Возможные значения

[wpoms.]

Пусть `x, y` - ненулевые действительные числа, которые удовлетворяют равенству `x^3 + y^3 + 3*x^2*y^2 = x^3*y^3`. Определите все значения, которые может принимать выражение `1/x + 1/y`.

@темы: Рациональные уравнения (неравенства)

Comments

[vyv2]

Пусть `1/x+1/y=p` или `x+y=pxy`. Тогда из равенства `x^3+y^3+3x^2y^2=x^3y^3` следует `0=1/x^3+1/y^3+3/(xy)-1=(1/x+1/y)^3-3/(x^2y)-3/(xy^2)+3/(xy)-1=p^3-3p/(xy)+3/(xy)-1=p^3-3/(xy)(p-1)-1=0` или `xy=3/(p^2+p+1)`. Теперь надо определить при каких р существуют х и y, удовлетворяющие системе `{(xy=3/(p^2+p+1)),(x+y=(3p)/(p^2+p+1)):}`. Для этого дискриминант квадратного уравнения относительно x или y должен быть больше или равен нулю: `(9p^2)/(p^2+p+1)^2-12/(p^2+p+1)>=0`, т.е. при `p=-2`.
Ответ: `1/x+1/y=-2` при `x=y=-1`

[Ak-sakal]

vyv2, где-то есть в Вашем решении прокол. При х=у=2 равенство, очевидно, выполняется, а искомое выражение принимает значение 1. Из Ваших выкладок это решение я вывести не смог.

[Epygraph]

vyv2, где-то есть в Вашем решении прокол. При х=у=2 равенство, очевидно, выполняется, а искомое выражение принимает значение 1. Из Ваших выкладок это решение я вывести не смог.

В какой-то момент сокращали на `p-1`. Случай `p-1=0` соответствует пропущенному решению `x=y=2`.

[vyv2]

Epygraph

Точно. Ответ:-2;1

[Ak-sakal]

А можно ли где-нибудь в интернете посмотреть график кривой третьего порядка?
Судя по ответу р=1 получается не только при х=у=2, но вообще при `y=1+1/(x-1)` . А это, вроде бы, означает, что график уравнения полностью должен содержать указанную гиперболу. Хотелось бы в этом убедиться глазами. Или понять, в чём я неправ.

[Гость]

график кривой третьего порядка?

wolfram

[Ak-sakal]

Спасибо. Правда до меня так и не дошло, в чём отличие графика уравнения от гиперболы. (Выколотое по условию начало координат не принципиально). Кажется, отличие должно быть, а я его не ощущаю.

[All_ex]

Ak-sakal, график может сохранять визуальную форму, но в силу большей степени переменных обычно становится более выпуклым...
Сравните, например, окружность (второй порядок) и аналогичный график кривой шестого порядка ...

[Ak-sakal]

All_ex, это-то я понимаю. Но ведь у нас не просто похожие графики. А один должен содержать другой. Или я в решении что-то не понимаю, и гипербола на кривой 3-го порядка лежит не всеми точками. Туплю, короче.

[All_ex]

можно попытаться сравнить два графика...
что-то сразу по ссылке не строит... надо ещё на равно нажать...

[Ak-sakal]

All_ex, спасибо, но так ничего не получится. Остаётся в явном виде найти А(х,у), удовлетворяющий условию `x^4*y^4-3*x^3*y^3-x^4*y-x*y^4=(y+x-x*y)*A(x;y)`

[Ak-sakal]

Вольфрам выдал мне в качестве графика для А(х;у) обе оси координат!

Нашёл А(х;у) тупо поделив один многочлен на другой.
`A(x;y)=x^3*y^3+x^3*y^2+x^2*y^3+x^3*y+x*y^3-x^2*y^2=xy*(x^2*(y^2+y+1)+(y-1)*y*x+y^2)`
У квадратного относительно `x` трёхчлена в скобках дискриминант равен `D=-y^2*(3*y^2+2*y+5)` т.е. при ненулевом игреке всегда отрицателен.
Поэтому график уравнения, данного в условии, ПОЛНОСТЬЮ СОВПАДАЕТ С ГИПЕРБОЛОЙ. Плюс ещё обе оси координат. В чём я и хотел убедиться.