 228
1. Поперечные схемы метода прямых для уравнений параболического типа B29). 2. Продольные схемы метода прямых для параболических уравнений B34). 3. Метод прямых для уравнений гиперболического типа B38). 4. Метод прямых для эллиптических уравнений B41).
§ 7. Метод интегральных соотношений 244
§ 8. Понятие о методе моментов и методе Галёркина 248
Литература 251
Глава 8. Численное решение интегральных уравнений
§ 1. Введение 252
§ 2. Уравнения вольтеррова вида второго рода 258
1. Вид вычислительного правила и теорема о сходимости вычислительного процесса B58). 2. Правила вычислений, основанные на формуле Эйлера—Маклорена B64).
§ 3. Уравнения Фредгольма второго рода. Метод квадратур . . 266
1. Метод квадратур B67). 2. Сходимость метода квадратур B73). 3. Интерполяционный квадратурный метод B75).
§4. Метод замены ядра уравнения на вырожденное ядро . . . 278
1. Некоторые сведения об уравнениях с вырожденным ядром B78). 2. Замечания о методах построения вырожденного ядра, близкого к ядру уравнения B80). Оценка близости между решениями уравнений в зависимости от близости самих уравнений B82).
Литература 285
Глава 9. Улучшение сходимости рядов и последовательностей
§ 1. Введение 286
1. О задаче улучшения сходимости B86). 2. Связь с проблемой суммирования расходящихся рядов и определения пределов расходящихся последовательностей B89).
§ 2. Интерполяционные методы преобразования последовательности ; 297
1. Некоторые общие сведения B97). 2. Интерполирование при помощи многочленов от 1/я. Случай постоянного числа узлов C01). 3. Некоторые типы сходимости C08). 4. Вспомогательная лемма C09). 5. Некоторые теоремы об ускорении сходимости C12). 6. Интерполяционные методы преобразования с возрастающим числом узлов C14). 7. Обращение преобразования C16). 8. Теорема об ускорении сходимости C20).
§ 3. Улучшение сходимости последовательностей, для которых погрешность приближения к пределу близка к показательной функции или линейной комбинации таких функций . . 325
1. Простейшее правило преобразования и некоторые его свойства C25). 2. Об улучшении сходимости C27). 3. Применение 62-преобразования к улучшению сходимости и аналитическому продолжению степенного ряда C29). 4. Связь с методом интерполирования предельного значения C31). 5. О пути уточнения 62-преобразования C33). 6. Правило ускорения сходимости последовательности, для которой погрешность приближения к пределу близка к линейной комбинации показательных функций C35). 7. Теорема об ускорении сходимости C42). 8. Об улучшении
сходимости и аналитическом продолжении степенного ряда мероморфной функции C49).
§ 4. Улучшение сходимости ряда с помощью выделения медленно сходящейся части 351
1. Введение C51). 2. Числовые ряды. Случай убывания членов ряда по степенному закону C52). 3. Улучшение сходимости тригонометрического ряда C55).
Литература 357
Глава 10. Применение функционального анализа к построению теории некоторых разделов вычислительной математики
§ 1. Необходимые сведения из функционального анализа . . , 358
1. Метрические пространства. Сходимость и полнота C58).
2. Линейные нормированные пространства. Линейные операторы C61). 3. Дифференцирование нелинейных операторов C65).
§ 2. Метод итерации для решения операторных уравнений . . 371
1. Метод итерации для операторных уравнений C72). 2. Теоремы о сходимости и единственности C73). 3. Приложение к системам уравнений с числовыми неизвестными C76).
§ 3. Метод Ньютона для операторных уравнений 380
1. Правило построения приближений к решению C80). 2. Теорема о сходимости последовательности приближений C81).
§ 4. Задача упрощения уравнений 387
1. Введение C87). 2. О разрешимости приближенного уравнения C89). 3. Оценка погрешности приближения и условия сходимости C92).
Литература 394
Указатель обозначений 395
Предметный указатель 396

[mpl]

Поттер Д. Вычислительные методы в физике - М.: Мир, 1975. -392 с. Основное содержание книги составляют алгоритмы методов вычислительной математики в применении к ряду физических задач. Приведены обсуждения математических моделей, выбор правильной системы уравнений для описания физических процессов. Много внимания уделено различным аспектам проблемы твердых тел. Книга предназначена для физиков, теоретиков и экспериментаторов, которым приходится самим программировать решения интересующих их физических задач. Скачать (djvu, 5 Мб) eqworld

Содержание

Содержание
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие к английскому изданию 7
Глава 1. Введение 9
§ 1. Природа вычислительной физики 9
§ 2. Вычислительные машины в физической теории 11
§ 3. Ограниченность математического аппарата 13
§ 4. Дискретная природа вычислительной машины 15
§ 5. Краткое изложение содержания 18
Глава 2. Элементы метода конечных разностей 22
§ 1. Введение. Конечные элементы в физике 22
§ 2. Дискретное представление непрерывной переменной 23
§ 3. Разностные производные по пространству 28
§ 4. Общая постановка задачи с начальными условиями 32
§ 5. Требования к разностному решению задачи с начальными условиями 37
§ 6. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений 44
§ 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков 60
Глава 3. Уравнения в частных производных для сплошных сред 63
§ 1. Происхождение и некоторые свойства уравнений математической 63
физики
§ 2. Устойчивость разностных схем для уравнений в частных 75
производных
§ 3. Уравнение диффузии: явная схема интегрирования первого порядка 79
точности
§ 4. Уравнение переноса: явная схема интегрирования первого порядка 82
точности
§ 5. Дисперсия и диффузия на разностной сетке 84
§ 6. Консервативность на разностной сетке 88
§ 7. Консервативные методы для гиперболических уравнений 91
§ 8. Многомерные явные методы 103
§ 9. Обзор методов для параболических уравнений 107
Глава 4. Численные методы матричной алгебры 113
§1. Введение 113
§ 2. Матричные уравнения в конечно-разностном исчислении 116
§ 3. Матрицы специального вида: метод прогонки для уравнения с 123
трехдиагональной матрицей
§ 4. Матрицы специального вида: «точное», решение уравнения 128
Пуассона
§ 5. Точное решение общего матричного уравнения 138
§ 6. «Неточные», или итерационные, методы решения матричных 141
уравнений
§ 7. Два приближенных метода определения собственных векторов и 159
собственных значений
Глава 5. Частицы: дальнодействие в проблеме N тел 162
§ 1. Частицы и системы частиц 162
§ 2. Движение отдельной частицы в потенциальном поле 163
§ 3. Движение отдельной частицы в плоскости, перпендикулярной 166
магнитному полю
§ 4. Прямое моделирование дальнодействия в системе ТУтел 170
§ 5. Равновесные статистические свойства в моделях с двухчастичным 172
взаимодействием
Глава 6. Расчет поля частиц 183
§ 1. Среднее поле системы частиц 183
§ 2. Бесстолкновительная модель частиц в ячейке 193
§ 3. Применение бесстолкновительной модели частиц в ячейке к 201
моделированию плазмы
§ 4. Применение бесстолкновительной модели частиц в ячейке к 204
моделированию галактик
§ 5. Столкновательная PIC-модель в гидродинамике 211
Глава 7. Частицы в самосогласованном поле: атомы и твердые тела 220
§ 1. Самосогласованные поля в квантовой теории систем частиц 220
§ 2. Тождественность частиц и обменный потенциал 227
§ 3. Атом как система нескольких частиц 232
§ 4. Твердое тело как пример системы многих электронов 243
§ 5. Разложение уравнений Хартри — Фока для волн Блоха 247
Глава 8. Фазовые среды 253
§ 1. Плотность частиц в фазовом пространстве и уравнение Власова 253
§ 2. Некоторые замечания и примеры применения уравнения Власова 256
§ 3. Разностное решение уравнения Власова 259
§ 4. Несжимаемость фазовой среды 262
§ 5. Метод «водяного мешка» 264
Глава 9. Классическая гидродинамика 271
§ 1. Вводные замечания об уравнениях гидродинамики 271
§ 2. Разностное решение уравнений несжимаемой среды 278
§ 3. Несжимаемое течение как система вихревых частиц 290
§ 4. Метод маркеров на сетке для описания поверхностей и тяжелых 298
сред: всплески, водопады, опрокидывание волн
§ 5. Разностное решение уравнений гидродинамики сжимаемых сред 309
§ 6. Расчет ударных волн и разрывов 323
§ 7. Гидростатическое равновесие в моделях атмосферы и мирового 328
океана
Глава 10. Гидродинамика с далыюдсйствующими силами: звезды, 340
§ 1. Самосогласованные поля в сплошной среде 340
§ 2. Уравнения магнитной гидродинамики и их основные свойства 345
§ 3. Методы одномерной магнитной гидродинамики 352
§ 4. Многомерная магнитная гидродинамика 363
§ 5. Гравитационная гидродинамика 374
Литература 382
Предметный указатель 387

[mpl]

Хемминг Р. В. Численные методы для научных работников и инженеров - Изд.: Наука, 1972, 399 c. Книга посвящена численным методам математического анализа, используемым на современных электронных вычислительных машинах. Она состоит из четырех частей. Часть 1, Дискретное исчисление конечных разностей (гл. 1-6), излагает основные понятия конечных разностей, суммирования конечных числовых рядов и конечных рядов Фурье. Часть 2, Приближение многочленами (гл. 7-20), содержит изложение классических численных методов интерполяции, численного интегрирования и численного решения дифференциальных уравнений, основанных на аппроксимации функции обычными алгебраическими многочленами. При этом рассматриваются приближения в смысле точного совпадения в узлах, в смысле .наименьших квадратов и в смысле наименьшего отклонения по Чебышеву. Часть 3, Немногочленные приближения (гл. 21-27), посвящена аппроксимации функций с помощью экспоненциальных, а также с помощью рядов и интеграла Фурье. Часть 4, Алгоритмы и эвристические методы (гл. 28-32), кроме некоторых известных алгоритмов для отыскания корней функции и для ряда задач линейной алгебры, рассматривает примеры моделирования, применения метода Монте-Карло и некоторые игровые задачи. Отдельная заключительная глава посвящена вопросам организации вычислительной работы. Третья и четвертая части книги содержат ряд новых задач и методов. Изложение всех численных методов сопровождается разбором примеров из вычислительной практики автора. Скачать (djvu, 3 Мб) eqworld

Содержание

Содержание
Предисловие редактора перевода 12
Из предисловия автора 14
ЧАСТЬ 1 ДИСКРЕТНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Глава 1. Исчисление разностей 17
§ 1.1. Введение и система обозначений 17
§ 1.2. Разностный оператор 19
§ 1.3. Повторные разности 21
§ 1.4. Таблицы разностей 23
§ 1.5. Факториалы 27
§ 1.6. Деление многочленов 29
§ 1.7. Числа Стирлинга первого рода 32
§ 1.8. Числа Стирлинга второго рода 34
§ 1.9. Пример 35
§ 1.10. Альтернативные замечания 36
§ 1.11. Общие замечания и справки 37
Глава 2. Погрешности округления 37
§ 2.1. Введение 37
§ 2.2. Область ответа 38
§ 2.3. Двойная точность 39
§ 2.4. Счет со значащими разрядами 39
§ 2.5. Статистический подход 40
§ 2.6. Случайное округление 41
§ 2.7. Переменная точность 41
§ 2.8. Оценка шума в таблице 41
§ 2.9. Теория «младшего значащего разряда» 47
§ 2.10. Теория «старшего значащего разряда* 49
§ 2.11. Анализ распространения ошибки при небольшом вычислении 52
§ 2.12. Общие замечания и библиография 53
Глава 3. Исчисление сумм 53
§ 3.1. Введение и система обозначений 53
§ 3.2. Формулы суммирования 56
§ 3.3. Суммирование но частям 58
§ 3.4. Общие замечания 59
Глава 4. Вычисление бесконечных рядов 59
§ 4.1. Введение 59
§ 4.2. Метод Куммера 61
§ 4.3. Некоторые специальные суммы 62
§ 4.4. Метод Эйлера 62
§ 4.5. Нелинейное преобразование 66
§ 4.6. Степенные ряды 67
§ 4.7. Разложение по специальным функциям 68
§ 4.8. Интегралы как приближения сумм 68
§ 4.9. Дигамма-функция 69
Глава 5. Уравнения в конечных разностях 71
§ 5.1. Система обозначений 71
§ 5.2. Пример разностного уравнения первого порядка 72
§ 5.3. Пример уравнения второго порядка 74
§ 5.4. Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами 75
§ 5.5. Пример 76
Глава 6. Конечные ряды Фурье 78
§ 6.1. Введение 78
§ 6.2. Ортогональность на дискретном множестве точек 79
§ 6.3. Точность разложения 81
§ 6.4. Вычисление коэффициентов 83
§ 6.5. Метод двенадцати ординат 85
§ 6.6. Методы с минимумом умножений 87
§ 6.7. Разложение по косинусам 87
§ 6.8. Локальные ряды Фурье 88
ЧАСТЬ II ПРИБЛИЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНАМИ - КЛАССИЧЕСКИЙ ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ
Глава 7. Введение в многочленные приближения 90
§ 7.1. Ориентация 90
§ 7.2. Альтернативные формулировки 92
§ 7.3. Узловые точки, информация 95
§ 7.4. Класс функций 96
§ 7.5. Согласие 97
§ 7.6. Точность 98
Глава 8. Интерполяция многочленами. Данные с произвольными промежутками 99
§ 8.1. Философия 99
§ 8.2. Интерполяционные многочлены 99
§ 8.3. Метод интерполяции Лагранжа 103
§ 8.4. Интерполяционная формула Ньютона 106
§ 8.5. Другая форма для таблицы разделенных разностей 109
§ 8.6. Погрешность многочленной аппроксимации ПО
§ 8.7. Трудности приближения многочленом 113
§ 8.8. О выборе узловых точек 116
Глава 9. Интерполяция многочленами. Равноотстоящие узлы. . . 117
§ 9.1. Формула Ньютона для интерполирования 117
§ 9.2. Интерполирование в таблицах 118
§ 9.3. Ромбовидная диаграмма 119
§ 9.4. Замечания к выведенным формулам 123
§ 9.5. Смешанные интерполяционные формулы 124
Глава 10. Единый метод нахождения интерполяционных формул 125
§ 10.1. Введение 125
§ 10.2. Несколько типичных формул интегрирования 127
§ 10.3. Фиксированные узлы 132
§ 10.4. Некоторые примеры формул 135
§ 10.5. Значения функции и производной в фиксированных точках 137
§ 10.6. Свободные узлы; квадратура Гаусса 139
§ 10.7. Смешанный случай 141
§ 10.8. Замечания 142
§ 10.9. Линейные ограничения на веса 144
§ 10.10. Формула Грегори 147
§ 10.11. Выводы 150
Глава 11. О нахождении остаточного члена формулы 152
§ 11.1. Потребность в остаточном члене . 152
§ 11.2. Порядок остаточного члена 152
§ 11.3. Функция влияния 153
§ 11.4. Случай, когда О (з) имеет постоянный знак 156
§ 11.5. Случай, когда функция влияния меняет знак 158
§ 11.6. Слабое место в методе рядов Тейлора 160
Глава 12. Формулы для определенных интегралов 161
§ 12.1. Введение 161
§ 12.2. Формулы Ньютона—Котеса 164
§ 12.3. Использование формулы Грегори 166
§ 12.4. Открытые формулы 168
§ 12.5. Квадратура Гаусса 169
§ 12.6. Формулы интегрирования смешанного гауссового типа . . . 170
§ 12.7. Суммирование рядов 171
§ 12.8. Эффекты замены переменной 172
§ 12.9. Интегралы с параметром 173
Глава 13. Неопределенные интегралы 173
§ 13.1. Описание содержания главы и система обозначений .... 173
§ 13.2. Несколько простых формул для неопределенных интегралов 175
§ 13.3. Общий метод 177
§ 13.4. Ошибка вследствие отбрасывания членов 178
§ 13.5. Устойчивость 181
§ 13.6. Шум округления 184
§ 13.7. Итоги 186
§ 13.8. Некоторые общие замечания 187
§ 13.9. Экспериментальная проверка устойчивости 189
§ 13.10. Пример интеграла свертки, иллюстрирующий идею устойчивости 189
Глава 14. Введение в дифференциальные уравнения 191
§ 14.1. Природа и смысл дифференциальных уравнений 191
§ 14.2. Поле направлений 192
§ 14.3. Численное решение 193
§ 14.4. Пример 195
§ 14.5. Устойчивость метода простого прогноза 197
§ 14.6. Устойчивость коррекции 198
§ 14.7. Несколько общих замечаний 200
§ 14.8. Системы уравнений 201
Глава 15. Общая теория методов прогноза и коррекции 202
§ 15.1. Введение 202
§ 15.2. Ошибка от отбрасывания членов 204
§ 15.3. Устойчивость 205
§ 15.4. Помехи округления 209
§ 15.5. Прогноз по трем точкам 209
§ 15.6. Прогнозы типа Милна 210
§ 15.7. Прогнозы типа Адамса—Башфорта 212
§ 15.8. Общие замечания о выборе метода 2!3
§ 15.9. Выбор прогноза 214
§ 15.10. Некоторые формулы 215
§ 15.11. Выбор шага и оценка точности 216
§ 15.12. Экспериментальная проверка 219
Глава 16. Специальные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений 220
§ 16.1. Введение и общее описание 220
§ 16.2. Методы Рунге—Кутта 221
§ 16.3. Методы для уравнения второго порядка, когда отсутствует у 222
§ 16.4. Линейные уравнения 224
§ 16.5. Метод, который использует значения у, у' и у" 225
§ 16.6. Случай, когда решение труднс аппроксимировать многочленом 226
§ 16.7. Краевые задачи 229

[mpl]

Содержание, главы 17-

Глава 17. Метод наименьших квадратов. Теория 232
§ 17.1. Введение 232
§ 17.2. Метод наименьших квадратов 232
§ 17.3. Другие критерии 234
§ 17.4. Ошибки с нормальным распределением 234
§ 17.5. Проведение подходящего многочлена 237
§ 17.6. Ортогональные функции 240
§ 17.7. Общие свойства ортогональных функций 242
§ 17.8- Неравенство Бесселя и полнота 244
§ 17.9. Метод наименьших квадратов и коэффициенты Фурье . . . 245
§ 17.10. Ортогональные многочлены ' 247
§ 17.11. Классические ортогональные многочлены 249
§ 17.12. Сравнение метода наименьших квадратов и разложения в степенные ряды 250
§ 17.13. Метод наименьших квадратов с ограничениями; продолжение примера из § 1.9 251
§ 17.14. Последние замечания о методе наименьших квадратов . . 252
Глава 18. Метод наименьших квадратов. Практика 252
§ 18.1. Общие замечания о многочленном случае 252
§ 18.2. Трехчленное рекуррентное соотношение 253
§ 18.3. Построение квазиортогональных многочленов 255
§ 18.4. Немногочленный случай 255
§ 18.5. Нелинейные параметры 256
Глава 19. Многочлены Чебышева 257
§ 19.1. Введение 257
§ 19.2. Некоторые тождества 259
§ 19.3. Критерий Чебышева 260
§ 19.4. Экономизация " 262
§ 19.5. Механизация процесса экономизации 263
§ 19.6. Смещенные многочлены Чебышева 265
§ 19.7. т-процесс Ланцоша 266
§ 19.8. Видоизменение т-метода 268
§ 19.9. Несколько замечаний о чебышевском приближении 270
§ 19.10. Критерий совпадения моментов 270
Глава 20. Рациональные функции 272
§ 20.1. Введение 272
§ 20.2. Непосредственный подход 273
§ 20.3. Чебышевское приближение рациональными функциями . . . 274
§ 20.4. Обратные разности (симметричные) 275
§ 20.5. Пример 278
ЧАСТЬ III
НЕМНОГОЧЛЕННЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Глава 21. Периодические функции. Аппроксимация Фурье 280
§ 21.1. Цель этой теории 280
§ 21.2. Замена переменных и выбор узлов 281
§ 21.3. Ряды Фурье; периодические явления 282
§ 21.4. Интерполяция периодических функций 285
§ 21.5. Интегрирование 288
§ 21.6. Метод общего оператора 290
§ 21.7. Несколько замечаний относительно общего метода 293
Глава 22. Сходимость рядов Фурье 294
§ 22.1. Сходимость степенных рядов и рядов Фурье 294
§ 22.2. Функции с простым разрывом 295
§ 22.3. Функция, имеющая непрерывные производные более высокого порядка 297
§ 22.4. Улучшение сходимости ряда Фурье 298
§ 22.5. Спектр мощности 299
§ 22.6. Явление Гиббса , 300
§ 22.7. Сигма-множители Ланцоша 301
§ 22.8. Сравнение методов сходимости 303
§ 22.9. Техника дифференцирования по Ланцошу 304
Глава 23. Непериодические функции. Интеграл Фурье 305
§ 23.1. Цель главы 305
§ 23.2. Обозначения и краткое изложение результатов 306
§ 23.3. Интеграл Фурье 310
§ 23.4. Преобразование Фурье некоторых функций 311
§ 23.5. Функции с ограниченным спектром и теорема выборки . . 313
§ 23.6. Теорема свертки 315
§ 23.7. Эффект конечного суммирования 316
Глава 24. Линейные фильтры. Сглаживание и дифференцирование 317
§ 24.1. Введение ,317
§ 24.2. Пример простого сглаживающего фильтра 318
§ 24.3. Пример построения фильтра 319
§ 24.4. Фильтры вообще 320
§ 24.5. Анализ простых формул для дифференцирования 321
§ 24.6. Как избежать вычисления производных? 322
§ 24.7. Метод Филона 323
§ 24.8. Заключительные замечания 325
Глава 25. Интегралы и дифференциальные уравнения 326
§ 25.1. Содержание главы 326
§ 25.2. Метод передаточной функции для интегрирования 327
§ 25.3. Общие формулы интегрирования 331
§ 25.4. Дифференциальные уравнения 332
§ 25.5. Построение фильтров по методу Чебышева 334
§ 25.6. Некоторые детали метода Чебышева 336
Глава 26. Экспоненциальная аппроксимация 340
§ 26.1. Введение 340
§ 26.2. О нахождении формул, использующих экспоненты, когда показатели экспонент известны 340
§ 26.3. Неизвестные показатели 342
§ 26.4. Предупреждения 343
§ 26.5. Экспоненты и многочлены 344
§ 26.6. Остаточные члены 344
Глава 27. Особенности 344
§ 27.1. Введение 344
§ 27.2. Пример интеграла с особенностью в бесконечности 345
§ 27.3. Особенность в линейном дифференциальном уравнении . . 346
§ 27.4. Общие замечания 349
ЧАСТЬ IV АЛГОРИТМЫ И ЭВРИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Глава 28. Нахождение нулей 350
§ 28.1. Алгоритмы и эвристические методы 350
§ 28.2. Метод деления пополам для нахождения корня функции. . 351
§ 28.3. Линейная интерполяция 352
§ 28.4. Параболическая интерполяция 352
§ 28.5. Некоторые общие замечания 353
§ 28.6. Метод Берстоу для нахождения комплексных корней многочлена ^. 355
Глава 29. Системы линейных алгебраических уравнений 359
§ 29.1. Введение 359
§ 29.2. Метод исключения Гаусса 360
§ 29.3. Варианты метода Гаусса 362
§ 29.4. Метод Гаусса—Зайделя 363
§ 29.5. Повышенная точность 364
§ 29.6. Общие замечания 364
Глава 30. Обращение матриц и собственные значения 365
§ 30.1. Введение 365
§ 30.2. Обращение матрицы методом исключения по Гауссу .... 365
§ 30.3. Задача нахождения собственных значений 366
§ 30.4. Наименьшие собственные значения 368
§ 30.5. Несколько замечаний 368
Глава 31. Некоторые примеры моделирования 369
§ 31.1. Введение 369
§ 31.2. Простой пример дискретного моделирования 370
§ 31.3. Пример моделирования складских операций 374
§ 31.4. Трехмерные крестики — нолики 375
§ 31.5. Общие замечания о дискретном моделировании 379
§ 31.6. Непрерывное моделирование 380
Глава 32. Случайные числа и методы Монте-Карло 381
§ 32.1. Понятие случайного числа 381
§ 32.2. Генерирование случайных чисел в машине, работающей в двоичной системе 382
§ 32.3. Генерирование случайных чисел на десятичной машине . . 386
§ 32.4. Другие распределения 386
§ 32.5. Метод Монте-Карло 388
§ 32.6. Еще одна иллюстрация метода Монте-Карло 389
§ 32.7. Метод жулика 390
Глава N+1. Искусство вычислять для инженеров и ученых. . . 391
§ N+1.1. Важность вопроса 391
§ N+1.2. Что мы собираемся делать с ответом? 392
§ N+1.3. Что мы знаем? 393
§ N+1.4. Обдумывание вычислений 394
§ N+1.5. Повторение предыдущих шагов 395
§ N+1.6. Оценка усилий, необходимых для решения задачи . . . 395
§ N+1.7. Изменения первоначального плана 396
§ N+1.8. Философия 397
§ N+1.9. Заключительные замечания 398
Литература 399

[mpl]

Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика - Пер. с нем. - М.: Мир, 1969. - 448 с. Книга посвяшена применениям функционально-аналитических методов к задачам вычислительной математики, в том числе к анализу погрешностей различных приближенных методов. Исследуются разностные методы решения дифференциальных уравнений эллиптического типа, в частности метод переменных направлений. В книге содержатся все необходимые сведения из теории нормированных, метрических и гильбертовых пространств и из других разделов функционального анализа, что позволяет использовать ее независимо от других источников. Книга представляет интерес не только для математиков, но и для научных работников других специальностей и инженеров, имеющих дело с методами вычислительной математики. Она доступна аспирантам и студентам соответствующих специальностей. Скачать (djvu, 4 Мб) eqworld

Содержание

Содержание
Предисловие к русскому изданию 5
Из предисловия автора 9
Сокращенные обозначения 11
ГЛАВА I. ОСНОВЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ . . 13
§ 1. Основные типы задач вычислительной математики .... 13
1.1. Некоторые общие понятия 13
1.2. Решение уравнений 14
1.3. Исследование свойств решения уравнения 18
1.4 Экстремальные задачи с дополнительными условиями или без них 19
1.5. Задачи на представление (определение коэффициентов) . 22
1.6. Оценка значений 25
§ 2. Некоторые типы пространств 26
2.1. Неравенства Гёльдера и Минковского 26
2.2. Топологическое пространство 28
2.3. Квазнметрические и метрические пространства .... 31
2.4. Линейные пространства 37
2.5. Нормированные пространства 39
2.6. Унитарные пространства и неравенство Шварца .... 43
2.7. Равенство параллелограмма 45
2.8. Ортогональность в унитарных пространствах, неравенство Бесселя 50
§ 3. Упорядочения 54
3.1. Частичная и полная упорядоченность 54
3.2. Структуры 56
3.3. Псевдометрические пространства 58
§ 4. Сходимость и полнота , . 59
4.1. Сходимость в псевдометрическом пространстве .... 59
4.2. Последовательность, сходящаяся по Коши 62
4.3. Полнота. Гильбертово и банахово пространства 62
4.4. Некоторые теоремы о непрерывности 68
4.5. Простые следствия для гильбертова пространства. Подпространства 69
4.6. Полные ортонормальные системы в гильбертовых пространствах 72
4.7. Примеры 75
4.8. Слабая сходимость 80
§ 5. Компактность 82
5.1. Компактность и компактность в себе 82
5.2. Примеры компактных и некомпактных множеств ... 83
5.3. Теорема Арцела ... 85
5.4. Компактные в себе множества функций, порожденные интегральным оператором 88
§ 6. Операторы в псевдометрическом и других пространствах . . 91
6.1. Линейные и ограниченные операторы ........ 91
6.2. Действия иад операторами 93
6.3. Обратный оператор 95
6.4. Примеры операторов 98
6.5. Ограниченные обратные операторы 102
6.6. Обусловленность линейного ограниченного оператора . . 104
6.7. Оценка погрешности итерационного метода .... 105
6.8. Теорема Рисса и теорема о выборе 106
6.9. Теорема Банаха о последовательности операторов . . , 108
6.10. Применение квадратурных формул НО
§ 7. Операторы в гильбертовых пространствах 112
7.1. Сопряженный оператор 112
7.2. Примеры 116
7.3. Дифференциальные операторы для функций одного переменного 120
7.4. Дифференциальные операторы от функций многих переменных 122
7.5. Вполне непрерывные операторы 126
7.6. Вполне непрерывный интегральный оператор 129
7.7. Оценка остаточного члена для голоморфной функции . 131
7.8. Оценка погрешности квадратуры, в которой не участвуют производные 132
7.9. Основной принцип вариационного исчисления 135
§ 8. Задачи о собственных значениях 137
8.1. Общие задачи о собственных значениях 137
8.2. Спектр оператора в метрическом пространстве 42
8.3. Оценка собственных значений 143
8.4. Проекторы 146
8.5. Экстремальные свойства собственных значений 150
8.6. Два принципа минимума для дифференциальных уравнений 155
8.7. Метод Ритца 158
§ 9. Нормы векторов и матриц ...... 163
9.1. Нормы векторов 163
9.2. Сравнение различных норм векторов 164
9.3. Нормы матриц 166
9.4. Некоторые сведения из теории матриц 168
9.5. Евклидова норма вектора и согласованная с ней норма матрицы 170
9.6. Другие нормы вектора и подчиненные им нормы матрицы 173
9.7. Преобразованные нормы 175
§ 10. Дальнейшие теоремы о нормах векторов и матриц .... 176
10.1. Двойственная норма вектора 176
10.2. Определение некоторых двойственных норм 178
10.3. Степени матриц 179
10.4. Свойство минимальности спектральной нормы .... 180
10.5. Отклонение матрицы от нормальности 181
10.6. Спектральная вариация одной матрицы относительно другой 185
10.7. Задачи к главе I 188
10.8. Указания к задачам 191
ГЛАВА И. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ 195
§ 11. Теорема о неподвижной точке для общего итерационного метода в псевдометрических пространствах 195
11.1. Итерационный метод и простые примеры 195
11.2 Итерационные методы решения дифференциальных уравнений 197
11.3. Общая теорема о неподвижной точке 200
11.4. Доказательство общей теоремы о неподвижной точке 202
11.5. Теорема единственности 204
§ 12. Частные случаи теоремы о неподвижной точке и модификация оператора 205
12.1. Случай линейного вспомогательного оператора Р . . 205
12.2. Случай метрического пространства С числовым множителем в качестве Р 206
12.3. Случай метрического пространства с нелинейной действительной функцией в качестве Р 208
12.4. Выполнение итераций с модифицированным оператором и вопросы точности 210
12.5. Оценка погрешности модифнцироваииого итерационного процесса 213
§ 13. Итерационные методы для систем уравнений 214
13.1. Одно уравнение 214
13.2. Различные итерационные методы для систем уравнений 216
13.3. Некоторые признаки сходимости для систем линейных уравнений 218
13.4. Признаки сумм по строкам и столбцам 220

[mpl]

Содержание, § 14-

§ 14. Системы уравнений и разностные методы 224
14.1. Разностный метод для эллиптических дифференциальных уравнений 224
14.2. Оценка погрешности итераций по совокупности координат и по отдельным координатам 226
14.3. Блочные итерации 229
14.4. Бесконечные линейные системы уравнений 231
14.5. Метод верхней релаксации с оценкой погрешности 232
14.6. Выбор множителя в методе верхней релаксации 236
14.7. Метод альтернирующих направлений 238
§ 15. Итерационные методы для дифференциальных и интегральных уравнений 240
15.1. Нелинейные краевые задачи 240
15.2. Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения 245
15.3. Интегральные уравнения 246
15.4. Системы гиперболических дифференциальных уравнений 249
15.5. Оценка погрешности для гиперболических систем. . . 252
§ 16. Производные операторов в суперметрнческих пространствах . 255
1 16.1. Производная Фреше 255
16.2. Высшие производные 256
16.3. Цепное правило дифференциального исчисления . . . 258
16.4. Основные примеры образования производных .... 260
16.5. L-метрические пространства 263
16.6. Теорема о среднем и формула Тейлора 266
§ 17. Построение итерационных методов 268
17.1 Обычный и упрощенный методы Ньютона 268
17.2. Оценка погрешности упрощенного метода Ньютона . . 271
17.3 Упрощенный метод Ньютона для нелинейных краевых задач 274.
17.4. Порядок итерационного метода 275
17.5. Итерационные методы для уравнений с голоморфными функциями, возможно, имеющими кратные нули 277
17.6. Общий итерационный метод й-го порядка для решения операторного уравнения Г«=в (процесс Шредера, 1865). 279
17.7. Замечание относительно вычислительных затрат при методах высших порядков ¦ 283
§ 18. Правило ложного положения 284
18.1. Примитивная и нормальная формы правила ложного положения 284
18.2 Примитивная форма правила ложного положения для действительной функции одного переменного .... 286
18.3. Правило ложного положения для операторных уравнений 288
18.4. Обобщение правила ложного положения 290
18.5. Наклон оператора и интерполяционный полином Ньютона 290
18.6. Сходимость метода ложного положения для действительной функции одного переменного 292
18.7. Общие методы и примеры 297
§ 19. Усиленный метод Ньютона 299
19.1. Усиленный метод Ньютона и основные оценочные функции 299
19.2. Общая теорема о сходимости усиленного метода Ньютона 301
19.3. Общие замечания относительно применения метода Ньютона 305
19.4. Метод Ньютона для задачи о собственных значениях . 306
19.5. Метод Ньютона для задачи аппроксимации 310
§ 20. Монотонность и экстремальный принцип для метода Ньютона 314
20.1. Классы задач, выпуклые и вогнутые операторы .... 314
20.2. Монотонность при методе Ньютона 316
20.3. Экстремальные принципы и теорема об ограничениях . 318
20.4. Примеры нелинейных краевых задач 320
20.5. Исследование сходимости 321
20.6. Задачи к главе II 323
20.7. Указания к задачам 324
ГЛАВА III. МОНОТОННОСТЬ. НЕРАВЕНСТВА И ДРУГИЕ ВОПРОСЫ 329
§ 21. Монотонные операторы 32Э
21.1. Определение и примеры 329
21.2. Монотонные разложимые операторы 331
21.& Применение теоремы Шаудера о неподвижной точке . . 335
21.4. Применение теоремы Шаудера к нелинейным дифференциальным уравнениям 337
21.5. Применение к линейной системе уравнений 339
§ 22. Дальнейшее применение теоремы Шаудера 341
22.1. Экстраполяция с оценкой погрешности при монотонной последовательности итераций . 241
22.2. Применение к линейным системам уравнений .... 344
22.3. Применение к линейным дифференциальным уравнениям 347
22.4. Еще одна теорема о монотонности 348
22.5. Применение к нелинейным интегральным уравнениям . 349
§ 23. Матрицы монотонного вида и краевые задачи 352
23.1. Матрица монотонного вида 352
23 2. Операторы монотонного вида в линейных краезых задачах в случае обыкновенного дифференциального уравнения 356
23.3. Теорема о максимуме на границе для нелинейного дифференциального уравнения эллиптического типа . . . 358
23.4. Оператор монотонного вида в нелинейных дифференциальных уравнениях эллиптического типа 363
23.5. Частный случай линейного дифференциального уравнения эллиптического типа 364
§ 24. Задача Коши и другие теоремы о монотонности 366
24.1. Строгая монотонность для параболических уравнений 366
24.2. Общая теорема о монотонности 368
24.3. Нелинейные уравнения гиперболического типа 371
24.4. Мажорирование функции Грина и нелинейные краевые задачи 376
§ 25. Аппроксимация функций 381
25.1. Постановка задачи 381
25.2. Линейная аппроксимация . 384
25.3. Множество минимальных решений при рациональной аппроксимации 385
25.4. Теорема существования рациональной чебышевской аппроксимации 386
25.5. Общая теорема об оценке минимального отклонения . . 388
25.6. Система неравенств 390
25.7. Приложения 393
25.8. Рациональная Т-аппроксимация и задача о собственных значениях 400
§ 26. Дискретная чебышевская аппроксимация и метод замены . . 402
26.1. Дискретная Т-аппроксимация 402
26.2. Базис отсчета и отклонение отсчета 404
26.3. Центр 406
26.4. Метод замены 407
26.5. Задачи к главе III 409
26.6. Указания к задачам 411
Дополнение к теореме Шаудера о неподвижной точке . 416
26.7. Вспомогательные теоремы о компактных множествах . . 416
26.8. Две формулировки теоремы Шаудера о неподвижной точке 419
Литература 422
Именной указатель 432
Предметный указатель 435

[mpl]

Коллатц Л., Альбрехт Ю. Задачи по прикладной математике: Пер. с нем. - М:Мир,1978. 168 с. Имя первого из авторов хорошо известно советским читателям по переводам его книг: «Численные методы решения дифференциальных уравнений» (ИЛ, 1953), «Задачи на собственные значения» («Наука», 1968), «Функциональный анализ и вычислительная математика» («Мир», 1969), «Теория приближений» (совместно с В. Крабсом) («Наука», 1977). По численным методам издан целый ряд учебников, но практически не имеется задачников. Предлагаемая книга в какой-то степени заполняет этот пробел. Изложение охватывает следующие разделы: вычисления, связанные с многочленами, итерационные методы решения уравнений с одним и с многими неизвестными, задачи на собственные значения, интерполяция, численное интегрирование, теория приближений. Книга представляет интерес для студентов-вычислителей, а также для специалистов различных областей, применяющих численные методы в своей работе. Скачать (djvu, 1.4 Мб) eqworld

Содержание

Содержание
Предисловие редактора перевода
Предисловие
1. Уравнения с одним неизвестным
1.1. Введение
1.2. Элементарные методы
1.3. Техника вычислений с многочленами
1.4. Преобразование многочленов
1.5. Теорема о неподвижной точке и итерации
1.6. Метод Ньютона и метод ложного положения
1.7. Дополнения
Список литературы
2. Уравнения со многими неизвестными
2.1. Задачи на собственные значения для матриц
2.2. Итерации в задачах на собственные значения
2.3. Метод исключения для линейных систем уравнений
2.4. Итерационные методы для линейных систем уравнений
2.5. Нелинейные системы уравнений
2.6. Номограммы н счетные линейки
Список литературы
3. Аппроксимации
3.1. Интерполяция
3.2. Численное интегрирование
3.3. Теория приближений в нормированных функциональных пространствах. Чебышёвские приближения
3.4. Гармонический анализ
Список литературы 166

[mpl]

Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина: Пер. с англ. - М:Мир, 1988, 352 с. Книга крупного австралийского математика, содержащая наглядное н поучительное изложение численных методов решения задач на основе известного метода Галёркнна. Много внимания уделено преодолению возникающих ограничений применения методов, сравнению их между собой, связи между аналитическими и численными методами. Даны примеры применения методов, в качестве приложения приведены примеры программ на языке Фортран. Для математиков-вычислителей, механиков, физиков, инженеров-исследователей, аспирантов и студентов вузов. Скачать (djvu, 10 Мб) libgen

Содержание

Содержание
От редактора перевода
Предисловие
Глава 1. Традиционные методы Галеркина
§ 1.1. Введение
§ 1.2. Простые примеры
1.2.1. Обыкновенное дифференциальное уравнение
1.2.2. Задача на собственные значения
1.2.3. Течение вязкой жидкости в канале
1.2.4. Нестационарная теплопередача
1.2.5. Уравнение Бюргерса
§ 1.3. Метод взвешенных невязок
1.3.1. Метод подобластей
1.3.2. Метод коллокаций
1.3.3. Метод наименьших квадратов
1.3.4. Метод моментов
1.3.5. Метод Галёркнна
1.3.6. Обобщенный метод Галёркнна
1.3.7. Сравнение методов взвешенных невязок
§ 1.4. Связь с другими методами
§ 1.5. Теоретические свойства
§ 1.6. Приложения
1.6.1. Свободная конвекция в прямоугольном вырезе
1.6.2. Гидродинамическая устойчивость
1.6.3. Распространение звуковых волн в каналах
1.6.4. Течение вокруг наклонного профиля
1.6.5. Задача о микропластинчатом диске
1.6.6. Другие приложения традиционных методов Галёркнна
§ 1.7. Заключение
Литература
Глава 2. Вычислительные методы Галёркнна
§ 2.1. Трудности реализации традиционного метода Галёркнна
§ 2.2. Решение для узловых значений
§ 2.3. Использование поверочных и пробных функций низкого
порядка
§ 2.4. Использование конечных элементов при рассмотрении задач
со сложной геометрией
§ 2.5. Применение ортогональных поверочных и пробных функций
§ 2.6. Расчет нелинейных членов в физическом пространстве
§ 2.7. Преимущества вычислительных методов Галёркнна
§ 2.8. Заключение
Литература
Глава 3. Метод Галёркнна с конечными элементами
§ 3.1. Пробные функции и конечные элементы
3.1.1. Одномерные элементы
3.1.2. Прямоугольные элементы в двух и трех измерениях
3.1.3. Треугольные элементы
§ 3.2. Примеры
3.2.1. Упрощенное уравнение Штурма --- Лиувилля
3.2.2. Течение вязкой жидкости в канале
3.2.3. Течение невязкой несжимаемой жидкости
3.2.4. Нестационарная теплопередача
3.2.5. Уравнение Бюргерса
§ 3.3. Связь с конечно-разностными формулами
§ 3.4. Теоретические свойства
3.4.1. Сходимость
3.4.2. Оценки погрешностей
3.4.3. Оптимальные оценки погрешностей и суперсходимость
3.4.4. Численные результаты, касающиеся сходимости
§ 3.5. Приложения
3.5.1. Конвективная теплопередача
3.5.2. Течение вязкой несжимаемой жидкости
3.5.3. Исследование течений со струйными закрылками
3.5.4. Распространение звуковых волн в каналах
3.5.5. Приливные течения
3.5.6. Прогноз погоды
§ 3.6. Заключение
Литература
Глава 4. Пути усовершенствования метода Галёркнна с конечными элементами
§ 4.1-. Расщепление во времени
4.1.1. Тепловая задача о входе в сопло
4.1.2. Течение вязкой сжимаемой жидкости
§ 4.2. Подгонка невязок методом наименьших квадратов
§ 4.3. Специальные пробные функции
4.3.1. Особенности
4.3.2. Пристенные турбулентные течения
4.3.3. Формулировка Дородницына для задач о пограничном слое
§ 4.4. Интегральные уравнения
4.4.1. Метод граничных элементов
§ 4.5. Заключение
Литература
Глава 5. Спектральные методы
§ 5.1. Выбор пробных функций
§ 5.2. Примеры
5.2.1. Нестационарная теплопередача
5.2.2. Уравнение Бюргерса
§ 5.3. Приемы, предназначенные для улучшения эффективности
5.3.1. Рекуррентные соотношения
5.3.2. Нелинейные члены
5.3.3. Разностное моделирование изменений во времени
§ 5.4. Другие варианты спектральных методов
5.4.1. Псевдоспектральный метод
5.4.2. Тау-метод
§ 5.5. Ортонормированный метод интегральных соотношений
§ 5.6. Приложения
5.6.1. Глобальное атмосферное моделирование
5.6.2. Прямое моделирование турбулентности
5.6.3. Другие приложения спектральных методов
§ 5.7. Заключение
Литература
Глава 6. Сравнение конечно-разностных, конечно-элементных и спектральных методов
§ 6.1. Типы задач и дифференциальных уравнений в частных производных
§ 6.2. Граничные условия и сложная геометрия границ
§ 6.3. Вычислительная эффективность
§ 6.4. Простота составления программ и легкость их изменения
§ 6.5. Контрольные случаи
6.5.1. Уравнение Бюргерса
6.5.2. Модельные параболические уравнения
6.5.3. Конвекция пассивной скалярной характеристики
6.5.4. Моделирование процессов в открытом океане
§ 6.6. Заключение
Литература
Глава 7. Обобщенные методы Галёркнна
§ 7.1. Обоснование необходимости обобщения
§ 7.2. Теоретические основы
7.2.1. Метод Петрова---Галёркнна
7.2.2. Построение поверочной функции фи
§ 7.3. Задачи об установившихся процессах конвекции --- диффузии
7.3.1. Одномерные схемы высшего порядка
7.3.2. Двумерные задачи
§ 7.4. Параболические задачи
7.4.1. Уравнение нестационарного процесса конвекции---диффузии
7.4.2. Уравнение Бюргерса
§ 7.5. Гиперболические задачи
§ 7.6. Заключение
Литература
Приложение I. Программа BURG1
Приложение 2. Программа BURG4
Предметный указатель

[mpl]

Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления: Пер. с англ. - М:Мир, 1987, 360 с. Книга известных специалистов (ФРГ), посвященная новому направлению вычислительной математики - интервальному анализу, ставящему своей целью не только получение приближенного ответа для решаемой задачи, но и одновременное автоматическое вычисление оценки возможной погрешности. В книге рассматриваются алгоритмы решения основных задач линейной алгебры, нахождения вещественных и комплексных корней многочленов, решения систем нелинейных уравнений. Для этих алгоритмов оцениваются точность и трудоемкость: для части алгоритмов приведена реализация на Алголе 60. Для студентов, аспирантов, инженеров и научных сотрудников, имеющих дело с вычислениями на ЭВМ. Скачать (djvu, 9 Мб) libgen

Содержание

Содержание
Предисловие редактора перевода
Предисловие к английскому изданию
Предисловие к немецкому изданию
Глава 1. Вещественная интервальная арифметика
Глава 2. Дальнейшие понятия и свойства
Глава 3. Интервальное оценивание и множество значений в случае вещественных функций
Глава 4. Машинная интервальная арифметика
Глава 5. Комплексная интервальная арифметика
A. Прямоугольники в качестве комплексных интервалов
B. Круги в качестве комплексных интервалов
Глава 6. Метрика, абсолютная величина и ширина в I (С)
Глава 7. Локализация нулей функций одной вещественной переменной
A. Методы ньютоновского типа
В. Определение оптимального метода
C. Квадратично сходящиеся методы
D. Методы более высоких порядков
E. Интерполяционные методы
Глава 8. Методы одновременной локализации вещественных корней многочленов
Глава 9. Методы одновременной локализации комплексных корней многочленов
Глава 10. Операции над интервальными матрицами
Глава 11. Итерационная локализация неподвижной точки для систем нелинейных уравнений
Глава 12. Системы линейных уравнений, поддающиеся методу итерации
Глава 13. Методы релаксации
Глава 14. Оптимальность симметрического короткошагового метода со взятием пересечения на каждом шаге
Глава 15. О применимости метода Гаусса к системам уравнений с интервальными коэффициентами
Глава 16. Метод Хансена
Глава 17. Процедура Купермана и Хансена
Глава 18. Итерационные методы для локализации обратной матрицы и разложения на треугольные
Глава 19. Методы ньютоновского типа для систем нелинейных уравнений
Глава 20. Методы ньютоновского типа, не использующие обращения матриц
Глава 21. Методы ньютоновского типа для частных типов систем нелинейных уравнений
Глава 22. Полношаговые и короткошаговые методы ньютоновского типа
Приложение А. Порядок сходимости итерационных методов в Vn((IC)) и M mn(IС))
Приложение В. Реализация машинной интервальной арифметики на Алголе 60
Приложение С. Процедуры на Алголе
A. Локализация собственных значений
B. Короткошаговый метод
C. Обращение матрицы
Литература
Дополнительная литература к английскому изданию
Дополнительная литература к русскому изданию
Книги по интервальной математике
Добавление. Интервальные вычисления на ЭВМ. А. Г. Яковлев
Предметный указатель

[mpl]

Буслов В.А., Яковлев С.Л. Введение в численный анализ - СПб: 1999. 99 с. Предлагаемое издание является первой частью учебника для студентов естественнонаучных факультетов и представляет собой изложение вводных лекций по численным методам, читавшихся на протяжении ряда лет авторами в первом семестре II курса фызического факультета СПбГУ. С этим связано ограничение материала вошедшего в учебник, поскольку ко второму курсу студенты еще не обладают достаточной математической подготовкой, необходимой для реализации многих численных методов. В частности, не освещены вопросы численного решения дифференциальных уравнений в частных производных, некорректных задач и ряда других, относящихся ко второй части курса по численным методам, преподаваемого на IV курсе физического факультета, и готовящимся к публикации в качестве второй части настоящего пособия. Тем не менее некоторые вопросы вводного курса численных методов требуют предварительных знаний, выходящих за рамки об'ема математических сведений, получаемых студентами на 1-м и даже 2-м курсе, поэтому авторы сочли как необходимым так и возможным, включить в соответствующих местах базовые сведения из функционального анализа и математической физики, чтобы сделать изложение материала в разумных пределах независимым от априорных знаний читателя. В книге принята нумерация формул по главам. Приведенная библиография частично представляет собой источник справочного материала, но, в основном, рассчитана на дальнейшее изучение численных методов. Авторы рады возможности выразить свою благодарность нашему коллеге С.Ю.Славянову, прочитавшему рукопись и сделавшему ряд ценных замечаний, и признательны Т.В.Фроловой за помощь в наборе текста. Скачать (djvu, 0.6 Мб) libgen

Содержание

Содержание
От авторов.
Введение. Пространства с метрикой.
Аппроксимации функций.
Интерполяция.
Аппроксимации Паде.
Численное дифференцирование.
Дифференцирование интерполяционного полинома.
Конечные разности.
Численное интегрирование.
Наводящие соображения.
Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
Формулы Гаусса-Кристофеля.
Примеры квадратурных формул.
Составные квадратурные формулы.
Другие формулы.
Системы уравнений.
Решение нелинейных уравнений.
Решение линейных систем.
Алгебраические спектральные задачи.
Некоторые сведения из матричной теории.
Собственные числа эрмитовых матриц.
Неэрмитовы матрицы.
Поиск минимума.
Случай одной переменной.
Функции многих переменных.
Дифференциальные уравнения.
Общие сведения.
Задача Коши.
Краевая задача.
Задача Штурма-Лиувилля.
Разностный оператор второй производной.

[mpl]

Буслов В.А., Яковлев С.Л. Численные методы 1: Исследование функций Курс лекций - Санкт-Петербург, 2001 Курс лекций состоит из двух частей. Настоящая первая часть посвящена численным аппроксимациям функций и, связанным с этим вопросам дифференцирования и интегрирования, вторая — решению уравнений, в том числе и дифференциальным. Издание представляет собой изложение вводных лекций по численным методам, читавшихся на протяжении ряда лет авторами в первом семестре II курса физического факультета СПбГУ. Скачать (pdf/rar, 0.5 Мб) libgen

Содержание

Содержание
Введение. Пространства с метрикой.
Аппроксимации функций.
Интерполяция.
Задача интерполяции.
Чебышевские системы функций.
Интерполяция многочленами.
Погрешность интерполяции.
Оценка J\fN+1(x).
Сходимость интерполяции. Примеры.
Сплайны.
Аппроксимации Паде.
"Наивный "подход.
Детерминантное Представление полиномов Паде.
Аппроксимации Паде в бесконечно удаленной точке.
Численное дифференцирование.
Дифференцирование интерполяционного полинома.
Конечные разности.
Оператор ∆ и обобщенная степень.
Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов.
Численное интегрирование.
Наводящие соображения.
Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
Случай равноотстоящих узлов.
Оценка погрешности квадратурных формул Ньютона-Котеса.
Формулы Гаусса-Кристофеля.
Пределы алгебраической степени точности.
Ортогональные полиномы.
Свойства ортогональных полиномов.
Примеры ортогональных полиномов.
Погрешность квадратурных формул.
Примеры квадратурных формул.
Составные квадратурные формулы.
Сходимость квадратурных формул.
Другие формулы.
Сплайн-квадратура.
Формулы Филона.
Составные формулы Филона5 Поиск минимума.
Случай одной переменной.
Метод золотого сечения.
Метод парабол.
Функции многих переменных.
Координатный спуск.
Наискорейший спуск.
Метод сопряженных направлений.

Буслов В.А., Яковлев С.Л. Численные методы 2: Решение уравнений Курс лекций - Санкт-Петербург, 2001 Настоящее издание является второй частью курса лекций по численным методам, читавшихся на протяжении ряда лет авторами в первом семестре II курса физического факультета СПбГУ. Скачать (pdf/rar, 0.5 Мб) libgen

Содержание

Содержание
Системы уравнений.
Решение нелинейных уравнений.
Одномерный случай.
Метод Ньютона.
Метод секущих.
Многомерный случай.
Решение линейных систем.
Обусловленность линейных систем, погрешность.
Метод Гаусса.
L-R разложение.
Метод прогонки.
Метод итераций для решения линейных систем.
Метод Зейделя.
Алгебраические спектральные задачи.
Некоторые сведения из матричной теории.
Собственные числа эрмитовых матриц.
Интерполяционный метод.
Нахождение максимального по модулю собственного значения.
Обратные итерации.
Неэрмитовы матрицы.
Дополнительные сведения.
Метод итераций для максимального по модулю собственного числа кратности в случае жордановой аномалии.
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Общие сведения.
Задача Коши.
Краевая задача.
Задача Штурма-Лиувилля.
Что понимается под численным решением.
Задача Коши.
Получение явных схем.
Схема Эйлера (метод ломаных).
Методы Рунге-Кутта.
Методы Адамса.
Краевая задача.
Метод стрельбы.
Метод сеток (разностный метод).
Сходимость сеточных методов.
Метод Нумерова.
Задача Штурма-Лиувилля.
Метод стрельбы.
Метод сеток.
Разностный оператор второй производной.
Оператор второй производной.
Разностный оператор.
Резольвента.
Теория возмущений.

[mpl]

George W. Collins, II, Fundamental Numerical Methods and Data Analysis - 2003 The origins of this book can be found years ago when I was a doctoral candidate working on my thesis and finding that I needed numerical tools that I should have been taught years before. In the intervening decades, little has changed except for the worse. All fields of science have undergone an information explosion while the computer revolution has steadily and irrevocability been changing our lives. Although the crystal ball of the future is at best "seen through a glass darkly", most would declare that the advent of the digital electronic computer will change civilization to an extent not seen since the coming of the steam engine. Computers with the power that could be offered only by large institutions a decade ago now sit on the desks of individuals. Methods of analysis that were only dreamed of three decades ago are now used by students to do homework exercises. Entirely new methods of analysis have appeared that take advantage of computers to perform logical and arithmetic operations at great speed. Perhaps students of the future may regard the multiplication of two two-digit numbers without the aid of a calculator in the same vein that we regard the formal extraction of a square root. The whole approach to scientific analysis may change with the advent of machines that communicate orally. However, I hope the day never arrives when the investigator no longer understands the nature of the analysis done by the machine. ... Скачать (djvu, 2 Мб) libgen

Содержание

Содержание
List of Figures vi
List of Tables ix
Preface xi
Notes to the Internet Edition xiv
1. Introduction and Fundamental Concepts 1
1.1 Basic Properties of Sets and Groups 3
1.2 Scalars, Vectors, and Matrices 5
1.3 Coordinate Systems and Coordinate Transformations 8
1.4 Tensors and Transformations 13
1.5 Operators 18
Chapter 1 Exercises 22
Chapter 1 References and Additional Reading 23
2. The Numerical Methods for Linear Equations and Matrices 25
2.1 Errors and Their Propagation 26
2.2 Direct Methods for the Solution of Linear Algebraic Equations 28
a. Solution by Cramer's Rule 28
b. Solution by Gaussian Elimination 30
c. Solution by Gauss Jordan Elimination 31
d. Solution by Matrix Factorization: The Crout Method 34
e. The Solution of Tri-diagonal Systems of Linear Equations 37
2.3 Solution of Linear Equations by Iterative Methods 38
a. Solution by The Gauss and Gauss- Seidel Iteration Methods 38
b. The Method of Hotelling and Bodewig 41
c. Relaxation Methods for the Solution of Linear Equations 44
d. Convergence and Fixed-point Iteration Theory 46
2.4 The Similarity Transformations and the Eigenvalues and Vectors of a
Matrix 47
Chapter 2 Exercises 52
Chapter 2 References and Supplemental Reading 53
3. Polynomial Approximation, Interpolation, and Orthogonal Polynomials 55
3.1 Polynomials and Their Roots 56
a. Some Constraints on the Roots of Polynomials 57
b. Synthetic Division 58
c. The Graffe Root-Squaring Process 60
d. Iterative Methods 61
3.2 Curve Fitting and Interpolation 64
a. Lagrange Interpolation 65
b. Hermite Interpolation 72
c. Splines 75
d. Extrapolation and Interpolation Criteria 79
3.3 Orthogonal Polynomials 85
a. The Legendre Polynomials 87
b. The Laguerre Polynomials 88
c. The Hermite Polynomials 89
d. Additional Orthogonal Polynomials 90
e. The Orthogonality of the Trigonometric Functions 92
Chapter 3 Exercises 93
Chapter 3 References and Supplemental Reading 95
4. Numerical Evaluation of Derivatives and Integrals 97
4.1 Numerical Differentiation 98
a. Classical Difference Formulae 98
b. Richardson Extrapolation for Derivatives 100
4.2 Numerical Evaluation of Integrals: Quadrature 102
a. The Trapezoid Rule 102
b. Simpson's Rule 103
c. Quadrature Schemes for Arbitrarily Spaced Functions 105
d. Gaussian Quadrature Schemes 107
e. Romberg Quadrature and Richardson Extrapolation Ill
f. Multiple Integrals 113
4.3 Monte Carlo Integration Schemes and Other Tricks 115
a. Monte Carlo Evaluation of Integrals 115
b. The General Application of Quadrature Formulae to Integrals 117
Chapter 4 Exercises 119
Chapter 4 References and Supplemental Reading 120
5. Numerical Solution of Differential and Integral Equations 121
5.1 The Numerical Integration of Differential Equations 122
a. One Step Methods of the Numerical Solution of Differential
Equations 123
b. Error Estimate and Step Size Control 131
c. Multi-Step and Predictor-Corrector Methods 134
d. Systems of Differential Equations and Boundary Value
Problems 138
e. Partial Differential Equations 146
5.2 The Numerical Solution of Integral Equations 147
a. Types of Linear Integral Equations 148
b. The Numerical Solution of Fredholm Equations 148
c. The Numerical Solution of Volterra Equations 150
d. The Influence of the Kernel on the Solution 154
Chapter 5 Exercises 156
Chapter 5 References and Supplemental Reading 158
6. Least Squares, Fourier Analysis, and Related Approximation Norms 159
6.1 Legendre's Principle of Least Squares 160
a. The Normal Equations of Least Squares 161
b. Linear Least Squares 162
c. The Legendre Approximation 164
6.2 Least Squares, Fourier Series, and Fourier Transforms 165
a. Least Squares, the Legendre Approximation, and Fourier Series 165
b. The Fourier Integral 166
c. The Fourier Transform 167
d. The Fast Fourier Transform Algorithm 169
6.3 Error Analysis for Linear Least-Squares 176
a. Errors of the Least Square Coefficients 176
b. The Relation of the Weighted Mean Square Observational Error
to the Weighted Mean Square Residual 178
c. Determining the Weighted Mean Square Residual 179
d. The Effects of Errors in the Independent Variable 181
6.4 Non-linear Least Squares 182
a. The Method of Steepest Descent 183
b. Linear approximation of f(a_j,x) 184
c. Errors of the Least Squares Coefficients 186
6.5 Other Approximation Norms 187
a. The Chebyschev Norm and Polynomial Approximation 188
b. The Chebyschev Norm, Linear Programming, and the Simplex
Method 189
c. The Chebyschev Norm and Least Squares 190
Chapter 6 Exercises 192
Chapter 6 References and Supplementary Reading 194
7. Probability Theory and Statistics 197
7.1 Basic Aspects of Probability Theory 200
a. The Probability of Combinations of Events 201
b. Probabilities and Random Variables 202
c. Distributions of Random Variables 203
7.2 Common Distribution Functions 204
a. Permutations and Combinations 204
b. The Binomial Probability Distribution 205
c. The Poisson Distribution 206
d. The Normal Curve 207
e. Some Distribution Functions of the Physical World 210
7.3 Moments of Distribution Functions 211
7.4 The Foundations of Statistical Analysis 217
a. Moments of the Binomial Distribution 218
b. Multiple Variables, Variance, and Covariance 219
c. Maximum Likelihood 221
Chapter 7 Exercises 223
Chapter 7 References and Supplemental Reading 224
8. Sampling Distributions of Moments, Statistical Tests, and Procedures 225
8.1 The t, x2, and F Statistical Distribution Functions 226
a. The t-Density Distribution Function 226
b. The x2-Density Distribution Function 227
c. The F-Density Distribution Function 229
8.2 The Level of Significance and Statistical Tests 231
a. The "Students" t-Test 232
b. The^-test 233
c. TheF-test 234
d. Kolmogorov-Smirnov Tests 235
8.3 Linear Regression, and Correlation Analysis 237
a. The Separation of Variances and the Two-Variable Correlation
Coefficient 238
b. The Meaning and Significance of the Correlation Coefficient 240
c. Correlations of Many Variables and Linear Regression 242
d Analysis of Variance 243
8.4 The Design of Experiments 246
a. The Terminology of Experiment Design 249
b. Blocked Designs 250
c. Factorial Designs 252
Chapter 8 Exercises 255
Chapter 8 References and Supplemental Reading 257
Index 259

[mpl]

Формалев В. Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 400 с. - ISBN 5-9221-0479-9. В учебнике представлены основные численные методы решения задач алгебры и анализа, теории приближений и оптимизации, задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений математической физики. Систематически изложены методы конечных разностей, конечных и граничных элементов, методы исследования аппроксимации, устойчивости, сходимости, оценок погрешности. Каждый метод иллюстрируется подробно разобранным примером, даны упражнения для самостоятельной проработки. Для студентов и аспирантов технических университетов, специализирующихся в области теплотехники, прикладной механики и прикладной математики. Книга ориентирована на двухсеместровый курс обучения. Скачать (djvu, 2.6 Мб) libgen

Содержание

Содержание
I. Численные методы алгебры и анализа
Глава 1. Элементы теории погрешностей 11
Глава 2. Численные методы алгебры 16
§2.1. Численные методы решения СЛАУ 17
2.1.1. Метод Гаусса. 2.1.2. Метод прогонки. 2.1.3. Обоснование метода прогонки. 2.1.4. Матричная прогонка . 2.1.5. Нормы векторов и матриц. 2.1.6. Итерационные методы решения СЛАУ. Метод простых итераций. 2.1.7. Метод Зейделя решения СЛАУ. 2.1.8. Метод Зейделя для нормальных СЛАУ.
§ 2.2. Численные методы решения нелинейных и трансцендентных уравнений 50
2.2.1. Способы отделения корней. 2.2.2. Методы уточнения корней. 2.2.3. Скорость сходимости. Процедура Эйткена ускорения сходимости. 2.2.4. Замечания к методам отделения корней.
§ 2.3. Численные методы решения систем нелинейных уравнений 69
2.3.1. Метод простых итераций и метод Зейделя решения систем нелинейных уравнений. 2.3.2. Метод Ньютона.
§ 2.4. Численные методы решения задач на собственные значения и собственные векторы матриц линейных преобразований . 76
2.4.1. Основные определения и спектральные свойства матриц. 2.4.2. Метод вращений Якоби численного решения задач на собственные значения и собственные векторы матриц. 2.4.3. Частичная проблема собственных значений и собственных векторов матрицы. Степенной метод.
Глава 3. Теория приближений 97
§3.1. Исчисление конечных разностей 99
§ 3.2. Задача интерполяции 100
3.2.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа. 3.2.2. Интерполяционный многочлен Ньютона. 3.2.3. Погрешность многочленной интерполяции. 3.2.4. Интерполяционный многочлен Ньютона, построенный с помощью разделенных разностей. 3.2.5. Сплайн-
интерполяция.
§ 3.3. Метод наименьших квадратов 118
§ 3.4. Численное дифференцирование 127
3.4.1. Метод Рунге уточнения формул численного дифференцирования.
§ 3.5. Численное интегрирование функций 134
3.5.1. Формула прямоугольников численного интегрирования. 3.5.2. Численное интегрирование с помощью формулы трапеций. 3.5.3. Формула Симпсона численного интегрирования. 3.5.4. Процедура Рунге оценки погрешности и уточнения формул численного интегрирования.
Глава 4. Численные методы решения задач для обыкновенных дифференциальных уравнений 150
§4.1. Основные определения и постановка задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 150
§ 4.2. Метод Эйлера численного решения задач Коши для ОДУ и систем ОДУ 154
4.2.1. Метод Эйлера для нормальных систем ОДУ.
§ 4.3. Метод Эйлера-Коши (Эйлера с пересчетом) 156
4.3.1. Метод Эйлера-Коши для нормальных систем.
§ 4.4. Метод Рунге-Кутта 158
4.4.1. Метод Рунге—Кутта для нормальных систем ОДУ.
§ 4.5. Выбор шага численного интегрирования задач Коши 162
§ 4.6. Процедура Рунге оценки погрешности и уточнения численного решения задач Коши 163
§ 4.7. Численные методы решения краевых задач для ОДУ 175
4.7.1. Постановка краевых задач для ОДУ. 4.7.2. Конечно-разностный метод с использованием метода прогонки решения краевых задач для ОДУ.
4.7.3. Конечно-разностная схема со вторым порядком аппроксимации краевых условий, содержащих производные. 4.7.4. Метод пристрелки численного решения краевых задач для ОДУ. 4.7.5. Метод пристрелки с использованием итерационной процедуры Ньютона.
Глава 5. Численные методы оптимизации 195
§ 5.1. Классификация численных методов оптимизации 195
§ 5.2. Численные методы безусловной минимизации функций одной переменной. Прямые методы 196
5.2.1. Метод перебора. 5.2.2. Метод деления отрезка пополам. 5.2.3. Метод золотого сечения.
§ 5.3. Методы минимизации, использующие производные. Метод Ньютона 205
§ 5.4. Безусловная минимизация функций многих переменных . . 207
5.4.1. Метод градиентного спуска. 5.4.2. Метод наискорейшего спуска. 5.4.3. Метод сопряженных направлений.
II. Численные методы решения задач для уравнений математической физики
Глава 6. Метод конечных разностей 221
§ 6.1. Постановка задач математической физики 222
6.1.1. Постановка задач для уравнений параболического типа. 6.1.2. Постановка задач для уравнений гиперболического типа. 6.1.3. Постановка задач для уравнений эллиптического типа.
§ 6.2. Основные определения и конечно-разностные схемы для различных задач математической физики 228
6.2.1. Основные определения. 6.2.2. Конечноразностная аппроксимация задач для уравнений гиперболического типа. 6.2.3. Конечно-разностная аппроксимация задач для уравнений эллиптического типа.
§ 6.3. Основные понятия, связанные с конечно-разностной аппроксимацией дифференциальных задач 235
6.3.1. Аппроксимация и порядок аппроксимации. 6.3.2. Устойчивость. 6.3.3. Сходимость и порядок сходимости. 6.3.4. Теорема эквивалентности о связи аппроксимации и устойчивости со сходимостью. 6.3.5. Консервативность и корректность.
§ 6.4. Анализ порядка аппроксимации разностных схем 239
§ 6.5. Исследование устойчивости конечно-разностных схем 240
6.5.1. Метод гармонического анализа. 6.5.2. Исследование устойчивости методом гармонического анализа явной и неявной схем для уравнения теплопроводности. 6.5.3. Исследование устойчивости методом гармонического анализа явной и неявной схем
для волнового уравнения. 6.5.4. Принцип максимума. 6.5.5. Спектральный метод исследования устойчивости. 6.5.6. Энергетический метод исследования устойчивости конечно-разностных схем.
§ 6.6. Конечно-разностный метод решения задач для уравнений параболического типа 254
6.6.1. Однородные и консервативные конечно-разностные схемы для задач теплопроводности с граничными условиями, содержащими производные. 6.6.2. Неявноявная конечно-разностная схема с весами. Схема Кранка—Николсона. 6.6.3. Метод прямых.
§ 6.7. Метод конечных разностей решения задач для волнового уравнения с граничными условиями, содержащими производные 269
§ 6.8. Метод установления и его обоснование 273
Глава 7. Метод конечных разностей решения многомерных задач математической физики. Методы расщепления 279
§ 7.1. Метод матричной прогонки 281
§ 7.2. Метод переменных направлений Писмена-Рэчфорда 284
§ 7.3. Метод дробных шагов Н. Н. Яненко 288
§ 7.4. Метод переменных направлений с экстраполяцией В. Ф. Формалева 290
7.4.1. Аппроксимация. 7.4.2. Устойчивость.
§ 7.5. Схема метода полного расщепления Формалева-Тюкина . . 298
§ 7.6. Методы расщепления численного решения эллиптических задач 301
§ 7.7. Методы решения задач для уравнений гиперболического типа 301
7.7.1. Метод характеристик решения квазилинейных гиперболических систем. 7.7.2. Метод сквозного счета. Задача о распаде произвольного разрыва. Метод С. К. Годунова.
Глава 8. Метод конечных элементов 316
§ 8.1. Основы МКЭ 317
§ 8.2. Система базисных функций 318
8.2.1. Кусочно-постоянные базисные функции. 8.2.2. Линейные кусочно-непрерывные базисные функции.
§ 8.3. Методы взвешенных невязок. Весовые функции 322
8.3.1. Метод поточечной коллокации C23). 8.3.2. Метод Галеркина. 8.3.3. Метод наименьших квадратов.
§ 8.4. Конечно-элементный метод Галеркина решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений .... 325
8.4.1. Слабая формулировка метода Галеркина. 8.4.2. Формирование локальной и глобальной матриц жесткости. Ансамблирование элементов. 8.4.3. Случай граничных условий, содержащих производные.
§ 8.5. Метод конечных элементов в стационарных задачах математической физики 335
8.5.1. Основные этапы решения стационарных задач математической физики методом конечных элементов. 8.5.2. Принципы разбиения плоских областей на конечные элементы. 8.5.3. Аппроксимация линейными многочленами и базисные функции. 8.5.4. Слабая формулировка конечно-элементного метода Галеркина. 8.5.5. Ансамблирование элементов и построение глобальной
СЛАУ.
§ 8.6. Метод конечных элементов в многомерных нестационарных задачах математической физики 350
§ 8.7. Особенности решения пространственных задач математической физики методом конечных элементов 353
§ 8.8. Оценка погрешности метода конечных элементов 356
8.8.1. Погрешность конечно-элементного метода решения задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. 8.8.2. Погрешность конечно-элементного метода решения задач для уравнений в частных производных.
§ 8.9. Вариационный принцип в МКЭ 365
8.9.1. Введение в вариационное исчисление. 8.9.2. Конечно-элементный вариационный принцип на основе симметричного дифференциального оператора. Вариационный метод Релея-Ритца. 8.9.3. Решение задач с помощью конечно-элементного вариационного принципа.
Глава 9. Метод граничных элементов решения многомерных стационарных задач математической физики . . 379
Список литературы 391

[mpl]

Амосов АЛ, Дубинекнй ЮЛ., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. — М.: Высш. шк., 1994. — 544 с: ил. ISBN 5-06-000625-5 В книге рассматриваются вычислительные методы, наиболее часто используемые в практике инженерных и научно-технических расчетов: методы решения задач линейной алгебры и нелинейных уравнений, проблема собственных значений, методы теории приближения функций, численное дифференцирование и интегрирование, поиск экстремумов функций, решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Значительное внимание уделяется особенностям реализации вычислительных алгоритмов на ЭВМ и оценке достоверности полученных результатов. Имеется большое количество примеров и геометрических иллюстраций. Для студентов и аспирантов технических вузов, а также для инженеров и научных работников, применяющих вычислительные методы. Скачать (djvu, 4.8 Мб) libgen.info

Содержание

Содержание
Предисловие 3
Глава 1. Математическое моделирование и решение инженерных задач с применением ЭВМ 7
§ 1.1. Математическое моделирование и процесс создания математической модели 8
§ 1.2. Основные этапы решения инженерной задачи с применением ЭВМ 15
§ 1.3. Вычислительный эксперимент 20
§ 1.4. Дополнительные замечания 22
Глава 2. Введение в элементарную теорию погрешностей 23
§ 2.1. Источники и классификация погрешностей результата численного решения задачи 23
§ 2.2. Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешности . 24
§ 2.3. Погрешность арифметических операций над приближенными числами 30
§ 2.4. Погрешность функции 33
§ 2.5. Особенности машинной арифметики 35
§ 2.6. Дополнительные замечания 42
Глава 3. Вычислительные задачи, методы и алгоритмы. Основные понятия 43
§ 3.1. Корректность вычислительной задачи 43
§ 3.2. Обусловленность вычислительной задачи 49
§ 3.3. Вычислительные методы 55
§ 3.4. Корректность вычислительных алгоритмов 63
§ 3.5. Чувствительность вычислительных алгоритмов к ошибкам округления 67
§ 3.6. Различные подходы к анализу ошибок 72
§ 3.7. Требования, предъявляемые к вычислительным алгоритмам 76
§ 3.8. Дополнительные замечания 79
Глава 4. Методы отыскания решений нелинейных уравнений 80
§ 4.1. Постановка задачи. Основные этапы решения 80
§ 4.2. Обусловленность задачи вычисления корня 87
§ 4.3. Метод бисекции 91
§ 4.4. Метод простой итерации 93
§ 4.5. Обусловленность метода простой итерации 102
§ 4.6. Метод Ньютона 105
§ 4.7. Модификации метода Ньютона 112
§ 4.8. Дополнительные замечания 120
Глава 5. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений 122
§ 5.1. Постановка задачи 122
§ 5.2. Нормы вектора и матрицы 123
§ 5.3. Типы используемых матриц 128
§ 5.4. Обусловленность задачи решения системы линейных алгебраических уравнений 131
§ 5.5. Метод Гаусса 137
§ 5.6. Метод Гаусса и решение систем уравнений с несколькими правыми частями, обращение матриц, вычисление определителей 147
§ 5.7. Метод Гаусса и разложение матрицы на множители. LU-разложение 151
§ 5.8. Метод Холецкого (метод квадратных корней) 158
§ 5.9. Метод прогонки 161
§ 5.10. QR-разложение матрицы. Методы вращений и отражений 165
§ 5.11. Итерационное уточнение 171
§ 5.12. Дополнительные замечания 173
Глава 6. Итерационные методы решения сметем линейных алгебраических уравнений 174
§ 6.1. Метод простой итерации 175
§ 6.2. Метод Зейделя 182
§ 6.3. Метод релаксации 187
§ 6.4. Дополнительные замечания 189
Глава 7. Методы отыскания решений систем нелинейных уравнений ... 191
§ 7.1. Постановка задачи. Основные этапы решения 191
§ 7.2. Метод простой итерации 196
§ 7.3. Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений 201
§ 7.4. Модификации метода Ньютона 204
§ 7.5. О некоторых подходах к решению задач локализации и отыскания решений систем нелинейных уравнений 207
§ 7.6. Дополнительные замечания 210
Глава 8. Методы решения проблемы собственных значений 211
§ 8.1. Постановка задачи. Некоторые вспомогательные сведения 211
§ 8.2. Степенной метод 221
§ 8.3. Метод обратных итераций 227
§ 8.4. ДОалгоритм 231
§ 8.5. Дополнительные замечания 235
Глава 9. Методы одномерной минимизации 236
§ 9.1. Задача одномерной минимизации 236
§ 9.2. Обусловленность задачи минимизации 242
§ 9.3. Методы прямого поиска. Оптимальный пассивный поиск. Метод деления отрезка пополам. Методы Фибоначчи и золотого сечения . .245
§ 9.4. Метод Ньютона и другие методы минимизации гладких функций . 257
§ 9.5. Дополнительные замечания 261
Глава 10. Методы многомерной минимизации 262
§ 10.1. Задача безусловной минимизации функции многих переменных . 262
§ 10.2. Понятие о методах спуска. Покоординатный спуск 268
§ 10.3. Градиентный метод 272
§ 10.4. Метод Ньютона 279
§ 10.5. Метод сопряженных градиентов 284
§ 10.6. Методы минимизации без вычисления производных 287
§ 10.7. Дополнительные замечания 290
Глава П. Приближение функций и смежные вопросы 292
§ 11.1. Постановка задачи приближения функций 292
§ 11.2. Интерполяция обобщенными многочленами 295
§ 11.3. Полиномиальная интерполяция. Многочлен Лагранжа 300
§ 11.4. Погрешность интерполяции 302
§ 11.5. Интерполяция с кратными узлами 304
§ 11.6. Минимизация оценки погрешности интерполяции. Многочлены Чебышева 306
§ 11.7. Конечные разности 311
§ 11.8. Разделенные разности 318
§ 11.9. Интерполяционный многочлен Ньютона. Схема Эйткена 320
§ 11.10. Обсуждение глобальной полиномиальной интерполяции. Понятие о кусочно-полиномиальной интерполяции 324
§ 11.11. Интерполяция сплайнами 333
§ 11.12. Понятие о дискретном преобразовании Фурье и тригонометрической интерполяции 339
§ 11.13. Метод наименьших квадратов 343
§ 11.14. Равномерное приближение функций 356
§ 11.15. Дробно-рациональные аппроксимации и вычисление элементарных функций 361
§ 11.16. Дополнительные замечания 363
Глава 12. Численное дифференцирование 364
§ 12.1. Простейшие формулы численного дифференцирования 364
§ 12.2. О выводе формул численного дифференцирования 369
§ 12.3. Обусловленность формул численного дифференцирования 372
§ 12.4. Дополнительные замечания 374
Глава 13. Численное интегрирование 375
§ 13.1. Простейшие квадратурные формулы 375
§ 13.2. Квадратурные формулы интерполяционного типа 384
§ 13.3. Квадратурные формулы Гаусса 389
§ 13.4. Апостериорные оценки погрешности. Понятие об адаптивных процедурах численного интегрирования 392
§ 13.5. Вычисление интегралов в нерегулярных случаях 401
§ 13.6. Дополнительные замечания 408
Глава 14. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 410
§ 14.1. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка 411
§ 14.2. Численные методы решения задачи Коши. Основные понятия и определения 419
§ 14.3. Использование формулы Тейлора 428
§ 14.4. Метод Эйлера 430
§ 14.5. Модификации метода Эйлера второго порядка точности 435
§ 14.6. Методы Рунге-Кутты 439
§ 14.7. Линейные многошаговые методы. Методы Адамса 448
§ 14.8. Устойчивость численных методов решения задачи Коши 453
§ 14.9. Неявный метод Эйлера 461
§ 14.10. Решение задачи Коши для систем обыкновенных
дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений m-го порядка 463
§ 14.11. Жесткие задачи 472
§ 14.12. Дополнительные замечания 481
Глава 15. Решение двухточечных краевых задач 48*
§ 15.1. Краевые задачи для одномерного стационарного уравнения теплопроводности 48
§ 15.2. Метод конечных разностей: основные понятия 48
§ 15.3. Метод конечных разностей: аппроксимации специального вида .. 50
§ 15.4. Понятие о проекционных и проекционно-разностных методах. Методы Ритца и Галеркина. Метод конечных разностей 50
§ 15.5. Метод пристрелки 51
§ 15.6. Дополнительные замечания 52
Литература 52
Предметный указатель 53»

[mpl]

Петров И.Б., Лобанов А.И. Лекции по вычислительной математике: Учебное пособие - М: Интернет-Университет Информационных Технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. — 523 с: ил., табл.- (Серия «Основы информационных технологий») В курсе лекций рассматриваются основные понятия и методы вычислительной математики. Курс содержит как лекции, посвященные классическим численным методам анализа и линейной алгебры, так и решению дифференциальных уравнений. Особое внимание уделяется решению систем уравнений в частных производных гиперболического типа. Большинство лекций снабжено задачами для рассмотрения на семинарских занятиях и для самостоятельного решения. Скачать (djvu, 6 Мб) libgen

Содержание

Содержание
Предисловие 13
Лекция 1. Предмет вычислительной математики. Обусловленность задачи, устойчивость алгоритма, погрешности вычислений. Задача численного дифференцирования 15
1.1. Обусловленность задачи 17
1.2. Влияние выбора вычислительного алгоритма на результаты вычислений 19
1.3. Экономичность вычислительного метода . . . 21
1.4. Погрешность метода 22
1.5. Элементы теории погрешностей 23
1.6. Задача численного дифференцирования 24
1.7. Задачи 28
1.8. Задачи для самостоятельного решения 30
Литература 31
Лекция 2. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений 32
2.1. Постановка задачи 32
2.2. Согласованные нормы векторов и матриц 34
2.3. Обусловленность СЛАУ. Число обусловленности матрицы . 36
2.4. Прямые методы решения СЛАУ 39
2.4.1. Метод исключения Гаусса 40
2.4.2. Модификация метода Гаусса для случая линейных систем с трехдиагональными матрицами — метод
прогонки 44
2.4.3. LU-разложение 45
2.4.4. Метод Холецкого (метод квадратного корня) .... 46
2.5. Итерационные методы решения СЛАУ 48
2.5.1. Метод простой итерации 48
2.5.2. Влияние ошибок округления на результат численного решения 50
2.5.3. Методы Якоби, Зейделя, верхней релаксации .... 51
2.6. Вариационные итерационные методы 54
2.6.1. Связь между вариационной задачей и задачей решения СЛАУ 54
2.6.2. Методы градиентного и наискорейшего спуска ... 56
2.6.3. Метод минимальных невязок 56
2.6.4. Метод сопряженных градиентов 57
2.7. О спектральных задачах 58
Литература 70
Лекция 3. Численное решение переопределенных СЛАУ. Метод наименьших квадратов 72
3.1. Пример использования метода наименьших квадратов (МНК) 72
3.2. Понятие о методах решения плохо обусловленных СЛАУ . 79
3.3. Задачи 80
3.4. Задачи для самостоятельного решения 82
Литература 83
Лекция 4. Численные методы решения экстремальных задач ... 85
4.1. Поиск безусловного минимума функции 85
4.2. Методы спуска 91
4.2.1. Метод покоординатного спуска 91
4.2.2. Метод градиентного спуска 96
4.2.3. Метод наискорейшего спуска 96
4.3. Задачи математического программирования 98
4.4. Задачи 101
4.5. Задачи для самостоятельного решения 102
Литература 103
Лекция 5. Численное решение нелинейных алгебраических уравнений и систем 104
5.1. Сжимающие отображения. Итерации. Метод простых итераций(МПИ) 104
5.2. Метод Ньютона 108
5.3. О вариационных подходах к решению нелинейных систем уравнений 112
5.4. Метод Чебышёва построения итерационных процессов высшего порядка 112
5.5. Разностные отображения в нелинейной динамике 113
5.6. Задачи 124
5.7. Задачи для самостоятельного решения 131
Литература 132
Лекция 6. Интерполяция функций 133
6.1. Постановка задачи интерполяции 133
6.2. Кусочно-линейная интерполяция 134
6.3. Интерполяция обобщенными полиномами 135
6.4. Полиномиальная (алгебраическая) интерполяция 136
6.5. Теорема об остаточном члене интерполяции 137
6.6. Интерполяционный полином в форме Ньютона 139
6.6.1. Разделенные и конечные разности 139
6.6.2. Интерполяционный полином в форме Ньютона . . 141
6.7. Многочлены Чебышёва и минимизация остаточного члена интерполяции 141
6.8. Обусловленность задачи интерполяции. Постоянная Лебега 142
6.9. Интерполяция с кратными узлами 143
6.9.1. Замечание о тригонометрической интерполяции . . 145
6.10. Кусочно-многочленная глобальная интерполяция(сплайны) 143
6.11. В-сплайны 151
6.12. Интерполяция функций двух переменных 154
6.13. Задачи 155
6.14. Задачи для самостоятельного решения 159
Литература 160
Лекция 7. Численное интегрирование 162
7.1. Квадратурные формулы интерполяционного типа (формулы Ньютона—Котеса) 162
7.2. Оценка погрешности квадратурных формул 166
7.3. Кратные интегралы 168
7.4. Квадратурные формулы Гаусса 169
7.5. Вычисление интегралов от функций с особенностями ... 173
7.6. Идея метода Монте-Карло 174
7.7. Задачи 175
7.8. Задачи для самостоятельного решения 178
Литература 180
Лекция 8. Численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений 181
8.1. Базовые понятия 181
8.2. Методы Рунге-Кутты 186
8.3. Методы Адамса 197
8.4. Оценка погрешности 200
8.4.1. Автоматический выбор шага интегрирования .... 200
8.5. Устойчивость методов Рунге-Кутты 202
8.6. Задачи 207
8.7. Задачи для самостоятельного решения 212
Литература 216
Лекция 9. Численные методы решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений 218
9.1. Явление жесткости. Предварительные сведения 218
9.2. Сингулярно-возмущенные задачи 224
9.3. Решение линейных ЖС ОДУ и вычисление матричной экспоненты 229
9.4. Численные методы решения ЖС ОДУ. Семейства неявных методов Рунге-Купы и Розенброка 230
9.5. Формулы дифференцирования назад и методы Гира. Представление Нордсика 236
9.6. Задачи для самостоятельного решения 239
Литература 245
Лекция 10. Численное решение краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений 247
10.1. Краевая задача для линейной системы ОДУ первого порядка 247
10.2. Метод дифференциальной прогонки. Понятие о жестких краевых задачах 250
10.3. Краевая разностная задача Штурма-Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка . 253
10.4. Пятиточечная прогонка 257
10.5. Матричная прогонка 258
10.6. Численное решение нелинейных краевых задач 259
10.6.1. Метод стрельбы 259
10.6.2. Метод квазилинеаризации (метод Ньютона) 260
10.6.3. Аппроксимация граничных условий 260
10.7. Краевые задачи на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений 263
10.8. Решение краевой задачи методом Фурье 264
10.9. Задачи 266-
10.10 Задачи для самостоятельного решения 270
Литература 274
Лекция 11. Исследование разностных схем для эволюционных уравнений на устойчивость и сходимость 275
11.1. Постановка некоторых задач для уравнений математической физики 275
11.2. Основные определения — сходимость, аппроксимация, устойчивость 279
11.2.1. Основные определения 279
11.2.2. Необходимое условие сходимости разностной схемы Куранта, Фридрихса, Леви (условие КФЛ) .... 285
11.3. Элементы теории устойчивости разностных схем 287
11.4. Задачи 302
11.5. Задачи для самостоятельного решения 305
Литература 307
Лекция 12. Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа на примере уравнения теплопроводности 308
12.1. Постановки задач для уравнений параболического типа . . 308
12.2. Разностные схемы для численного решения нелинейного уравнения теплопроводности 312
12.2.1. Неявная схема с нелинейностью на нижнем слое . . 312
12.2.2. Схема с нелинейностью на верхнем слое 312
12.3. Разностные схемы для численного решения многомерного уравнения теплопроводности 315
12.4. Исследование сходимости разностных схем для многомерного уравнения теплопроводности 318
12.5. Задачи 320
12.6. Задачи для самостоятельного решения 325
Литература 330
Лекция 13. Численные методы решения уравнений в частных производных гиперболического типа (на примере уравнения переноса) 332
13.1. Простейшее линейное уравнение переноса 332
13.2. Квазилинейные уравнения гиперболического типа. Характеристики квазилинейных уравнений 334
13.3. Численные методы решения уравнений в частных производных гиперболического типа на примере линейного уравнения переноса 336
13.4. Численные методы решения уравнений в частных производных гиперболического типа для квазилинейного уравнения переноса 342
13.5. Методы регуляризации численных решений с большими градиентами 347
13.6. Гибридные схемы (метод Р. П. Федоренко) 350
13.7. Схемы с уменьшением полной вариации (Total Variation Diminishing, схемы Хартена) 351
13.8. Идеи построения сеточно-характеристических методов и анализ разностных схем в пространстве неопределенных коэффициентов 354
13.9. Задачи 362
13. ЮЗадачи для самостоятельного решения 374
Литература 379

[mpl]

Содержание, лекция 14-

Лекция 14. Введение в методы численного решения уравнений газовой динамики 381
14.1. Формы записи одномерных уравнений газовой динамики . 381
14.2. Методы Лакса-Вендроффа и Мак-Кормака 385
14.3. Сеточно-характеристический метод для численного решения уравнений газовой динамики (М.-К. М. Магомедова-А. С. Холодова) 386
14.4. Разностная схема И.М. Гельфанда для численного решения одномерной системы уравнений газовой динамики 388
14.5. Метод частиц в ячейках Харлоу (PIC method:Purticle-In-Cell) 390
14.6. Задачи для самостоятельного решения 395
Литература 397
Лекция 15. Численное решение уравнений в частных производных гиперболического типа с большими градиентами решений .... 399
15.1. Потоковая форма представления разностных схем 399
15.2. Гибридные схемы 400
15.3. Гибридные схемы и пространство неопределенных коэффициентов 401
15.4. Метод коррекции потоков Бориса-Бука 404
15.5. TVD-схемы 405
15.6. ENO-схемы 408
15.7. Разностные схемы для квазилинейного уравнения переноса 410
15.8. Однопараметрическое семейство неявных схем 412
15.9. TVD-схемы для квазилинейного уравнения с антидиффузией 413
15.10 TVD-схемы для линейных систем уравнений гиперболического типа 415
15.11 Метод С. К. Годунова 417
Литература 420
Лекция 16. Численное решение уравнений в частных производных эллиптического типа на примере уравнений Лапласа и Пуассона 424
16.1. Постановка задачи. Простейшая разностная схема «крест». Устойчивость схемы «крест» 424
16.2. Методы решения сеточных уравнений 428
16.2.1. Метод простых итераций 429
16.2.2. Метод простых итераций с оптимальным параметром 430
16.2.3. Чебышёвское ускорение метода простых итераций . 434
16.2.4. Метод переменных направлений 437
16.2.5. Методы Якоби, Зейделя, верхней релаксации .... 440
16.3. Попеременно-треугольный итерационный метод 442
16.4. Сводка результатов по итерационным методам решения сеточных уравнений 445
16.5. Основные идеи многосеточного метода Р. П. Федоренко . . 446
16.6. Построение разностных схем для эллиптических уравнений на нерегулярных сетках. Монотонные схемы (подход АХ.Холодова) 448
16.7. Задачи 451
16.8. Задачи для самостоятельного решения 452
Литература 458
Лекция 17. Понятие о методах конечных элементов 459
17.1. Вариационный подход Ритца 460
17.2. Общая схема метода Ритца 462
17.3. Формулировка проекционного метода Галеркина 465
17.4. Пример построения схемы конечных элементов 467
17.5. Построение базисных функций 469
17.6. МКЭ для нестационарных уравнений 474
17.7. Решение нелинейных уравнений с помощью МКЭ 477
17.8. Задачи для самостоятельного решения 478
Литература 478
Лекция 18. Методы расщепления 479
18.1. Понятие о методах расщепления 479
18.2. Метод расщепления первого и второго порядка точности пот 480
18.2.1. Локально-одномерные схемы 480
18.2.2. Схемы Кранка-Никольсон 482
18.2.3. Общая формулировка методов расщепления .... 482
18.2.4. Схемы расщепления для уравнения теплопроводности 483
18.3. Методы двуциклического покомпонентного расщепления . 484
18.4. Методы расщепления с факторизацией оператора 489
18.4.1. Факторизованная схема расщепления 489
18.4.2. Неявная схема расщепления с приближенной факторизацией 490
18.4.3. Метод «предиктор-корректор» 491
Литература 493
Лекция 19. Применение вариационных принципов для построения разностных схем 494
19.1. Пример использования принципа наименьшего действия (Гамильтона) 494
19.2. Вариационные схемы для решения задач газовой динамики 498
19.3. Вариационная схема для уравнения теплопроводности на криволинейной сетке 502
19.4. Задачи для самостоятельного решения 507
Литература 509
Приложение. Параллельные вычисления на кластерах из персональных компьютеров в математической физике 510
1. Введение 510
2. Расчет электрического поля установки РС-20 с
использованием кластера из персональных компьютеров 512
3. Математическая модель и выбор численного метода .... 513
4. Модели организации параллельных вычислений для комплексов с распределенной памятью 514
Потоковая модель 515
Статическая модель 516
5. Выбор модели организации параллельных вычислений . . 517
5.1. Потоковая модель 518
5.2. Динамическая модель 519
5.3. Статическая модель 519
6. Заключение 521
Литература 522

[mpl]

Альберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и её приложения: Пер. с англ. - М.:Мир, 1972, 318 с. Монография посвящена изложению основ теории кусочно-полиномиальных приближений и некоторых ее применений. Это новое направление в теории приближений, которое в настоящее время усиленно развивается главным образом американскими математиками. Активное участие в его разработке принимают и авторы монографии, среди которых Дж. Уолш — видный американский ученый, известный советским читателям по переводу его монографии «Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области». Кусочно-полиномиальные, или, как их теперь называют, сплайн-приближения, имеют ряд преимуществ перед обычными полиномиальными приближениями, в частности при решении задач на быстродействующих вычислительных машинах. Книга представляет большой интерес для специалистов по теории приближений и по вычислительной математике, а также для инженеров и вычислителей, студентов и аспирантов университетов и институтов с отделениями прикладной математики. Скачать (djvu, 4 Мб) eqworld

Содержание

Содержание
Предисловие редактора перевода
Глава I. Введение 7
1.1. Что такое сплайн? 7
1.2. Последние достижения в теории сплайнов 8
Глава II. Кубические сплайны 13
2.1. Введение 13
2.2. Существование, единственность и наилучшее приближение . . 19
2.3. Сходимость 23
2.4. Равные интервалы 38
2.5. Приближенное дифференцирование и интегрирование 45
2.6. Вычерчивание кривой по точкам 53
2.7. Приближенное решение дифференциальных уравнений ... 54
2.8. Приближенное решение интегральных уравпепий 60
2.9. Дополнительные теоремы существования и сходимости ... 64
Глава III. Внутренние свойства кубических сплайнов 77
3.1. Свойство минимальпой нормы 77
3.2. Свойство наилучшего приближения 79
3.3. Основное тождество 80
3.4. Первое интегральное соотношение 81
3.5. Единственность 84
3.6. Существование 85
3.7. Общие уравнения 86
3.8. Сходимость производных низших порядков 89
3.9. Второе интегральное соотношение 91
3.10. Улучшение оценки порядка сходимости . 92
3.11. Сходимость производных высших порядков 94
3.12. Ограничения на порядок сходимости 96
3.13. Приложения к теории гильбертова пространства 97
3.14. Сходимость по норме 99
3.15. Канонические сеточные базисы и их свойства 102
3.16. Остаточные члены 104
3.17. Преобразования, определяемые сеткой 106
3.18. Связь с ракетной техникой 108
ОГЛАВЛЕНИЕ 315
Глава IV. Полипомиальпые сплайны 109
4.1. Определение и основные уравнения 109
4.2. Равные интервалы 123
4.3. Существование 131
4.4. Сходимость 134
4.5. Сплайны пятой степени дефектов 2 и 3 141
4.6. Сходимость периодических сплайнов на равномерных сетках . . 145
Глава V. Внутренние свойства полиномиальных сплайнов нечетной степени 150
5.1. Введение 150
5.2. Основное тождество 151
5.3. Первое интегральное соотношение 15?
5.4. Свойство минимальной нормы 153
5.5. Свойство наилучшего приближения 154
5.6. Единственность 156
5.7. Определяющие уравнения 157
5.8. Существование 162
5.9. Сходимость производных низших порядков 163
5.10. Второе интегральное соотношение 165
5.11. Улучшение оценки порядка сходимости 167
5.12. Сходимость производных высших порядков 169
5.13. Ограничения на порядок сходимости 170
5.14. Приложения к теории гильбертова пространства 171
5.15. Сходимость по норме 173
5.16. Канонические сеточные базисы и их свойства 175
5.17. Ядра и интегральные представления 178
5.18. Представление и приближение линейпых функционалов .... 181
Глава VI. Обобщенные сплайны 187
6.1. Введение 187
6.2. Основное тождество 188
6.3. Первое интегральное соотношение 189
6.4. Свойство минимальной нормы 191
6.5. Единственность 192
6.6. Определяющие уравнения 193
6.7. Существование 195
6.8. Наилучшее приближение 196
6.9. Сходимость производных низших порядков 197
6.10. Второе интегральное соотношение 200
6.11. Улучшение оценки порядка сходимости 202
6.12. Сходимость производных высших порядков 204
6.13. Ограничения на порядок сходимости 206
6.14. Приложения к теории гильбертова пространства 208
6.15. Сходимость по норме 211
316 ОГЛАВЛЕНИЕ
6.1В. Канонические сеточные базисы 213
6.17. Ядра и интегральные представления 215
6.18. Представление и приближение линейных функционалов . . . 216
Глава VII. Дважды кубические сплайпы , 228
7.1. Введение 228
7.2. Частичпыс енлайпы 229
7.3. Связь частичных сплайнов с дважды кубическими сплайнами . . 231
7.4. Основное тождество 232
7.5. Первое интегральное соотношепис 234
7.6. Свойство минимальной нормы 234
7.7. Единственность и существование 235
7.8. Наилучшее приближение 236
7.9. Фундаментальные сплайны 237
7.10. Свойства сходимости 238
7.11. Второе интегральное соотношение 238
7.12. Прямое произведение гильбертовых пространств 240
7.13. Метод фундаментальных сплайнов 243
7.14. Иррегулярные области 246
7.15. Представление поверхности 249
7.16. Поверхности Кунса 252
Глава VIII. Обобщенные сплайны двух переменных 256
8.1. Введение 256
8.2. Основные определения 256
8.3. Основное тождество 258
8.4. Типы сплайнов . . . 259
8.5. Первое интегральное соотношение 261
8.6. Единственность 262
8.7. Существование 262
8.8. Сходимость 264
8.9. Приложения к теории гильбертова пространства 265
Литература 267
Добавления. С. В. Стечкин, Ю. Я. Субботин 270
§ 1. Полиномиальные сплайны первой степени 270
§ 2. Интерполяционные параболические сплайпы 272
§ 3. Полиномиальные сплайны па равпомерпой сетке ....... 285
§ А. Некоторые приложения сплайнов . 291
§ 5. Многомерный случай 304
Литература 307
Предметный указатель 310
Именной указатель 312

[mpl]

Медведев Н.В. Применение сплайнов в теории приближений: учебное пособие - Чебоксары: Чувашский государственный университет, 1977. - 68 с. В пособии рассматриваются некоторые вопросы кусочно-полиномиальных приближений / сплайнов /, когда исходная информация носит детерминированный или стохастический характер. Изучаются вопросы существования и единственности интерполяционных кубических и полиномиальных сплайнов и их основные свойства. Рассматриваются задача обобщенного интерполирования в детерминированной и стохастической постановках и аппроксимативные свойства решений этих задач. Изучаются регуляризованные стохастические сплайны, полу ченные с помощью метода регуляризации А. Н. Тихонова, и устанавливается их связь с интерполяционными сплайнами. Скачать (djvu, 2 Мб) eqworld

Содержание

Содержание
Вводные замечания 3
ГЛАВА 1. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ
§ 1. Интерполяционные детерминированные кубические сплайны и их свойства 14
§ 2, Обобщенные детерминированные кубические сплайны . 23
§ 3. Интерполяционные стохастические кубические сплайны , 27
ГЛАВА 2. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ
§ 4. Детерминированные интерполяционные полиномиальные сплайны 32
§ 5. Обобщенные детерминированные полиномиальные сплайны 39
§ 6 Обобщенные стохастические полиномиальные сплайны 46
ГЛАВА 3. РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ СПЛАЙНЫ (R - СПЛАЙНЫ)
§ 7. Регуляризованные стохастические сплайны 49
§ 8. Минимальные интерполяционные сплайны 51
§ 9. Среднеквадратичные сплайны 56
§ 10. Об аппроксимации R - сплайнами элементов ядра оператора L 60
§ 11. Принцип невязки 62

[mpl]

Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры - Наука, 1977, 304 с. В книге последовательно изучаются ошибки округления элементарных арифметических операций, их происхождение, свойства и влияние на вычислительные процессы, впервые рассматриваются вероятностные свойства ошибок округления. Описываются основные методы, связанные с решением систем, вычислением определителей, решением полной и частичной проблем собственных значений. Скачать (djvu, 5 Мб) libgen

Содержание

Содержание
Предисловие............................ 5
Глава I Математические особенности машинной арифметики
§ 1. Позиционные системы счисления............... 11
§ 2. Округление чисел...................... 15
§ 3. Фиксированная и плавающая запятая........... 20
§ 4. Особенности представления чисел на ЭВМ........ 23
§ 5. Арифметические операции.................. 27
§ 6. Порядок выполнения операций............... 32
§ 7. Запись на машинно-независимых языках......... 36
§ 8. Суммарный эффект влияния ошибок округления..... 42
Глава II Теория возмущений в линейной алгебре
§ 9. Сведение к простым матрицам............... 46
§ 10. Невырожденные матрицы.................. 52
§ 11. Непрерывность корней алгебраического многочлена... 55
§ 12. Локализация собственных значений............ 61
§ 13. Клеточно-диагональные матрицы.............. 66
§ 14. Матрицы общей структуры................. 71
§ 15. Сингулярное разложение.................. 73
§ 16. Проекции псевдорешения.................. 78
§ 17. Нормальное псевдорешение................. 84
Глава III Вспомогательные алгебраические операции
§ 18. Преобразование вращения.................. 89
§ 19. Последовательность преобразований вращения...... 96
§ 20. Преобразование отражения................. 10З
§ 21. Последовательность преобразований отражения...... 111
§ 22. Сравнение точности преобразований вращения и отражения 114
§ 23. Двухсторонние унитарные преобразования........ 117
§ 24. Неунитарные преобразования................ 122
§ 25. Ортогонализация....................... 128
Глава IV Прямое разложение матрицы на множители
§ 26. Матрицы специального вида................ 137
§ 27. Теоретические основы разложения............. 141
§ 28. Разложение на треугольные множители.......... 146
§ 29. Компактная схема....................... 155
§ 30. Разложение на унитарный и треугольный множители... 161
§ 31. Разложение прямоугольных матриц............ 164
§ 32. Унитарно подобное разложение............ 167
§ 33. Некоторые замечания.................... 172
§ 34. Сравнительная характеристика разложений........ 175
Глава V Решение систем линейных алгебраических уравнений
§ 35. Системы специального вида................. 179
§ 36. Решение систем с невырожденными матрицами...... 184
§ 37. Системы с матрицами полного ранга........... 190
§38. Уточнение решения..................... 197
§ 39. Особенности решения неустойчивых систем........ 205
§ 40. Системы с двухдиагональными матрицами..... 211
§ 41. Тактика решения систем общего вида........... 215
§ 42. Некоторые замечания.................... 223
Глава VI Решение проблемы собственных значений
§ 43. Метод вращений........................ 229
§ 44. Метод бисекций....................... 237
§ 45. QR-алгорифм......................... 249
§ 46. Ускорение QR-алгорифма................... 255
§ 47. Определение собственных векторов........... 264
§ 48. Особенности вычислений.................. 271
§ 49. Апостериорные оценки точности.............. 277
§ 50. Некоторые замечания.................... 283
Приложение I. О распределении ошибок округления... 286
Приложение II. Решение больших задач линейной алгебры 293
Литература............................. 301
Предметный указатель....................... 302

[mpl]

Икрамов Х.Д. Несимметричная проблема собственных значений. Численные методы - Наука, 1991, 240 с. Посвящена важной задаче численной линейной алгебры --- вычислению собственных значений и векторов несимметричных матриц. Основной текст книги представляет собой учебник по численным методам решения спектральных задач для несимметричных матриц: по уровню изложения он доступен студентам и выпускникам технических вузов. Дополнения к основному тексту рассчитаны на специалистов и дают обзор практически всей современной журнальной литературы в данной области. Для студентов, аспирантов, научных сотрудников, специализирующихся в численном анализе и занимающихся решением спектральных задач на ЭВМ. Скачать (djvu, 2.7 Мб) libgen

Содержание

Содержание
Предисловие
Список обозначений
Глава 1. Справочная
§ 1. Необходимые сведения из линейной алгебры
§ 2. Сведения из вычислительной линейной алгебры
Глава 2. Теоремы локализации и теоремы о возмущениях
§ 3. Теоремы Гершгорина и их обобщения
§ 4. Теорема Бауэра---Файка и ее обобщения
§ 5. Чувствительность собственных значений и мера анормальности
матрицы
§ 6. Число обусловленности собственного значения
§ 7. Какую информацию дает невязка?
§ 8. Об обусловленности собственных векторов и инвариантных
подпространств
Глава 3. Степенной метод и обратные итерации
§ 9. Степенной метод
§ 10. Обратные итерации
Глава 4. QR-алгоритм и его приложения
§ 11. Основные этапы QR-алгоритма, их вычислительные схемы
§ 12. О сходимости QR-алгоритма
§ 13. Некоторые приложения QR-алгоритма
Глава 5. Методы для разреженных матриц
§ 14. Методы одновременных итераций
§ 15. Метод Ланцоша и его обобщения
§ 16. Метод Арнольди
§ 17. Двусторонний метод Ланцоша с «заглядыванием вперед»
§ 18. Как использовать феномен Ланцоша
§ 19. О выборе начальных приближений
Список литературы