Функция натурального аргумента

[wpoms.]

Существует ли функция `f : NN -> NN` (где `NN` обозначает множество натуральных чисел) такая, что `f (n) = f (f (n - 1))+ f (f (n + 1))` для всех натуральных чисел `n >= 2`.

@темы: Функции

Comments

[Груша Вильямс]

Для чётных есть `f(n)=f((n-1)/2)+f((n+1)/2)=(n-1)/4+(n+1)/4=n/2`, для всех скорее всего нету.

[Adjirranirr]

Груша Вильямс, это классика функциональных уравнений =)

Заметим, что для `n >= 2:\ f(n) = f(f(n - 1)) + f(f(n + 1)) >= 1 + 1 = 2`. Пусть `m = f(n_0)` — наименьшее значение функции при `n >= 2`. Тогда
`m = f(n_0) = f(f(n_0 - 1)) + f(f(n_0 + 1)) >= [(f(f(n_0 - 1)),>=,1),(f(f(n_0 + 1)),>=,m)] >= 1 + m`. Противоречие.

[Груша Вильямс]

Adjirranirr, первый раз пробовал такое решать и как сейчас понял, что я условия даже не понял ) Значение функции `f(f(n-1))` тоже ведь натуральным должно быть (функция-то та же самая)? Почему-то подумал, что только их сумма должна быть натуральной.
По решению одну штуку не пониманию: если `m` - наименьшее значение `f(n)`, то вроде как `f(f(n_0-1))>=m` тоже должно быть.

p.s. вроде легкое задание кажется когда решение смотришь, а когда решаешь даже мысли не посещали о наименьшем значении

[Adjirranirr]

тоже должно быть.

`m` — наименьшее при `n >= 2`. А `n_0 - 1` не обязано быть больше `2`, следовательно, и `f(n_0 - 1)` не обязано, ну и `f(f(n_0 - 1))` тоже =). Ну это тонкости, на самом деле, так просто нагляднее =)

[Груша Вильямс]

Adjirranirr, всё, дошло! Просто представил, что наименьшее `f(3)=2`, тогда `f(f(2))` ну никак не может быть `1`.
Но если `f(n_0)=m`, то можно точно сказать, что `n_0>2`, в противном случае `n_0-1=1` что противоречит условию.
Опять же как понимать задачу функция `f` отображает множество натуральных чисел больших `1` на это же множество или во множество всех натуральных, если на это же множество, то `f(f(n_0-1))>=1` могут засчитать за ошибку =)

p.s. вот в этой задаче eek.diary.ru/p191084729.htm если функция задает перестановку, то получается, что все элементы множества переставляются или может быть равенство `f(n)=n` ?

[Adjirranirr]

Груша Вильямс, а если наименьшее `f(2) = [10^{117^{|sin(e^2)| + 1}}] = m`, а `f(1) = 1`, то `n_0 - 1 = f(n_0 - 1) = f(f(n_0 - 1)) = 1` и утверждать, что `f(f(n_0 - 1)) >= m` нельзя.

`f(f(n_0-1))>=1` могут засчитать за ошибку =)

Это было бы крайне странно =)

получается, что все элементы множества переставляются или может быть равенство

Все переставляются. А некоторые могут попасть на свое место. Тождественная перестановка — тоже перестановка.

[Груша Вильямс]

Adjirranirr, разобрался, спасибо