Усечённый конус

[wpoms.]

Радиус большего основания усеченного конуса вращения равен r, тангенс угла между его образующими и плоскостью основания равен `m`. Этот усеченный конус сделан из материала плотности `d`, а его меньшее основание покрыто листом, плотность которого `p` г/см^2. Для какой высоты конуса его общая масса максимальна? Приведите полное решение задачи.

@темы: Задачи на экстремум, Стереометрия

Comments

[к.черный]

У меня домохозяйкинские вопросы...

Этот усеченный конус сделан из материала плотности ,

как сделан? "Сплошь" или только стенки? Если конус сплошной, то как лист к основанию приделан?

а его меньшее основание покрыто листом, плотность которого г/см^2.

странная плотность

[Adjirranirr]

Если конус сплошной, то как лист к основанию приделан?

Приклеен. Приварен. Держится за счет магнитостатических сил. Лежит под действием гравитации. Удерживается при помощи магии каким-нибудь колдуном. Какая разница-то? =)

Пусть радиус меньшего основания равен `R (h)`, объем усеченного конуса — `V (h)`, площадь листа — `S (h)`, масса всей конструкции — `M(h)`. Тогда,
`R(h) + \frac {h} {m} = r => R(h) = r - \frac {h} {m}`
`V(h) = \frac {\pi h} {3} (r^2 + r*R(h) + R(h)^2)`
`S(h) = \pi * R(h)^2`
`M(h) = d * V(h) + p * S(h)`. Подставляя, получим
`M(h) = \frac {\pi} {3} (d * h* (r^2 + r * (r - h/m) + (r - h/m)^2) + 3 * p * (r - h/m)^2) = \frac {\pi} {3 m^2} (d*h^3+(3*p-3*d*m*r)*h^2+(3*d*m^2*r^2-6*m*p*r)*h+3*m^2*p*r^2)`.
`\frac {\partial} {\partial h} M(h) = \frac {\pi} {m^2} (d*m^2*r^2-2*d*h*m*r+d*h^2-2*m*p*r+2*h*p) = \frac {\pi * d} {m^2} (h - m*r) * (h - (m*r - \frac {2p} {d}))`.
Нули производной — `h_1 = m*r,\ h_2 = m*r - \frac {2p} {d}`, причем, при `p,d > 0` (экзотические физические модели с отрицательной плотностью энергии-импульса, мне кажется, можно не рассматривать =) `h_2 < h_1`, и при `h < h_2` производная положительна, при `h_1 < h < h_2` — отрицательна, при `h > h_2` — снова положительна. Так как максимальная высота усеченного конуса есть `h_{max} = m*r = h_1`, то на интервале рассмотрения локальный максимум достигается при `h = h_2 = m*r - \frac {2 * p} {d}`.

[Дилетант]

к.черный,

У меня домохозяйкинские вопросы...

В тапера не стрелять! Играет как умеет!

[wpoms.]

к.черный, а его меньшее основание покрыто листом, плотность которого г/см^2.
странная плотность - Видимо это указание авторов задачи на то, что конус сделан из материала нулевой толщины, а масса вычисляется как площадь на плотность

[к.черный]

Если конус сплошной, то как лист к основанию приделан?

Какая разница-то? =)

ну, я ж предупредила, что вопросы не от математика, просто пыталась представить, как и зачем к конусу присобачен лист нулевой толщины ))

А плотность d измеряется в таких же единицах, что и р?
И если весь

конус сделан из материала нулевой толщины

и

масса вычисляется как площадь на плотность

, то нас интересует не объем конуса, а плошадь его поверхности?

[wpoms.]

к.черный, нас интересует не объем конуса, а площадь его поверхности - согласен,

.

но мнение автора может не совпадать со мнением редакции (с)